A. OPIS MATEMATIČKOGA PODRUČJA KURIKULUMA

Kvalitetno učenje i poučavanje matematičkog područja jedan je od temelja uspješnoga odgojno-obrazovnog sustava koji priprema dijete i mladu osobu za život i cjeloživotno učenje te toj mladoj osobi omogućava da kao uspješni pojedinac doprinese razvoju hrvatskoga društva u cjelini. Suvremeni svijet, obilježen složenim i ubrzanim ritmom životnih promjena i tehnološkog razvoja te sve većim protokom informacija, pred svakog pojedinca stavlja zadaću prilagodbe izazovima koje je danas gotovo nemoguće predvidjeti. Matematika je oduvijek bila i danas je pokretač brojnih promjena te je siguran vodič kroz izazove koje nam donosi budućnost. Zbog toga  se s izazovima 21. stoljeća može nositi samo osoba koja je matematički pismena, posjeduje matematičke kompetencije i kompetencije koje se njeguju matematikom. Stoga je svrha učenja i poučavanja matematičkog područja na suvremen, primjeren i individualiziran način omogućiti učenicima stjecanje matematičkih znanja i vještina te razvijanje matematičkih procesa i načina razmišljanja kako bi povezali matematiku i stvarnost te ju primijenili za uspješno i korisno sudjelovanje u društvu.

Zbog ovakve dvojake uloge matematičko područje se ostvaruje kroz sljedeće dvije dimenzije:

 matematičke procese (Prikazivanje i komunikacija, Povezivanje, Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, Rješavanje problema i matematičko modeliranje, Primjena tehnologije)

 matematičke domene (Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje, Podatci, statistika i vjerojatnost)

Uravnoteženim preplitanjem tih dviju dimenzija, odnosno matematičkih znanja i vještina te procesa i načina razmišljanja, matematičko područje ostvaruje svrhu, osposobljava i osnažuje učenike misliti logički, kritički, strateški, kreativno i inventivno. Time matematičko područje priprema učenike za rješavanje problema i utemeljeno donošenje odluka, što doprinosi cjelovitom misaonom razvoju i dugoročnoj dobrobiti svakoga mladog čovjeka kao poduzetnoga, ali odgovornog i solidarnog građanina.

Suvremena nastava matematike polazi od pretpostavke da je za učenje matematike nužna i aktivna uloga učenika koji postupno grade svoje razumijevanje i stvaraju vlastito znanje u interaktivnom odnosu s okolinom. Kontinuiranim i odgovornim radom u organiziranom suradničkom okruženju učenici već u ranoj fazi učenja i poučavanja matematičkoga područja prepoznaju nedvojbenu znanstvenu utemeljenost koja, uz ostvarivanje jasnih i visokih očekivanja, potiče osjećaj samopouzdanja i osobnog integriteta. Ta činjenica pruža priliku da učenici, uz poštivanje vlastitog identiteta i identiteta drugih, slobodno iznose i razmjenjuju ideje, stavove i spoznaje te se time stvara poticajno i sigurno okruženje u razredu i izvan njega. U cilju zadovoljavanja odgojno-obrazovnih potreba učenika s teškoćama, kurikulum se prilagođava u skladu sa smjernicama Okvira za poticanje i prilagodbu iskustava učenja te vrednovanje postignuća djece i učenika s teškoćama. U cilju zadovoljavanja odgojno-obrazovnih potreba darovitih učenika, uvodi se razlikovni kurikulum u skladu sa smjernicama Okvira za poticanje iskustava učenja i vrednovanje postignuća darovite djece i učenika. Štoviše, učenici u procesu učenja sudjeluju u odabiru tema, samostalno proučavaju, istražuju, kritički promišljaju, odgovorni su za svoje rezultate i svoj napredak te shvaćaju da matematičkim znanjem i vještinama mogu mijenjati sebe i svijet oko sebe. Važno obilježje učenja i poučavanja matematičkoga područja jest stalna nadgradnja znanja na osnovi prethodnih spoznaja. To je obilježje izrazito važno kada se govori o razvijanju osjećaja odgovornosti te poticanju složenijih oblika mišljenja.

Tijekom učenja i poučavanja matematičkoga područja učenik stječe uvid u povijesni razvoj i važnost matematike u njegovu životu, ali i razvoju društva u cjelini. Bavi se matematičkim problemima koji proizlaze iz svakodnevnih, realnih i smislenih situacija i time uspostavlja poveznice između matematike i stvarnoga života te drugih područja odgoja i obrazovanja. Veza između matematike i stvarnoga života na prirodan način potiče razvoj učinkovitoga korištenja računalnih alata i tehnologije.

Matematičko područje ostvaruje se u svim odgojno-obrazovnim ciklusima prvenstveno kao nastavni predmet Matematika, a u određenim srednjoškolskim programima provodi se i u sklopu predmeta koji se temelje na matematičkoj znanosti. Matematika je zbog toga uvijek jedan od najvažnijih stupova obrazovnoga sustava. Štoviše, matematičko područje se nedvojbeno nalazi u samom središtu kurikuluma svakoga obrazovnog sustava koji želi odgovoriti na izazove 21. stoljeća.

B. ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI UČENJA MATEMATIČKOGA PODRUČJA KURIKULUMA

Postupno i sustavno spoznavanje matematičkih znanja i razvijanje vještina, uz učinkovitu primjenu tehnologije, temeljni su preduvjeti učenikova uspješnog ostvarenja odgojno-obrazovnih ciljeva matematičkoga područja. Učenik na kraju obrazovanja u matematičkom području zna i može:

komunicirati matematičkim jezikom, pri čemu matematiku i matematički jezik koristi za raščlambu, prikazivanje i tumačenje, za prenošenje i razmjenu znanja, mišljenja i stavova u svrhu njihova razumijevanja, uvažavanja i vrednovanja te za argumentiranje tvrdnji koje iznosi;

matematički rasuđivati pri stvaranju i istraživanju pretpostavki, donošenju zaključaka i generalizacija te pri logičkome, strateškom i kritičkom razmišljanju i dokazivanju, čime dolazi do novih ideja i spoznaja te razvija samostalnost i kreativnost;

rješavati problemsku situaciju u kojoj prepoznaje elemente koji mogu biti obrađeni matematički, stvarne ili hipotetičke situacije prikazuje, analizira i modelira, bira strategiju i dolazi do rješenja koje potom tumači i vrednuje te na taj način razvija upornost, strpljivost, hrabrost i poduzetnost u novim i nepoznatim situacijama;

povezivati matematiku i stvarnost kako bi matematička znanja i vještine primijenio u osobnom, radnom i društvenom okruženju, shvatio utjecaj matematike na društvo, znanost i tehnologiju u prošlosti i sadašnjosti te njezine mogućnosti u budućnosti i kako bi stvorio pozitivan odnos prema matematici i čvrste osnove za daljnje u svim razinamačenje matematike i cjeloživotno učenje.

C. MATEMATIČKI PROCESI I DOMENE U ORGANIZACIJI MATEMATIČKOGA PODRUČJA KURIKULUMA

MATEMATIČKI PROCESI MATEMATIČKOGA PODRUČJA KURIKULUMA

Matematičk​i procesi su prepoznati u ciljevima, značajni su na svim razinama obrazovanj​a te prožimaju sve domene matematičk​oga područja kurikuluma​. Organizira​ni su u pet skupina:

◊ Prikazivanje i komunikacija

◊ Povezivanje

◊ Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje

◊ Rješavanje problema i matematičko modeliranje

◊ Primjena tehnologije.

Prikazivanje i komunikacija

Učenici smisleno prikazuju matematičke objekte, obrazlažu rezultate, objašnjavaju svoje ideje i bilježe postupke koje provode. Pri tome koriste različite prikaze: riječi, crteže, makete, dijagrame, grafove, liste, tablice, brojeve, simbole i slično. U danoj situaciji odabiru prikladan prikaz, povezuju različite prikaze i prelaze iz jednog na drugi. Prikupljaju i tumače informacije iz raznovrsnih izvora.

Razvijanjem sposobnosti komuniciranja u i o matematici učenici rabe jasan matematički jezik, razumiju njegov odnos prema govornom jeziku, slušaju i razumiju matematičke opise i objašnjenja drugih te razmjenjuju i sučeljavaju svoje ideje, mišljenja i stavove. Uspješna komunikacija doprinosi lakšem i bržem usvajanju novih sadržaja kako matematičkog, tako i drugih područja kurikuluma.

Povezivanje

Učenici uspostavljaju i  razumiju veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikuju cjeline njihovim nadovezivanjem. Uspoređuju, grupiraju i klasificiraju objekte i pojave prema zadanom ili izabranom kriteriju. Povezuju matematiku s vlastitim iskustvom,  prepoznaju ju u primjerima iz okoline i primjenjuju u drugim područjima kurikuluma. Time ostvaruju jasnoću, pozitivan stav i otvorenost prema matematici te povezuju matematiku  sa svim područjima kurikuluma i životom tijekom procesa cjeloživotnog učenja.

Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje

Učenje matematike karakterizira razvoj i njegovanje logičkog i apstraktnog mišljenja. Poučavanjem i učenjem matematičkoga područja učenici se suočavaju s izazovnim problemima koji ih potiču na promišljanje, argumentiranje i dokazivanje te donošenje samostalnih zaključaka.  Učenici postavljaju  matematici svojstvena pitanja te stvaraju i istražuju na njima zasnovane matematičke pretpostavke, uočene pravilnosti i odnose. Stvaraju i vrednuju lance matematičkih argumenata, zaključuju indukcijom i dedukcijom, analiziraju te primjenjuju analogiju, generalizaciju i specijalizaciju. Primjenjuju poznato u nepoznatim situacijama i prenose učenje iz jednog konteksta u drugi. Razvijaju kritičko mišljenje te prepoznaju utjecaj ljudskih čimbenika i vlastitih uvjerenja na zaključivanje. Proces mišljenja razvijen nastavom matematike učinkovito koriste u svom svakodnevnom životu.

Rješavanje problema i matematičko modeliranje

Učenici analiziraju problemsku situaciju, prepoznaju elemente koji se mogu  matematički prikazati i planiraju pristup za njezino rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka. Biraju, osmišljavaju i primjenjuju razne strategije, rješavaju problem,  promišljaju i vrednuju rješenje te ga prikazuju na prikladan način. Razvojem ovog procesa, osim primjene matematičkih znanja, učenici razvijaju upornost, hrabrost i otvorenost u suočavanju s novim i nepoznatim situacijama.

Primjena tehnologije

Korištenje alata i tehnologije pomaže učenicima u matematičkim aktivnostima u kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, pri provjeravanju pretpostavki,  pri obradi i razmjeni podataka i informacija te za rješavanje problema i modeliranje. Učenici uočavaju i razumiju   prednosti i nedostatke tehnologije. Na taj se način prirodno otvaraju mogućnosti za nove ideje, za dublja i drugačija matematička promišljanja, kao i za nove oblike učenja i poučavanja.

DOMENE MATEMATIČKOGA PODRUČJA KURIKULUMA

Matematičko obrazovanje podrazumijeva poznavanje i razumijevanje određenih matematičkih koncepata. Koncepti koji se uče u općem obrazovanju važni su za razumijevanje svijeta oko nas te za razumijevanje informacija, procesa i pojava koje nas okružuju. Klasificirani su u veće cjeline koje nazivamo domenama matematičkoga područja. One su osmišljene tako da se svaki koncept učenja može smjestiti u određenu domenu. Logički grupiraju srodne koncepte i u potpunosti pokrivaju matematičke sadržaje koje učenik tijekom školovanja treba usvojiti. Odabrane su na način da omogućuju nadogradnju složenijih matematičkih struktura i razvoj matematičkih procesa te prilagođene razvojnim mogućnostima učenika. Grupiranjem u domene želi se osigurati kontinuitet učenja u vertikali matematičkoga obrazovanja.

Obrazovanje u matematičkom području temelji se na ideji da se iste domene poučavaju i uče u svim ciklusima te na taj način usmjeravaju učenje prema istim konceptima koji se kroz cikluse razvijaju i nadopunjuju. Udio pojedinih domena nije jednak u svim ciklusima pa neke domene dominiraju u nižim ciklusima, a neke u višim. Osim vertikalne povezanosti, postoje i horizontalne veze među domenama tako da se svaki koncept iz jedne domene može lako povezati s drugim domenama. .

Matematičko područje kurikuluma organizirano je u pet domena:

— Brojevi

— Algebra i funkcije

— Oblik i prostor

— Mjerenje

— Podatci, statistika i vjerojatnost.  

Brojevi

Broj je osnovni matematički pojam kojim počinje razvoj matematike i predstavlja jedan od prvih učenikovih doživljaja matematike. Poznavanje brojeva i računskih operacija nužno je svakom čovjeku. Stoga je domena Brojevi temelj matematičke pismenosti i učenje ove domene od velike je važnosti.

Početnim usvajanjem pojma prirodnog broja i skupa prirodnih brojeva, uz primjenu osnovnih računskih operacija, učenici postupno i sustavno otkrivaju potrebu proširivanja toga skupa na skup cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Analiziraju i tumače svojstva i odnose među brojevima, koriste različite načine zapisivanja i prikazivanja brojeva te usvajaju i primjenjuju sve složenije računske operacije. Razvijaju vještine mentalnog računanja i pisanog računanja te se učinkovito služe tehnologijom. Procjenjuju smislenost i točnost rezultata računanja.

Domena Brojevi usko je povezana sa svim ostalim domenama. Primjena brojeva je sveprisutna i neizbježna u svim područjima ljudske djelatnosti, što povezuje ovu domenu s ostalim područjima kurikuluma i svakodnevnim životom.

Algebra i funkcije

Algebra čini osnovu za učenje matematičkoga jezika proučavajući pravilnosti i rabeći simbole umjesto brojeva, a funkcije omogućavaju istraživanje promjena.

U domeni Algebra i funkcije učenici prikazuju i analiziraju matematička svojstva, veze i odnose među brojevima, podatcima, oblicima i mjerama. Generaliziraju pronađene pravilnosti. Uočene matematičke veze među veličinama prikazuju riječima, simbolima, tablično i grafički. Koriste jednadžbe i nejednadžbe u rješavanju problema te proučavajući funkcije istražuju i opisuju promjenu i brzinu promjene u različitim kontekstima.

Domena Algebra i funkcije omogućava jednostavnije izražavanje mnogih pojmova, matematičkih zakonitost i ili  pravila, opisivanje promjena te rješavanje složenih problema, što je povezuje sa svim ostalim domenama. Primjena matematičkih metoda u znanosti čvrsto je povezuje s prirodoslovnim područjem kurikuluma. Zbog svoje složenosti ova je domena zastupljenija u višim ciklusima obrazovanja.

Oblik i prostor

U domeni Oblik i prostor učenici otkrivaju i analiziraju obilježja, svojstva i odnose geometrijskih oblika. Određuju položaj oblika i opisuju prostorne veze rabeći koordinatni sustav te primjenjuju transformacije i simetriju. Razvijaju vizualizaciju i prostorno mišljenje te rabe modeliranje za rješavanje problema. Pritom skiciraju, crtaju, konstruiraju i izrađuju geometrijske oblike.

Domena je usko povezana s domenama Mjerenje i Brojevi pri određivanju i izračunavanju mjerivih obilježja oblika. Algebarski izrazi i funkcije su važni za transformacije objekata i određivanje njihovih svojstava, prikaz u koordinatnom sustavu te pri rješavanju problema geometrijskim modeliranjem.

Povezana s doživljavanjem prirode i svijeta oko nas, domena Oblik i prostor našla je svoje mjesto u temelju mnogih prirodnih i tehničkih znanosti, a posebice je kreativno primjenjuje umjetnost. Domena Oblik i prostor ostvaruje veze između matematike i prirodoslovnog, tehničkog i informatičkog te umjetničkog područja kurikuluma.

Mjerenje

U životu se neprestano susrećemo s mjerenjem i mjernim jedinicama. Mjerenjem određujemo duljinu, površinu, volumen, vrijeme, temperaturu, brzinu te brojne druge veličine. Novac je također vrsta mjere kojom se iskazuje vrijednost robe ili usluga.

Domena Mjerenje osposobljava učenike za procjenjivanje, mjerenje ili izračunavanje veličina. Učenicima omogućava razumjeti i rabiti mjeriva svojstva, mjerne jedinice i postupke mjerenja uz pravilnu primjenu mjernih alata i matematičkih procedura. Ova domena vježbom te primjenom znanja i vještina doprinosi razumijevanju matematičkih koncepata.

Usko je povezana s domenama Brojevi, Oblik i prostor te Podatci, statistika i vjerojatnost. Mjere su svuda oko nas pa se ovom domenom matematika povezuje sa stvarnim životom. Koncepte mjerenja koriste sve znanosti, a domena Mjerenje posebno je važna poveznica matematike s prirodoslovnim, tehničkim i informatičkim te društveno-humanističkim područjem kurikuluma.

Podatci, statistika i vjerojatnost

Svaki pojedinac treba pravilno tumačiti podatke i njihov statistički prikaz kako bi predviđao i procjenjivao rizike te donosio utemeljene odluke.  

Grafički prikazi, analize podataka i procjena vjerojatnosti susreću se svakodnevno, na primjer u reklamiranju, procjeni javnoga mišljenja, procjeni zdravstvenoga rizika ili vremenskoj prognozi. Domena Podatci, statistika i vjerojatnost omogućava učenicima prikupljati podatke, organizirati ih i prikazivati na različite načine, prema potrebi uz pomoć tehnologije. Podatke čitaju iz različitih prikaza te ih analiziraju kako bi otkrili veze među njima i donijeli utemeljene zaključke i predviđanja. Promatraju slučajne događaje te procjenjuju i računaju njihovu vjerojatnost.   

Ova je domena usko povezana s domenama Brojevi i Mjerenje prilikom prikupljanja podataka, Algebra i funkcije pri analizi te Oblik i prostor prilikom prikazivanja podataka. Statistika i vjerojatnost imaju važnu primjenu u drugim znanostima pa se ovom domenom matematika povezuje s ostalim područjima kurikuluma, posebno s prirodoslovnim i društveno-humanističkim. Statističke elemente učenici susreću u neposrednoj okolini, što omogućava snažne poveznice između matematike i stvarnoga života.

Slika 1. Matematički procesi i domene matematičkoga područja kurikuluma

D. ODGOJNO-OBRAZOVNA OČEKIVANJA PO ODGOJNO-OBRAZOVNIM CIKLUSIMA I DOMENAMA

E. POVEZIVANJE S OSTALIM PODRUČJIMA KURIKULUMA I MEĐUPREDMETNIM TEMAMA

Matematičko područje ima jednu od središnjih uloga u nacionalnom kurikulumu te je  utjecaj učenja i poučavanja tog područja od izuzetne važnosti pri razvoju temeljnih kompetencija svakoga pojedinca.  Stoga je jedan od temeljnih ciljeva učenja i poučavanja matematičkog područja povezati ga s ostalim područjima kurikuluma, međupredmetnim temama i stvarnošću. Tako se ostvaruje višeslojna primjena matematičkih znanja, vještina i sposobnosti pri otkrivanju novih ideja i rješavanju raznih problema u osobnom, radnom i društvenom okruženju.

Brojevi su zastupljeni kroz brojanje, uspoređivanje, računanje, procjenjivanje, uočavanje brojevnih pravila i zakonitosti u svim područjima kurikuluma i međupredmetnim temama.

Algebra i funkcije se, uporabom pravila te proučavanjem veza i promjena, osobito primjenjuju u prirodoslovnom i tehničko-informatičkom području kurikuluma, ali i u društveno-humanističkom.

Oblik i prostor je domena zaslužna za spoznavanje svijeta koji nas okružuje, a povezana je s prirodoslovnim, tehničko-informatičkim te umjetničkim područjem kurikuluma.

Mjerenje je, jednako kao i Brojevi, utkano u sva područja kurikuluma i međupredmetne teme.

Podatci, statistika i vjerojatnost olakšavaju razumijevanje i predviđanje događaja, rabe se u svim područjima kurikuluma i međupredmetnim temama, a naročito u Poduzetništvu i Održivom razvoju.

Poput komunikacije jezikom u svakodnevnom životu, matematiku karakterizira univerzalan jezik kojime se mogu jasno izraziti i prenositi mnoge ideje i informacije. Ostala područja kurikuluma i međupredmetne teme rabe matematički jezik za raščlambu, prikazivanje, tumačenje i argumentiranje. Pri stvaranju i istraživanju pretpostavki, donošenju zaključaka i generalizacija te pri logičkom, strateškom i kritičkom razmišljanju i dokazivanju prisutno je matematičko rasuđivanje čime se dolazi do novih ideja i spoznaja te razvijanja samostalnosti i kreativnosti.

Važno je istaknuti da ostala područja kurikuluma, svojim primjerima i spoznajama, obogaćuju matematiku nudeći joj nove izazove jer se matematika često razvija rješavanjem problema iz drugih područja. Prožimanjem matematičkoga područja sa svim područjima kurikuluma i međupredmetnim temama, uz primjenu tehnologije, ostvaruje se cjelovitost procesa odgoja i obrazovanja. Time će nezaustavno biti potaknut razvoj svake  mlade osobe koja će znati kako učiti i koja će cijeniti istinu kao temelj  rasuđivanja te tako biti spremna za izazove 21. stoljeća.