DOMENE: A – BROJEVI, B – ALGEBRA I FUNKCIJE, C – OBLIK I PROSTOR, D – MJERENJE, E – PODATCI, STATISTIKA I VJEROJATNOST

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

ZADOVOLJAVAJUĆA

DOBRA

VRLO DOBRA

IZNIMNA

1.

A. 1. 1

Opisuje i prikazuje količine prirodnim brojevima i nulom.

Povezuje količinu i broj.

Broji u skupu brojeva do 20.

Prikazuje brojeve do 20 na različite načine.

Čita i zapisuje brojeve do 20 i nulu brojkama i brojevnim riječima.

Razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve.

Objašnjava vezu između vrijednosti znamenaka i vrijednosti broja.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i stranim jezikom.

Broji unaprijed i unatrag, prikazuje brojeve pomoću konkreta, čita i zapisuje brojeve do 20 i nulu , određuje količinu i prikazuje ju brojem.

Određuje broj  neposredno ispred i neposredno iza zadanoga broja, prikazuje brojeve na brojevnoj crti, razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve.

Broji u skupinama od po 2 i 5, rastavlja broj na desetice i jedinice, koristi se brojevima do 20 u opisivanju neposredne okoline.

Broji zadanim korakom, rastavlja broj na različite načine, u zapisu broja objašnjava vrijednost pojedine znamenke.

NAPOMENE:

Važno je da učenici na konkretima spoznaju pojam broja kako se brojenje ne bi svelo na mehaničko izgovaranje brojevnih riječi bez razumijevanja njihovih značenja. Brojeve, uz konkrete, mogu prikazivati i crtežima (u početku pripremljenim ilustracijama).

Pomoću konkreta se osvještava i da svaki sljedeći broj nastaje dodavanjem broja 1 prethodnomu broju, a na brojevnoj crti će spoznati prethodnika i sljedbenika (broj neposredno ispred i neposredno iza) određenoga broja te brojeve koji se nalaze između pojedinih brojeva (učenici brojeve prikazuju na unaprijed pripremljenim brojevnim crtama). Postupno se spoznaje brojenje unaprijed i unatrag (redom i od zadanoga broja) te brojenje zadanim korakom počevši po 2 i 5 redom (po 2: 2, 4, 6…)  i od zadanoga broja, (od broja 3 broje po 2: 3, 5, 7…).

U početnome brojenju mogu se upotrebljavati i prsti.

Deseticu možemo prikazati različitim skupinama od deset jedinica.

Zornim primjerima učenicima se prikazuju brojevi na različite načine (skupovima, rastavljanjem na desetice i jedinice, rastavljanjem na zbroj različitih pribrojnika) kako bi osvijestili mogućnost različitih prikaza istoga broja.

Na temelju iskustva učenika postupno se upoznaju znamenke pomoću kojih se pišu brojevi (od nula do devet), koristeći se jezikom izvorne stvarnosti, jezikom modela, jezikom slike, govornim jezikom i jezikom matematičkih znakova.

U prvome razredu se ne vrednuje primjena riječi znamenka , brojka ili brojevna riječ .

2.

A. 1. 2

Uspoređuje prirodne brojeve do 20 i nulu.

Određuje odnos među količinama riječima: više – manje – jednako .

Određuje odnos među brojevima riječima: veći – manji – jednak .

Uspoređuje brojeve matematičkim znakovima >, < i =.

Reda brojeve po veličini.

Uspoređuje dva broja riječima: veći – manji – jednak .

Uspoređuje brojeve znakovima uspoređivanja   >, < i =.

Reda po veličini zadane brojeve.

Primjenjuje uspoređivanje brojeva u različitim okolnostima uočavajući tranzitivnost odnosa veći – manji.

NAPOMENE:

Pojmovi više , manje , jednako izgrađuju se postupno, započinje se uspoređivanjem skupova konkretnih predmeta, a potom se svakome skupu pridružuje broj koji prikazuje koliko članova ima pa se ti brojevi uspoređuju. Važno je uočiti da se količine uspoređuju riječima: više – manje , dok se brojevi uspoređuju riječima: veći – manji . U početku zapisujemo odnos brojeva riječima je veći od ,   je manji od i jednako je , a tek na kraju učenike upoznajemo s matematičkim zapisom – znakovima nejednakosti i jednakosti.

Potrebno je paziti da se znakovi <, > i = stavljaju između brojeva, a ne između ilustracija. Cilj je da učenici shvate odnos dvaju brojeva pa ne treba pretjerivati s uporabom tih znakova u uzastopnim nejednakostima.

3.

A. 1. 3

Koristi se rednim brojevima do 20.

Čita i zapisuje redne brojeve.

Uočava redoslijed i određuje ga rednim brojem.

Razlikuje glavne i redne brojeve.

Korelacija s Hrvatskim jezikom,

Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Pravilno čita i zapisuje zadane redne brojeve.

Rednim brojevima prikazuje redoslijed i određuje prvoga i posljednjega u redu.

Koristi pojmove ispred i iza u redoslijedu te objašnjava razliku između glavnih i rednih brojeva.

Koristi se rednim brojevima do 20 za prikazivanje redoslijeda u različitim situacijama.

NAPOMENE:

Na konkretnim primjerima odrediti mjesto u redu, nizu i sl., pravilno izgovarati, zapisati i čitati redni broj te razlikovati glavne i redne brojeve.

Dobro je što češće postavljati pitanja Koji po redu? i Koliko ih ima? u konkretnim primjerima kako bi učenici razumjeli razliku između rednih i glavnih brojeva te kako bi osvijestili kada ih upotrebljavati.

4.

A. 1. 4

B. 1. 1

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 20.

Zbraja i oduzima brojeve do 20.

Računske operacije zapisuje matematičkim zapisom.

Imenuje članove u računskim operacijama.

Primjenjuje svojstva komutativnosti i asocijativnosti te vezu zbrajanja i oduzimanja.

Određuje nepoznati broj u jednakosti.

Zbraja i oduzima brojeve do 20 služeći se konkretima i pravilno zapisujući brojevni izraz.

Zbraja i oduzima uz poneku pogrešku, rabi zamjenu mjesta i združivanje pribrojnika te vezu zbrajanja i oduzimanja zapisujući četiri jednakosti.

Točno zbraja i oduzima u skupu brojeva do 20, imenuje članove u računskim operacijama uz objašnjenje pravila o zamjeni mjesta ili združivanju pribrojnika te vezi zbrajanja i oduzimanja.

Automatizirano zbraja i oduzima te vješto bira i povezuje strategije pri zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 20.

NAPOMENE:

Uvod u zbrajanje i oduzimanje se ostvaruje pomoću konkreta povezujući zbrajanje s riječi više , a oduzimanje s riječi manje .

Koriste se primjeri u kojima će učenici povezivati zbrajanje brojeva s izrazima više od , i , ukupno ili za toliko više , a oduzimanje s riječima manje od , za toliko manje .

Prije prelaska na matematički zapis učenici povezuju račun i rješenje s izrazima je , jednako , jednako je ili je jednako .

Kada je ovaj proces potpuno jasan, prelazimo na matematički zapis u kojemu se koristimo znakovima + (više ili plus) , – (manje ili minus) i = ( je , jednako , jednako je , je jednako ) .

Osobito je važno osvještavati znak = koji prikazuje jednakost lijeve i desne strane. Iako obično čitamo s lijeva na desno, u jednakosti 4 + 2 = 6 može se reći i zapisati da je 6 jednako 4 + 2.

Nakon skupovnoga pristupa zbraja se i oduzima i pristupom brojenja koji pokazujemo na brojevnoj crti.

Važno je poticati automatizaciju zbrajanja i oduzimanja do 20 jer je to kasnije osnova za mentalno i pisano računanje s većim brojevima.

Učenici trebaju upoznati nazive za članove računskih operacija.

U početnoj nastavi matematike se učenici upoznaju s oba naziva: računska radnja i računska operacija , no s vremenom teži se ujednačenoj uporabi izraza računska operacija .

Svojstvo komutativnosti učenici uočavaju na konkretnim primjerima, kao i zbrajanje triju pribrojnika, s tim da se sada ne koriste zagrade, nego se redoslijedom zbrajanja ističe svojstvo asocijativnosti (različitim združivanjima pribrojnika zbroj ostaje isti), npr. u računu 5 + 1 + 5 je lakše združiti 5 + 5 i tome pribrojiti 1.

Primjer četiri jednakosti: 3 + 7 = 10, 7 + 3 = 10, 10 – 3 = 7, 10 - 7 = 3.

!!! Učenici se ne koriste nazivima komutativnost i asocijativnost .

Dodatni kod ishoda (B. 1. 1) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja).

5.

A. 1. 5

Matematički rasuđuje  e matematičkim jezikom prikazuje i rješava različite tipove zadataka.

Postavlja matematički problem (određuje što je poznato i nepoznato, predviđa/istražuje i odabire strategije, donosi zaključke i određuje moguća rješenja).

Koristi se stečenim spoznajama u rješavanju različitih tipova zadataka (računski zadatci, u tekstualnim zadatcima i problemskim situacijama iz svakodnevnoga života).

Odabire matematički zapis uspoređivanja brojeva ili računsku operaciju u tekstualnim zadatcima.

Smišlja zadatke u kojima se pojavljuju odnosi među brojevima ili potreba za zbrajanjem ili oduzimanjem.

Prošireni sadržaji : složenije problemske situacije i mozgalice.

Konkretima  i pravilnim matematičkim zapisom prikazuje i rješava jednostavne

brojevne izraze.

Matematičkim jezikom na različite načine prikazuje i rješava jednostavne brojevne izraze pomoću kojih donosi zaključke u različitim okolnostima.

Matematički rasuđuje  e matematičkim jezikom na različite načine prikazuje brojevne izraze pomoću kojih dolazi do zaključaka i mogućih novih pretpostavki.

Matematički rasuđuje te smišlja problemske situacije u kojima se pojavljuju odnosi među brojevima ili potreba za zbrajanjem ili oduzimanjem.

NAPOMENE:

Ovaj ishod objedinjava učenikove spoznaje o brojevima pa ih uspoređuje i računa s njima. Postupnim usvajanjem matematičkih znanja i vještina, učenici razvijaju i  matematičke procese koji će se ovim ishodom još više produbiti i ostvariti. Time će se na primjeren način pripremiti učenike za rješavanje problemskih situacija u svakodnevnome životu, kao i unaprijediti njegove matematičke kompetencije za daljnje obrazovanje.

Učenike se postupno uvodi u postupak rješavanja tekstualnih zadataka i problemskih situacija . Zadatak je važno pročitati s razumijevanjam, promisliti o tome što je poznato, a što se traži, promisliti kako doći do traženoga podatka i na kraju odgovoriti na postavljeno pitanje.

Od samoga početka potrebno je učenike poticati da problemsku situaciju prikažu (modeliraju) slobodnim crtežima, skicama ili konkretima jer to pridonosi uspješnosti rješavanja zadataka te stvara naviku skiciranja zadatka koja će im dobro doći u složenijim problemima.

Primjer:

Zadovoljavajuća razina: od konkreta koji čine 3 i 4 jabuke zapisati matematičkim izrazom zbrajanje i izmisliti tekstualni zadatak (ili obratno: iz tekstualnog zadatka prikazati crtežom ili konkretima i zapisati račun,…); 14 – __ = 10 , 3 __   4= 7, 13 > ___ > 11; Koja su mjesta u natjecanju osvojili učenici između 3. i 10. mjesta?; Koliko škola ima učionica, ako su u prizemlju 4 učionice, a ne katu 6 učionica?...

Dobra razina: združivanje pribrojnika (2 + 6 + 8 = 2 + 8 + 6 = …  ili 9 + 3 + 7 = 9 + 1 + 2 + 7 = 7 + 3 + 9 =…) ; Je li Matku dovoljno 10 bombona da ih podijeli na svoja 3 prijatelja i 4 prijateljice? Bi li mu bilo dovoljno bombona za dvije košarkaške momčadi po 5 igrača? Za što Matku ne bi ne bi bilo dovoljno 10 bombona?...

Vrlo dobra razina: Iva je kupila bilježnicu koja košta 6 kuna i olovku koja košta 2 kune manje. Koliko je potrošila?; Je li Matku dovoljno 20 bombona da ih podijeli na svojih 11 prijatelja i 9 prijateljica? Ima li tada bombon i za sebe?...

Iznimna razina: Iva u knjižari kupuje školski pribor. Bilježnica stoji 6 kuna, olovka 4 kune, gumica 9 kuna i šiljilo 12 kuna. Iva kod sebe ima 19 kuna. Što bi Iva mogla kupiti?

6.

B. 1. 2

Prepoznaje uzorak i nastavlja niz.

Uočava uzorak nizanja.

Objašnjava pravilnost nizanja.

Objašnjava kriterije nizanja.

Niže po zadanome kriteriju.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Likovnom kulturom, Glazbenom kulturom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Uočava pravilne izmjene i navodi primjere objekata, pojava, aktivnosti i brojeva u okruženju.

Nastavlja nizati jednostavne nizove.

Niže prema zadanome kriteriju.

Niže prema zadanome kriteriju i objašnjava pravilnost nizanja.

NAPOMENE:

Učenici mogu uočavati pravilnosti nizanja u svakodnevnome okruženju (izmjena dana i noći, dani u tjednu, prozori na školskoj zgradi , refren pjesme   i slično).

Zadatci u kojima se od učenika traži da nastave niz potiču logičko mišljenje, ali u njihovu osmišljavanju se pazi da je dano dovoljno objekata u nizu kako bi se tražena pravilnost zaista mogla jedinstveno utvrditi. Dobro je tražiti od učenika da svojim riječima objasne po kojemu se pravilu objekti u nizu nižu.

Budući da je ovaj ishod usko povezan s brojenjem, možemo od učenika tražiti i da broje po 2 počevši od broja 5. Tu je zadan samo kriterij nizanja, a oni sami moraju odrediti brojeve u nizu.

Primjer zadatka u kojemu je nizanje prema kriteriju jest i zadatak u kojemu se, na primjer traži da se žuti trokut i krug te plavi pravokutnik i kvadrat slože u niz: a) prema boji ili slože u niz b) prema obliku…

7.

C. 1. 1

Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove i povezuje ih s oblicima objekata u okruženju.

Imenuje i opisuje kuglu, valjak, kocku, kvadar, piramidu i stožac.

Imenuje ravne i zakrivljene plohe.

Ravne plohe geometrijskih tijela imenuje kao geometrijske likove: kvadrat, pravokutnik, trokut i krug.

Imenuje i opisuje kvadrat, pravokutnik, krug i trokut.

Korelacija s međupredmetnom temom Zdravlje.

Razlikuje geometrijska tijela i likove.

Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove predstavljene didaktičkim modelima i ilustracijama.

Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove prikazane u različitim položajima.

Izdvaja i analizira geometrijski oblik u opisivanju složenijih objekata u životnome okruženju.

NAPOMENE :

Učenje geometrije počinje upoznavanjem geometrijskih tijela jer su učenicima trodimenzionalni prostor i oblici u njemu bliski. Važno je napomenuti da upoznavanje geometrijskih tijela započinje na konkretnim modelima, a ne na crtežima, slikama, ilustracijama. Učenici tijela uzimaju u ruke, okreću ih, razgledavaju i imenuju. Iz skupa modela izdvajaju kugle ili kocke. Povezuju predmete iz okoline s geometrijskim tijelima, odnosno izdvajaju oblik predmeta (ormar, krov, lopta i slično).

Tek kada su tijela zorno upoznata, prelazi se na njihove ilustracije. Pri prikazivanju tijela paziti da ona budu prikazana u različitim položajima (ne uvijek usporedno s rubom papira).

Geometrijske likove učenici upoznaju kao ravne plohe geometrijskih tijela. Tako se stvara jasna poveznica među geometrijskim objektima. Važno je naglasiti da u početku likove treba bojiti ili izrađivati i rezati iz kolaž-papira kako bi učenik doživio cijeli lik, a ne samo njegove stranice.

Učenici skiciraju/crtaju likove i predmete oblika geometrijskih tijela.

8.

C. 1. 2

Crta i razlikuje ravne i zakrivljene crte.

Razlikuje i crta ravne i zakrivljene crte.

Koristi se ravnalom.

Prošireni sadržaji: otvorene, zatvorene i izlomljene crte.

Korelacija s Likovnom kulturom.

Razlikuje i imenuje zakrivljene i ravne crte.

Koristi se ravnalom pri crtanju ravnih crta .

Vješto se koristi ravnalom pri crtanju.

Razlikuje i imenuje ravne i zakrivljene crte na različitim crtežima i objektima iz okoline.

NAPOMENE:

Nakon što su učenici naučili prepoznati ravnu i zakrivljenu crtu , mogu ih povezati s bridovima geometrijskih tijela, odnosno stranicama geometrijskih likova. Pri služenju ravnalom treba imati strpljenja jer je riječ o početnoj motoričkoj vještini koja traži dosta uvježbavanja.

9.

C. 1. 3

Prepoznaje i ističe točke.

Prepoznaje istaknute točke i označava ih velikim tiskanim slovima.

Određuje vrhove geometrijskih tijela i likova kao točke.

Crta (ističe) točke.

Korelacija s Likovnom kulturom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Prepoznaje vrhove geometrijskih tijela i likova kao točke.

Određuje točke na ilustracijama geometrijskih tijela i likova.

Ističe točke i označava ih.

Prepoznaje točke na objektima u neposrednoj okolini.

NAPOMENE:

Prepoznati točku kao vrh na geometrijskim tijelima i likovima, odrediti točku kao sjecište crta, uočiti da se točka može istaknuti bilo na kojemu mjestu u prostoru te da točaka prema tome ima jako puno.

Točku istaknuti točkom ili križićem u 1. ciklusu, a u 2. ciklusu (3. razred) inzistirati na njenom isticanju samo točkom.

10.

D. 1. 1

Analizira i uspoređuje objekte iz okoline prema mjerivom svojstvu.

Prepoznaje odnose među predmetima: dulji – kraći – jednako dug, veći – manji – jednak.

Određuje najdulji, najkraći, najveći, najmanji objekt.

Uspoređuje dva konkretna objekta te ih opisuje prema mjerivome svojstvu.

Uspoređuje, razvrstava i niže objekte prema mjerivome svojstvu.

Uspoređuje i opisuje objekte u prostoru prema njihovim mjerivim svojstvima.

Jasno, precizno i točno analizira objekte u okolini prema njihovim mjerivim svojstvima.

NAPOMENE:

Odnosi među predmetima primjenjuju se na objekte iz svakodnevnoga života, ali i na naučena tijela i likove. Dajemo primjere duljega i kraćega konopca, veće i manje lopte...

Važno je naglasiti da se predmeti uspoređuju prema istome svojstvu (viši predmet može biti manji, a niži predmet može biti veći, npr. neboder je viši, a zgrada često veća). Uz dobro odabrane primjere učenici osvještavaju razlike među tim pojmovima.

11.

D. 1. 2

Služi se hrvatskim novcem u jediničnoj vrijednosti kune u skupu brojeva do 20.

Prepoznaje hrvatske kovanice i novčanice vrijednosti: 1 kuna, 2 kune, 5 kuna, 10 kuna i 20 kuna.

Služi se kunama i znakom jedinične vrijednosti kuna.

Uspoređuje vrijednosti kovanica i novčanica te računa s novcem u skupu brojeva do 20.

Objašnjava svrhu i korist štednje.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i Građanski odgoj i obrazovanje.

Prepoznaje hrvatske kovanice i novčanice vrijednosti 1 kn, 2 kn, 5 kn, 10 kn i 20 kn.

Uspoređuje vrijednosti hrvatskih kovanica i novčanica od 1 kn, 2 kn, 5 kn, 10 kn i 20 kn.

Računa s kunama u skupu brojeva do 20, objašnjava svrhu štednje.

Računa s kunama u skupu brojeva do 20 u problemskim situacijama razumne potrošnje.

NAPOMENE:

Učenik se i prije polaska u školu susreće s novcem. U svrhu financijske pismenosti i potrebe uporabe novca u stvarnome životu, učenik u prvome razredu upoznaje osnovnu jediničnu vrijednost hrvatskoga novca, kunu, s kojom može i računati u skupu brojeva do 20.

Poželjno je što više koristiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njime.

Učenike je dobro potaknuti na štednju i uviđanje njezine koristi, kao i razumno upravljanje novcem u problemskim situacijama neophodnima za život (može se spomenuti i negativni utjecaj reklama u kontroliranom raspolaganju novcem).

12.

E. 1. 1

Služi se podatcima i prikazuje ih piktogramima i jednostavnim tablicama.

Određuje skup prema nekome svojstvu.

Prebrojava članove skupa.

Uspoređuje skupove.

Prikazuje iste matematičke pojmove na različite načine (crtež, skup, piktogram i jednostavna tablica).

Čita i tumači podatke prikazane piktogramima i jednostavnim tablicama.

Prošireni sadržaji: prikazivanje podataka različitih nastavnih predmeta.

Korelacija s Hrvatskim jezikom,

Prirodom i društvom, međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo.

Prikuplja i razvrstava konkrete te ih prikazuje skupovima i crtežima.

Čita i prikazuje podatke piktogramima.

Unosi podatke i čita ih u tablicama razlikujući pojmove redak i stupac .

Donosi jednostavne zaključke o prikazanim podacima.

NAPOMENE:

U matematici, ali i u stvarnome životu, podatci se često prikazuju u dijagramima ili tablicama. Te reprezentativne forme učenici susreću u različitim predmetima i različitim situacijama pa je dobro naučiti se služiti njima. U prvome razredu koristimo se samo jednostavnim primjerima, a podatci u njima moraju biti iz neposredne učenikove okoline (npr. količina/broj učitelja, dječaka i djevojčica u nekome razredu, količina/broj učenika koji imaju određenu boju očiju, količina/broj učenika koji se bave nekim hobijem...) U početku učenici te podatke slikovno (količinski) uspoređuju na crtežima, u skupovima ili piktogramima, a kasnije i brojčano u tablicama s ciljem donošenja jednostavnih i učenicima bliskih zaključaka.

Primjer piktograma : Na slici je prikazano voće koje učenici iz jednoga razreda najviše vole. Koliko učenika najviše voli banane? Koliko naranče? Koje voće djeca najradije jedu ?

U tabličnim prikazima važno je ispravno se koristiti izrazima redak i stupac .,

Primjeri jednostavnih tablica:

Koliko je dječaka u 1. c razredu? Koliko je djevojčica u 1. d razredu? Naravno, može se pitati i složenija pitanja poput: „Koliko je učenika u tome razredu?“

Korelacija s računanjem s novcem i zdravom prehranom: Što se može kupiti za 10 kuna? Koliko bi potrošio novca netko tko se zdravo hrani? Što ne bi kupio netko tko štedi?

Kao primjer, a i motivacija, s učenicima se može igrati igra asocijacija.

DOMENE: A – BROJEVI, B – ALGEBRA I FUNKCIJE, C – OBLIK I PROSTOR, D – MJERENJE, E – PODATCI, STATISTIKA I VJEROJATNOST

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

1.

A. 2. 1

Služi se prirodnim brojevima do 100 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda .

Broji, čita i zapisuje brojkom i brojevnom riječi te uspoređuje prirodne brojeve do 100.

Prikazuje brojeve na različite načine.

Uočava odnose među dekadskim jedinicama (jedinice, desetice, stotice).

Objašnjava odnos broja i vrijednosti pojedine znamenke.

Razlikuje glavne i redne brojeve do 100.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i

Prirodom i društvom.

Konkretima i crtežima modelira dvoznamenkasti broj kao skupine desetica i jedinica te broji, uspoređuje , čita i zapisuje glavne i redne brojeve do 100.

Prikazuje dvoznamenkaste brojeve u tablici mjesnih vrijednosti ili na brojevnoj crti te prikazuje odnose dekadskih jedinica, uspoređuje i upotrebljava brojeve u opisivanju količine.

Određuje broj neposredno ispred i neposredno iza zadanoga broja te brojeve između zadanih brojeva, dvoznamenkasti broj zapisuje u obliku aD i bJ i u obliku a ⋅ 10 + b ⋅ 1.

Vješto uspoređuje i primjenjuje različite načine prikaza i zapisa dvoznamenkastoga broja , sigurno se koristi dvoznamenkastim brojevima u matematici i u svakodnevnim situacijama.

NAPOMENE:

Postupci brojenja, pravilnoga čitanja, pisanja brojkom i brojevnom riječi, uspoređivanja i prikazivanja brojeva usvajaju se na konkretnim materijalima kako bi se pravilno oblikovao koncept broja.  Pri uspoređivanju brojeva učenicima se prikazuje odnose i na brojevnoj crti. Povezuju se brojevnu riječ, zapis broja i njegovo rastavljanje na desetice i jedinice. Potrebno je razlikovati sto i stotinu od stotice te zorno i jasno prikazati odnos stotice i 10 desetica, odnosno 100 jedinica.

Učenici bi trebali razlikovati i pravilno zapisivati glavne i redne brojeve do 100.

2.

A. 2. 2

Koristi se rimskim brojkama do 12.

Nabraja osnovne i pomoćne rimske znamenke.

Objašnjava pravila pisanja rimskih brojki.

Rimskim znamenkama zapisuje i čita brojeve do 12.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Prepoznaje brojeve zapisane rimskim znamenkama te ih čita i zapisuje uz manje pogreške.

Čita i zapisuje brojeve do 12 rimskim znamenkama.

S lakoćom prelazi iz zapisa arapskim znamenkama u zapis rimskim znamenkama i obrnuto.

Upotrebljava i objašnjava pravila pri zapisivanju brojki rimskim znamenkama.

NAPOMENE:

U neposrednome okruženju se uočavaju rimske brojke (sat, kalendar). Učenike se može upoznati s povijesnim razvojem arapskih i rimskih znamenaka.

3.

A. 2. 3

Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 100.

Mentalno zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti te vezu između računskih operacija.

Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja.

Zbraja i oduzima više brojeva.

Rješava tekstualne zadatke.

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100 pomoću konkreta i slikovnih prikaza.

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100 detaljno zapisujući postupak te uz manju nesigurnost pri prijelazu desetice.

Mentalno zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100 rabeći kraći zapis.

Procjenjuje rezultat i zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100.

NAPOMENE:

Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 100 temelji se na automatizaciji zbrajanja i oduzimanja u skupu brojeva do 20 kao i na spoznaji veze zbrajanja i oduzimanja.

Postupak zbrajanja i oduzimanja provodi se postupno, prvo s primjerima bez prijelaza desetice, a tek zatim s primjerima s prijelazom desetice. Procjenom učenikove spremnosti, može se prijeći s detaljnoga zapisivanja svih koraka u postupku na kraći zapis.

Poželjno je da učenici ovladaju mentalnim postupkom zbrajanja i oduzimanja brojeva do 100 i izrazima uvećaj za i umanji za te da mogu odrediti broj koji je za toliko veći ' ili za toliko manji od nekoga broja.

Procjena rezultata razvija logičko mišljenje i preduvjet je primjeni zbrajanja i oduzimanja u stvarnim situacijama (npr. tijekom kupovine).

Učenicima s poteškoćama u računaju može se pomoći tablicom brojeva do 100 pri čemu učenik zorno može odrediti brojeve za deset veće ili manje od zadanoga broja, kao i prethodnika i sljedbenika .

4.

A. 2. 4

Množi i dijeli u okviru tablice množenja.

Množi uzastopnim zbrajanjem istih brojeva.

Dijeli uzastopnim oduzimanjem istih brojeva.

Množi i dijeli u okviru tablice množenja.

Određuje višekratnike zadanoga broja.

Određuje polovinu, trećinu, četvrtinu itd. zadanoga broja.

Određuje parne i neparne brojeve.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti množenja.

Primjenjuje vezu množenja i dijeljenja.

Izvodi četiri jednakosti.

Imenuje članove računskih operacija.

Poznaje ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju.

Množi i dijeli brojem 10.

U zadatcima s nepoznatim članom određuje nepoznati broj primjenjujući vezu množenja i dijeljenja.

Rješava tekstualne zadatke.

Uz pravilan matematički zapis množi uzastopnim zbrajanjem i dijeli uzastopnim oduzimanjem istoga broja ili nabrajajući višekratnike.

Nesigurno množi i dijeli nekim brojevima u okviru tablice množenja, primjenjuje svojstvo komutativnost i vezu množenja i dijeljenja te izvodi četiri jednakosti.

Množi i dijeli svim brojevima u okviru tablice množenja te provjerava rezultat vezom množenja i dijeljenja, imenuje članove računskih operacija.

Automatizirano množi i dijeli u okviru tablice množenja te objašnjava pravila o zamjeni mjesta faktora i vezi množenja i dijeljenja, uočava mogućnost dijeljenja s ostatkom.

NAPOMENE:

Potrebno je postupno i zorno na različite načine usvajati množenje kao   uzastupno zbrajanje istih pribrojnika te dijeljenje kao uzastupno oduzimanje istih brojeva od zadanoga broja. Svojstvo komutativnosti te veza množenja i dijeljenja u računanju koriste se kao pomoć.

Učenici se poučavaju kako odrediti broj koji je nekoliko puta veći od i nekoliko puta manji od zadanoga broja, određuju višekratnike (trokratnik, četverokratnik,…) brojeva u okviru tablice množenja te se snalaze u samoj tablici.

Dovoljno vremena se treba posvetiti razlikovanju izraza uvećaj za (zbrajanje) i uvećaj nekoliko puta (množenje) te umanji za (oduzimanje) i umanji nekoliko puta (dijeljenje).

Učenici će usvojiti pravilo o množenju i dijeljenju brojem 10, odrediti parne i neparne brojeve, određivati polovinu, trećinu, četvrtinu itd. nekoga broja te posebno obratiti pozornost na ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju.

Upoznat će se s nazivima članova računskih operacija   (u množenju učenici upoznaju hrvatsko nazivlje: čimbenici i umnožak te internacionalno  nazivlje: faktori i produkt, pri čemu kasnije treba poticati uporabu riječi faktori zbog potrebe u višim razredima; u dijeljenju to su: djeljenik, djelitelj i količnik).

U 2. razredu očekujemo da učenici razumiju koncept množenja i dijeljenja, da postupno izgrade tablicu množenja te da odrede u kojim se situacijama množenje i dijeljenje primjenjuje.. Treba težiti automatizaciji tablice množenja.

Na temelju predznanja o vezi zbrajanja i oduzimanja treba uočiti vezu množenja i dijeljenja i rješavati  četiri jednakosti.

Primjer: 3 · 7 = 21, 7  · 3 = 21, 21 : 3 = 7, 21 : 7 = 3.

5.

A. 2. 5

Primjenjuje pravila u računanju brojevnih izraza sa zagradama.

Rješava zadatke sa zagradama.

Primjenjuje pravila u rješavanju tekstualnih zadataka.

Navodi pravilo o redoslijedu rješavanju zadatka sa zagradama i uz pomoć rješava brojevne zadatke s dvjije računske operacije.

Računa sa zagradama s više od dvije računske operacije.

Tekstualni zadatak s dvije računske operacije zapisuje brojevnim izrazom sa zagradama te ga rješava primjenjujući pravila.

Tekstualni zadatak zapisuje brojevnim izrazom sa zagradama koji brzo i točno rješava.

NAPOMENE:

Zorno združivati pribrojnike na različite načine te napisati brojevni izraz koristeći se zagradama.

Objasniti postupak rješavanja zadataka sa zagradama i bez njih.

6.

A. 2. 6

Primjenjuje četiri računske operacije te odnose među brojevima.

Primjenjuje stečene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju različitih tipova zadataka u svakodnevnim situacijama.

Razmjenjuje matematičke ideje i objašnjenja te suradnički rješava različite tipove jednostavnih zadataka.

Postavlja i analizira

jednostavniji problem, planira njegovo rješavanje odabirom odgovarajućih

matematičkih pojmova i postupaka, rješava ga i provjerava rezultat.

Primjenjuje usvojene matematičke ideje, pojmove, prikaze i postupke u rješavanju problemske situacije iz neposredne okoline.

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka i utvrđuje smislenost dobivenoga rezultata u rješavanju problemskih situacija.

NAPOMENE :

Učenike će se poučiti skraćenomu zapisu poznatih, nepoznatih i traženih podataka u tekstualnim zadatcima (moguće je i skicirati zadatak i postupke pri rješavanju, primjerice piktogramima, jednostavnim dijagramima te se služiti tim prikazima u njihovu rješavanju).

Učenici se trebaju osamostaljivati u postavljanju i rješavanju brojevnih izraza s više računskih operacija.

Važno je i znati kada koju matematičku spoznaju možemo upotrijebiti kako bismo došli do rješenja. To je posebno važno u primjeni matematičkoga rasuđivanja izvan školskih okvira. Kako bi se ta primjena osvijestila, važno je zadavati raznolike zadatke, pa i problemske zadatke u kojima učenici moraju osmisliti kojom strategijom ili računskom operacijom mogu problem riješiti . Na primjer, pri uvježbavanju oduzimanja dobro je osmisliti i zadatke u kojima treba primijeniti i neku drugu poznatu računsku operaciju. Na taj će način učenici osvijestiti važnost čitanja u svrhu razumijevanja i uspješnoga rješavanja zadatka.

7.

B. 2. 1

Prepoznaje uzorak i kreira niz objašnjavajući pravilnost nizanja.

Uočava pravilnosti nizanja brojeva, objekata, aktivnosti i pojava.

Određuje višekratnike kao brojevni niz.

Kreira nizove.

Objašnjava kriterije nizanja.

Korelacija s Likovnom kulturom i

Prirodom i društvom.

Prepoznaje uzorak i nastavlja jednostavne nizove brojeva, objekata, aktivnosti i pojava.

Jednostavnim riječima opisuje kriterije nizanja i nastavlja niz.

Prema zadanom kriteriju osmišljava niz i opisuje kriterije nizanja.

Samostalno kreira niz i objašnjava kriterij nizanja.

NAPOMENE :

Učenici mogu uočiti brojne pojave iz okružja u kojima uočavaju pravilnosti nizanja (dan – noć, godišnja doba, mjeseci u godini, prozori na školskoj zgradi i slično). Posebno su zanimljivi nizovi brojeva (niz prirodnih brojeva, višekratnici). Potrebno je poticati učenike da te uočene pravilnosti nizanja opisuju primjerenim jezikom.

8.

B. 2. 2

Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti i dobiveno rješenje provjerava.

Primjenjuje svojstva računskih operacija .

Primjenjuje veze između računskih operacija .

Prošireni sadržaji: slovo kao oznaka za broj.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana koristeći se po potrebi konkretima.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana u računskome izrazu uz manju nesigurnost.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana i dobiveno rješenje provjerava.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana uz obrazloženje postupka.

NAPOMENE :

Poželjno je nepoznati član zapisati djeci bliskim znakom (ne nužno i ne odmah slovom, to neka bude mogućnost s učenicima iznimno visokih sposobnosti).

U zadatcima s nepoznatim članom učenici mogu do rješenja doći i odbrojavanjem (pri zbrajanju i oduzimanju) ili prisjećanjem (pri množenju i dijeljenju). Učenike potičemo na pronalaženje i provjeru rješenja suprotnom računskom operacijom.

9.

C. 2. 1

Opisuje i crta dužine.

Spaja točke crtama.

Opisuje dužinu kao najkraću spojnicu dviju točaka.

Određuje krajnje točke dužine.

Crta dužinu i primjenjuje oznaku za dužinu.

Određuje pripadnost točaka dužini.

Određuje bridove geometrijskih tijela i stranice geometrijskih likova kao dužine.

Prepoznaje, imenuje i crta dužinu.

Opisuje dužinu i određuje krajnje točke dužine kao pripadne točke dužini.

Opisuje (ne)pripadnost točke dužini i crta točke koje (ne)pripadaju dužini.

Određuje dužine na geometrijskim i složenijim oblicima.

NAPOMENE :

Usvojiti pojam dužine kao najkraće spojnice dviju točaka, prepoznati je kao stranice geometrijskih likova, odnosno bridove geometrijskih tijela.

Potrebno je poticati pravilno i uredno crtanje te imenovanje točke i dužine u različitim međusobnim odnosima te pravilan matematički zapis.

10.

C. 2. 2

Povezuje poznate geometrijske objekte.

Opisuje plohe (strane) kocke, kvadra i piramide kao likove, bridove kao dužine, a vrhove kao točke.

Opisuje stranice i vrhove trokuta, pravokutnika i kvadrata kao dužine odnosno točke.

Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti.

Prepoznaje i imenuje tijela, likove, dužine i točke.

Povezuje geometrijska tijela i likove te dužine i točke.

Povezuje tijela, strane, likove, bridove, stranice, dužine, vrhove i točke.

Povezuje naučeno i primjenjuje geometriju u svakodnevnim situacijama.

11.

D. 2. 1

Služi se jedinicama za novac.

Prepoznaje hrvatske novčanice i kovanice.

Poznaje odnos veće i manje novčane jedinice.

Služi se jedinicama za novac i znakovima njegovih jediničnih vrijednosti.

Računa s jedinicama za novac (u skupu brojeva do 100).

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i

Građanski odgoj i obrazovanje.

Prepoznaje hrvatske novčanice i kovanice, razlikuje njihove vrijednosti i zapisuje ih pripadajućim znakovima.

Uspoređuje određeni iznos novca prikazujući ga različitim jedinicama i modelima novca.

Računa s vrijednostima novca u primjerima iz neposredne životne stvarnosti.

Služi se novcem u različitim problemskim situacijama te objašnjava razumno upravljanje novcem.

NAPOMENE:

Učenici će upotpuniti poznavanje hrvatskih novčanica i kovanica na osnovu stečenih spoznaja u prvome razredu te primijeniti računanje (u skupu brojeva do 100) s vrijednostima novca u neposrednoj životnoj stvarnosti.

U razredu je dobro služiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njima.

12.

D. 2. 2

Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine.

Mjeri nestandardnim mjernim jedinicama (na primjer korakom, laktom, pedljem, palcem).

Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos (metar i centimetar).

Imenuje i crta dužinu zadane duljine.

Mjeri dužinu pripadajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom.

Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice.

Duljinu dužine zapisuje matematičkim simbolima.

Procjenjuje duljinu dužine i najkraće udaljenosti objekata u metrima.

Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 100).

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.  

Imenuje metar i centimetar kao mjerne jedinice za mjerenje dužine i pokazuje rukama njihov odnos.

Mjeri dužine i crta dužine zadane duljine.

Procjenjuje duljinu dužine i mjerenjem provjerava svoju procjenu.

Primjenjuje pravilan matematički zapis za duljinu dužine i iskazuje odnos jediničnih dužina.

NAPOMENE :

Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine kao njezina mjerivoga svojstva (mjerimo dužinu kako bismo saznali njezinu duljinu).

Svako mjerenje počinjemo uspoređivanjem predmeta po duljini riječima dulji – kraći – jednako dug . Nakon toga slijede neformalni načini mjerenja – mjeri se korakom, laktom i slično. Upoznaju se standardne mjerne jedinice i njihove oznake. Kako bi se osvijestila veličina standardnih jedinica učenike se potiče da rukama pokazuju jediničnu dužinu od jednoga metra i centimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer udaljenost od ramena do vrha prstiju suprotne ruke s metrom, širinu prsta s centimetrom i slično).

Duljina dužine se zapisuje matematičkim simbolima ( mjernim brojem i jediničnom dužinom).

13.

D. 2. 3

Procjenjuje i mjeri vremenski interval.

Prati prolaznost vremena na satu ili štoperici.

Navodi standardne mjerne jedinice za vrijeme (sat, minuta, sekunda, dan, tjedan, mjesec, godina), procjenjuje i mjeri prolaznost vremena odgovarajućim mjernim instrumentom i zapisuje duljinu vremenskoga intervala.

Navodi odnose mjernih jedinica za vrijeme.

Računa s jedinicama za vrijeme u skupu brojeva do 100.

Korelacija s Prirodom i društvom.

Uočava prolaznost vremena i prati je na satu i kalendaru te imenuje standardne mjerne jedinice za vrijeme.

Mjeri vremenski interval potreban za obavljanje neke aktivnosti te se služi satom i kalendarom.

Uspješno procjenjuje vremenski interval potreban za obavljanje neke aktivnosti te iskazuje odnose mjernih jedinica za vrijeme.

Procjenjuje vremenski interval i računa s mjernim jedinicama u jednostavnim zadatcima u skupu brojeva do 100.

NAPOMENE :

Učitelj treba zorno osvijestiti prolaznost vremena kao i vrijeme od 1 sekunde, 1 minute, 5 minuta, 1 sata, 1 dana, tjedan dana, mjesec dana u aktivnostima za koje je potrebno toliko vremena da se ostvare.

U poučavanju, ali i radu potrebno je koristiti se instrumentima za mjerenje vremena i upoznati mjerne jedinice te ih pravilno mjeriti i računati s njima u skupu brojeva do 100. Učenicima se može dati informacija da godina ima 365/366 dana, no taj se podatak ne vrednuje.

Gledanje na sat ili kalendar određivanje je trenutačnoga vremena, a nije mjerenje vremena. Mjerenje je vremena određivanje duljine nekoga intervala (od – do nekoga trenutka).

14.

E. 2. 1

Koristi se podatcima iz neposredne okoline.

Promatra pojave i bilježi podatke o njima.

Razvrstava prikupljene podatke i prikazuje ih jednostavnim tablicama ili piktogramima.

Tumači podatke iz jednostavnih tablica i piktograma.

Provodi jednostavna istraživanja te analizira i prikazuje podatke.

Korelacija s Prirodom i društvom te međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo.

Prikuplja podatke o nekoj jednostavnoj pojavi i prikazuje ih neformalnim načinom.

Prikupljene podatke prikazuje jednostavnim tablicama i piktogramima.

Čita podatke iz tablica i dijagrama i povezuje ih s neposrednom okolinom.

Tumači podatke dobivene jednostavnim istraživanjima te ih prikazuje tablicama i piktogramima.

NAPOMENE :

Učenici će unutar razrednih istraživanja o neposrednoj okolini (npr. broj električnih i plinskih kućanskih uređaja, zanimanja roditelja, dostignuća na satu tjelesne i zdravstvene kulture, broj sunčanih/ kišnih dana u nekome mjesecu…) bilježiti i razvrstavati podatke te ih prikazivati neformalnim načinima (skupovi, crteži), jednostavnim tablicama ili piktogramima.

Kako bi se učenici osamostalili i osjećali sigurnost i zadovoljstvo u onome što rade, prvo trebaju zajednički, a potom u skupinama i tek na kraju samostalno tumačiti podatke iz jednostavnih tablica i piktograma.

Ovaj se ishod ostvaruje u različitim predmetima u kojima pratimo neke pojave i prikupljamo podatke. Te podatke prikazujemo u matematičkim oblicima reprezentacije – tablicama i

Učenici ne crtaju tablice, nego dobivaju gotove tablice u kojima prikazuju podatke.

15.

E. 2. 2

Određuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.

U različitim situacijama predviđa moguće i nemoguće događaje.

Objašnjava zašto je neki događaj (ne)moguć.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj, Građanski odgoj i obrazovanje.

U jednostavnim i poznatim situacijama razlikuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.

U složenijim situacijama razlikuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.

Predviđa mogući i nemogući događaj koji može proizići iz određene situacije.

Obrazlaže zašto je neki događaj moguć ili nemoguć.

NAPOMENE:

Ovaj je ishod priprema učenika za primjenu riječi vjerojatnost kako bi osvijestili da neki događaj ili pojava mogu završiti različitim ishodima te kako bi se osposobili za pravilnu upotrebu riječi moguće ili nemoguće .

Učitelj će s učenicima promatrati razne događaje i predviđati moguće i nemoguće događaje.

Primjeri:

1. Motivacija: igra bacanja kockice. Svaki učenik baci kockicu za igru Čovječe, ne ljuti se . Ako dobije paran broj, mora navesti neki mogući događaj, a ako dobije neparan broj, navodi nemogući događaj.

2. Prije poučavanja Prometa na satu Prirode i društva učenike se može pitati koja je prometna sredstva moguće/nemoguće vidjeti u okolici škole te zašto je to moguće/nemoguće vidjeti. Učenike odvesti u obilazak prometnica u školskome okružju, na kojemu će potvrditi/opovrgnuti svoje pretpostavke i možda otkriti još neka nova saznanja.

3. U neprozirnoj su vrećici kugle jednake veličine, ali različitih boja: crvena, žuta i plava. Koje je boje moguće izvući? Koje boje nije moguće izvući? Koju je boju kugle vjerojatnije izvući: a) crvenu ili žutu, b) plavu ili smeđu, c) crnu ili bijelu?

Ovaj je ishod priprema učenika za primjenu riječi vjerojatnost kako bi osvijestili da neki događaj ili pojava mogu završiti različitim ishodima te kako bi se osposobili za pravilnu upotrebu riječi moguće ili nemoguće .

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

ZADOVOLJAVAJUĆA

DOBRA

VRLO DOBRA

IZNIMNA

1.

A. 3. 1

Služi se prirodnim brojevima do 10000 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda.

Broji, čita, zapisuje ( brojkom i brojevnom riječju) i uspoređuje brojeve do 10000 .

Prikazuje i upotrebljava troznamenkaste i četveroznamenkaste brojeve.

Koristi se tablicom mjesnih vrijednosti.

Služi se dekadskim sustavom brojeva.

Rastavlja broj na zbroj višekratnika dekadskih jedinica.

Određuje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Čita i zapisuje brojeve

do 10000 , broji po redu od zadanoga broja uz manje poteškoće kada je riječ o prijelazu dekadske jedinice, prikazuje broj pomoću didaktičkih materijala.

Broji po redu od zadanoga broja te brojeve do 10000   uspoređuje i prikazuje u tablici mjesnih vrijednosti.

Prikazuje četveroznamenkaste brojeve u obliku a ⋅ 1000 + b ⋅ 100 + c ⋅ 10 + d ⋅ 1 i u obliku aT bS cD i dJ te određuje broj neposredno ispred i neposredno iza zadanoga broja te brojeve između zadanih brojeva.

Prikazuje brojeve do 10000 na različite načine te se njima služi u matematici i u svakodnevnim situacijama.

NAPOMENE :

Kako brojenje ne bi bilo samo formalističko izgovaranje brojevnih riječi, treba upućivati na ulogu brojenja (brojenjem doznajemo količinu, broj pridružen skupu odgovara ukupnomu broju elemenata).

Postupak uspoređivanja brojeva do 10000 skratiti određivanjem vrijednosti tisućica (potom stotica, desetica, odnosno jedinica).

Pri uspoređivanju brojeva potrebno je ići induktivnim putem tako da različitim primjerima navodimo učenike da sami uoče pravila za uspoređivanje višeznamenkastih brojeva.

Zbog korelacije s drugim predmetima, skup brojeva je proširen na 10000 pri čemu je prvo potrebno dobro usvojiti brojeve do 1000. Tek potom se za potrebe koreliranja s drugim predmetima skup brojeva proširuje do 10000 (npr. planirati u 2. polugodištu).

2.

A. 3. 2

Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 1000.

Određuje mjesnu vrijednost znamenaka u troznamenkastome broju.

Mentalno zbraja i oduzima brojeve

do 1000.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja.

Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja.

Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga zbrajanja i oduzimanja.

Imenuje članove računskih operacija.

Rješava tekstualne zadatke.

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 1000 pomoću konkreta, pisano zbraja i oduzima unutar određene dekadske jedinice.

Mentalno i pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do 1000 uz povremene pogreške.

Procjenjuje rezultat te mentalno i pisano zbraja i oduzima provjeravajući rezultat.

Vješto zbraja i oduzima u skupu brojeva do 1000 objašnjavajući postupak pisanoga računanja.

NAPOMENE:

Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1000 temelji se na predznanju učenika o automatiziranome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 20 i 100 te na vezi između zbrajanja i oduzimanja.

Kako bi se potaknule i razvile misaone mogućnosti učenika neprestano poticati procjenu rezultata te provjeru rješenja i vještinu mentalnoga računanja (po potrebi pomoću rastavljanja broja na zbroj višekratnika dekadskih jedinica ili zapisivanja djelomičnih rezultata).

Kada to okolnosti dozvoljavaju, uvježbavanje mentalnoga zbrajanja i oduzimanja moguće je i primjenom edukativnih računalnih igrica i dr.

Koristiti se različitim situacijama i zadatcima u kojima treba primjenjivati zbrajanje i oduzimanje.

Tek kada je dobro usvojen postupak zbrajanja i oduzimanja rastavljanjem, prijeći na pisani postupak zbrajanja i oduzimanja.

Pisano zbrajanje i oduzimanje usvaja se postupno primjenom pravilnoga matematičkog zapisa i stalnosti razlike u oduzimanju.

Iako su učenici u 3. razredu usvojili brojevni niz do 10000, računaju u skupu brojeva do 1000.

Vrijeme potrebno za upoznavanje postupka pisanog zbrajanja i oduzimanja potrebno je prilagoditi učenicima.

3.

A. 3. 3

Dijeli prirodne brojeve do 100 s ostatkom.

Dijeli brojeve do 100 s ostatkom.

Provjerava rješenje pri dijeljenju s ostatkom.

Rješava tekstualne zadatke.

Dijeli s ostatkom uz pomoć.

Dijeli s ostatkom uz manju nesigurnost.

Dijeli s ostatkom uz provjeravanje rezultata.

U dijeljenju s ostatkom objašnjava značenje ostatka.

NAPOMENE :

Pri upoznavanju dijeljenja s ostatkom u početku zadavati zadatke u kontekstu kako bi učenici pojam ostatka usvojili/prihvatili na razumljiv način.

4.

A. 3. 4

Pisano množi i dijeli prirodne brojeve

do 1000 jednoznamenkastim brojem.

Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga množenja i dijeljenja.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost i distributivnost).

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Množi i dijeli broj brojevima 10, 100 i 1000.

Pisano dijeli na duži i kraći način.

Pisano množi i dijeli jednoznamenkastim brojem samo u jednostavnim primjerima.

Pisano množi i dijeli jednoznamenkastim brojem na duži način.

Točno pisano množi i dijeli jednoznamenkastim brojem na kraći način uz prethodnu procjenu rezultata.

Brzo i točno procjenjuje rezultat i množi i dijeli jednoznamenkastim brojem objašnjavajući postupak.

NAPOMENE :

Postupnost: množiti i dijeliti zbroj brojem, množiti i dijeliti u tablici mjesnih vrijednosti te množiti i dijeliti izvan tablice pomoću pravilnoga matematičkoga zapisa.

Poučiti učenike procjenjivati rezultat, množiti i dijeliti broj s 10, 100 i 1000.

Postupak pisanog dijeljenja uvodi se na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Ipak, preporučuje se da, ako učenici mogu prijeći na kraći način,   to i rade kako bi se sam postupak skratio.

Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom ili ravnom crtom koju čitaju podijeljeno  kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka).

5.

A. 3. 5

Izvodi više računskih operacija.

Određuje vrijednosti izraza sa zagradama.

Određuje vrijednosti izraza s više računskih operacija.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost).

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Imenuje članove računskih operacija.

Računa u različitim tipovima zadataka.

Rješava zadatke u kojima se pojavljuju dvije računske operacije uz manju nesigurnost.

Rješava zadatke s više računskih operacija i sa zagradama .

Rješava zadatke s više računskih operacija objašnjavajući redoslijed njihova izvođenja.

Vješto osmišljava zadatke s više računskih operacija.

NAPOMENE :

Postupno uvoditi učenike u rješavanje zadataka u kojima se pojavljuju zagrade i više računskih operacija.

6.

A. 3. 6

Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama.

Primjenjuje stečene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju svakodnevnih problemskih situacija.

Korelacija s međupredmetnim temama:  Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i

Građanski odgoj i obrazovanje.

Primjenjuje usvojene spoznaje u rješavanju jednostavnih problemskih situacija iz neposredne okoline uz manju nesigurnost.

Primjenjuje usvojene spoznaje u rješavanju jednostavnih problemskih situacija iz neposredne okoline .

Primjenjuje usvojene spoznaje u rješavanju složenijih problemskih situacija iz neposredne okoline.

Primjenjuje usvojene spoznaje u rješavanju problemskih situacija.

NAPOMENE:

Između ostaloga: prikazivati i računati polovine, trećine,…nekoga broja.

7.

B. 3. 1

Rješava zadatke s jednim nepoznatim članom koristeći se slovom kao oznakom za broj.

Koristi se slovom kao oznakom za broj.

Uvrštava zadani broj umjesto slova.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti/nejednakosti.

Primjenjuje svojstva računskih operacija.

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Izračunava vrijednost brojevnoga izraza uvrštavanjem zadanoga broja na mjesto slova.

Uz manju pomoć izračunava vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti  i provjerava točnost dobivenoga rješenja.

U jednakosti samostalno izračunava vrijednost nepoznatoga člana primjenjujući veze između računskih operacija.

Rješava problemske situacije zapisujući jednakost  s jednim nepoznatim članom.

NAPOMENE :

Primjeri zadataka:

Izračunaj vrijednost izraza 234 + a ako je a = 48.

Izračunaj b ako je 780 – b = 89.

Odredi sve troznamenkaste brojeve c za koje vrijedi 694 > c > 688.

Zapiši matematičkim znakovima račun i izračunaj nepoznati član ako je djeljenik 63, a količnik 9.

8.

C. 3. 1

Opisuje i crta točku, dužinu, polupravac i pravac te njihove odnose.

Crta i označava točke i dužine.

Upoznaje pravac kao neograničenu ravnu crtu.

Crta i označava pravac i polupravac.

Crta dužinu kao dio pravca i ističe njezine krajnje točke.

Određuje i crta pripadnost točaka pravcu.

Prepoznaje i crta pravac i polupravac.

Opisuje i crta pravac i njegove dijelove.

Iz crteža određuje pripadnost i nepripadnost određene točke, dužine i polupravca zadanomu pravcu.

Crtežom prikazuje pripadnost i nepripadnost određene točke, dužine i polupravca zadanomu pravcu.

NAPOMENE :

Pojam pravca usvaja se neograničenim (zornim) produljivanjem crte preko krajnjih točaka dužine kako bi učenici na taj način razlikovali prikaz pravca od pojma pravca.

Pri upoznavanju pravca jako je važno naglasiti da se pravac ne može cijeli nacrtati, nego da je ravna crta kojom ga prikazujemo samo dogovoreni način prikazivanja pravca.

Paziti da učenici ne poistovjete prikaz pravca s njegovim značenjem. Kako bismo to   izbjegli, možemo im postaviti zadatak:

Primjer: Pripada li točka T pravcu p?

Pravac i polupravac potrebno je pravilno crtati, označavati i imenovati.

Obzirom na već razvijenu grafomotoriku učenika, točku, umjesto križićem i točkom, označavaju samo točkom.

9.

C. 3. 2

Prepoznaje i crta pravce

u različitim međusobnim odnosima.

Crta pravac i njegove dijelove.

Crta usporedne pravce i pravce koji se sijeku (uključujući okomite).

Pravcima koji se sijeku određuje sjecište.

Primjenjuje matematičke oznake za okomitost i usporednost dvaju pravaca.

Prepoznaje i navodi međusobne odnose pravaca te uz manju pomoć crta pravce koji se sijeku (uključujući okomite) i usporedne pravce.

Opisuje i crta međusobne odnose pravaca uz manju nesigurnost.

Precizno crta okomite i usporedne pravce te se koristi oznakama za okomitost i usporednost dvaju pravaca.

Crta okomite i usporedne pravce u različite svrhe (npr. kvadrat, pravokutnik, tablice).

NAPOMENE :

Međusobne odnose pravaca potrebno je crtati precizno i uredno te pravilno zapisivati matematičkim jezikom .

Crtanje okomitih i usporednih pravaca primjenjuje se pri crtanju tablica za prikaz različitih podataka, za crtanje tablica mjesnih vrijednosti, geometrijskih likova…

Pri crtanju usporednih i okomitih pravaca moguće je koristiti se ravnalom i jednim trokutom ili dvama trokutima.

10.

C. 3. 3

Služi se šestarom u crtanju i konstruiranju.

Koristi se šestarom kao dijelom geometrijskoga pribora.

Šestarom se služi u crtanju i prenošenju dužine određene duljine.

Konstruira kružnicu.

Crta pravokutnik i kvadrat određene duljine stranica.

Pomoću šestara prenosi dužine.

Konstruira kružnicu.

Koristi se šestarom u crtanju pravokutnika i kvadrata.

Koristi se šestarom u crtanju ili konstruiranju različitih geometrijskih motiva.

NAPOMENE:

Cilj ovoga ishoda je osposobiti učenike za služenje šestarom.

U crtanju pravokutnika i kvadrata učenik šestar koristi za prenošene duljine dužine pojedine stranice.

11.

D. 3. 1

Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine

Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos u skupu brojeva do 1000 (kilometar, metar, decimetar, centimetar, milimetar).

Imenuje i crta dužinu zadane duljine.

Mjeri dužinu pripadajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom.

Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice.

Duljinu dužine zapisuje matematičkim znakovima.

Procjenjuje duljinu dužine (milimetar, centimetar, decimetar) i udaljenosti (metar, kilometar) odabirući optimalnu mjernu jedinicu.

Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 1000).

Prošireni sadržaji: preračunavanje mjernih jedinica.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.  

Imenuje mjerne jedinice i pokazuje rukama njihov odnos.

Mjeri dužinu i crta dužine zadane duljine.

Procjenjuje duljinu dužine i mjerenjem provjerava svoju procjenu.

Primjenjuje pravilan matematički zapis za duljinu dužine i iskazuje odnos jediničnih dužina prikazujući ga na različite načine.

NAPOMENE:

Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine kao njezina mjerivoga svojstva (mjerimo dužinu kako bismo saznali njezinu duljinu).

Učenici upoznaju standardne mjerne jedinice i njihove znakove. Jako je važno osvijestiti veličinu tih standardnih jedinica pa se učenike potiče da rukama pokazuju dužinu od jednoga metra, decimetra, centimetra i milimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer duljinu raširenoga palca i kažiprsta s decimetrom, minimalno mogući razmak palca i kažiprsta s milimetrom i slično). Kilometar im se može približiti nekim primjerom iz neposredne okoline.

Duljinu dužine zapisivati matematičkim jezikom.   

12.

D. 3. 2

Procjenjuje i mjeri masu tijela.

Uočava masu kao svojstvo tijela.

Uspoređuje mase tijela.

Imenuje jedinice za mjerenje mase (gram, dekagram, kilogram, tona).

Upoznaje različite vage i postupak vaganja.

Procjenjuje i mjeri masu tijela te pravilno zapisuje dobivenu vrijednost (mjernim brojem i znakom jedinične veličine ).

Iskazuje odnose mjernih jedinica za masu.

Računa s jedinicama za masu tijela (u skupu brojeva do 1000).

Korelacija s Hrvatskim jezikom i

Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Procjenjuje i uspoređuje mase predmeta iz neposredne okoline te imenuje mjerne jedinice za mjerenje mase.

Mjeri masu različitih predmeta digitalnom vagom zapisujući dobivenu vrijednost .

Procjenjuje masu tijela te vaganjem provjerava procjenu, uočava odnos među mjernim jedinicama za masu.

Vješto procjenjuje i mjeri masu tijela te prelazi s jednih mjernih jedinica na druge.

NAPOMENE :

U početku poučavanja na konkretima se uočavaju i uspoređuju nejednake mase (spoznati da (ne)jednake veličine predmeta ne moraju istim omjerom pratiti i masu). Nakon toga se imenuju mjerne jedinice za masu i razlikuju njihove vrijednosti (tona, kilogram, dekagram i gram), no neće se preračunavati.

Učenici iskazuju odnose mjernih jedinica povezujući ih s tijelima jedinične mase.

Koristiti se različitim vagama, a digitalnim vagama mjeriti cjelobrojnu masu (unaprijed odabrati predmete čija masa nije decimalni zapis).

13.

D. 3. 3

Određuje opseg likova.

Opisuje opseg kao duljinu ruba bilo kojega geometrijskog lika.

Mjeri duljinu dužine.

Mjeri opseg neformalnim i formalnim načinima.

Određuje opseg trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroj duljina njihovih stranica.

Procjenjuje i mjeri opseg lika objašnjavajući postupak.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Opisuje opseg kao duljinu ruba promatranoga lika.

Mjeri opseg likova neformalnim načinima i povezuje opseg s duljinama pojedinih stranica.

Određuje opseg trokuta, pravokutnika (i kvadrata) kao zbroj duljina stranica promatranoga lika.

Procjenjuje i određuje opseg likova na različite načine povezujući ih i objašnjavajući postupak.

NAPOMENE :

U početku poučavanja učenici će mjeriti opseg neformalnim načinom: upotrebom konca, vune, papirnate vrpce…

Učenike se navodi na zaključak da je opseg zbroj duljina svih stranica mnogokuta.

Učenici mogu odrediti i opseg lika sastavljenoga od dva ili više likova poznatih učeniku, zaključivati o svojstvima dvaju ili više likova i sl.

Duljina stranica zadanoga lika kojemu se mjeri opseg može se prenositi i šestarom na crtu.

Pri određivanju opsega trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroja duljina stranica ne koristi se formula za izračunavanje, a opseg se zapisuje malim slovom o (npr. o = 12 cm)

14.

E. 3. 1

Služi se različitim prikazima podataka.

Nabraja različite vrste prikaza podataka.

Koristi se nazivima redak i stupac.

Prikazuje podatke u tablicama i stupčastim dijagramima.

Služi se različitim prikazima podataka.

Prošireni sadržaji: prikazivati podatke iz razrednih projekata pomoću primjerene tehnologije.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i međupredmetnim temama:  Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Čita podatke iz tablica i stupčastih dijagrama.

Prikazuje podatke u tablicama i dijagramima.

Podatke iz jednoga oblika prikazivanja prikazuje u drugome obliku.

Služi se različitim prikazima podataka za donošenje zaključaka u različitim situacijama.

VAŽNO:

U procesu učenja matematike učenik objašnjava procedure i postavlja matematici svojstvena pitanja.

Kako je jedan od ciljeva matematike razvoj komunikacijskih vještina, potrebno je što češće poticati učenike na verbalno izražavanje. To se može postići tako pojašnjavaju postupke koje provode, da govore o načinu na koji su razmišljali i slično. Vještina komuniciranja razvijat će se samo ako učenici često komuniciraju, pa je važno u nastavi što češće poticati razgovor. Također je važno poticati učenike da postavljaju pitanja i to ne samo kada nešto ne razumiju već i da pitanjima šire svoje spoznaje i ideje.

Učenik:

– postavlja pitanja o matematičkim pojmovima i procedurama kada nešto ne razumije

– govori ili postavlja pitanja o naučenim matematičkim pojmovima i procedurama da pojasni ili proširi znanje o njima

– objašnjava procedure te postavlja pitanja o novim idejama ili procedurama koje je osmislio

– argumentira postupke koje provodi i postavlja kreativna, istraživačka pitanja o matematici.

DOMENE: A – BROJEVI, B – ALGEBRA I FUNKCIJE, C – OBLIK I PROSTOR, D – MJERENJE, E – PODATCI, STATISTIKA I VJEROJATNOST

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

1.

A. 4. 1

Služi se prirodnim brojevima do milijun.

Broji , čita, piše i uspoređuje brojeve do milijun.

Navodi dekadske jedinice i opisuje njihove odnose.

Prepoznaje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka.

Koristi se višeznamenkastim brojevima.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Broji, čita, piše i uspoređuje brojeve do milijun te određuje mjesnu vrijednost znamenaka.

Povezuje brojeve do milijun s primjerima iz života te poznaje odnose među dekadskim jedinicama.

Prikazuje brojeve do milijun u pozicijskome zapisu.

Služi se brojevima do milijun te ih zaokružuje na višekratnik dekadske jedinice primjereno kontekstu.

NAPOMENE :

U upoznavanju brojeva preporučuje se uporaba kartica s dekadskim jedinicama i tablice mjesnih vrijednosti. Posebnu pozornost posvetiti brojenju pri prijelazu desettisućice i stotisućice.

2.

A. 4. 2

Pisano zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Zbraja i oduzima brojeve do milijun.

Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga zbrajanja i oduzimanja.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja.

Imenuje članove računskih operacija.

Rješava tekstualne zadatke.

Pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do milijun unutar određene dekadske jedinice.

Pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do milijun uz povremene pogreške.

Pisano zbraja i oduzima te suprotnom računskom operacijom provjerava rezultat.

Brzo i točno zbraja i oduzima u skupu brojeva do milijun objašnjavajući postupak pisanoga računanja.

NAPOMENE :

Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do milijun se temelji na predznanju učenika o pisanome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 1000.

Treba se koristiti različitim situacijama, zadatcima i podatcima u kojima će se primjenjivati zbrajanje i oduzimanje.

Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga zbrajanja i oduzimanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

3.

A. 4. 3

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojevima u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Množi i dijeli brojeve sa 10 i 100.

Procjenjuje djelomični količnik.

Procjenjuje rezultat u zadatku prije postupka pisanoga računanja.

Primjenjuje postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem u različitim tipovima zadataka.

Primjenjuje svojstva računskih operacija radi provjeravanja rezultata.

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojem uz podršku učitelja.

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojem.

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojem na kraći način procjenjujući djelomični rezultat.

Vješto množi i dijeli dvoznamenkastim brojem objašnjavajući postupak.

NAPOMENE:

Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom ili ravnom crtom koju čitaju podijeljeno  kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka).

Pisano dijeljenje moguće je izvoditi na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Preporučuje se kraći, ukoliko je primjeren mogućnostima učenika.

Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

4.

A. 4. 4

Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama.

Odabire računsku operaciju u pojedinome zadatku.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost).

Provjerava rješenje primjenjujući veze između računskih operacija.

Izvodi više računskih opearcija .

Rješava problemske zadatke sa uporabom i bez uporabe zagrada.

Procjenjuje rezultat.

Računa u različitim tipovima zadataka ( brojevni zadatci, tekstualni zadatci, problemski zadatci).

Upotrebljava nazive članova računskih operacija.

Korelacija s međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Rješava zadatke s više računskih operacija i jednostavne problemske situacija uz pomoć.

Primjenjuje različite strategije u rješavanju jednostavnih problemskih situacija.

Primjenjuje različite strategije u rješavanju problemskih situacija.

Smišlja problemske situacije u kojima primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u skupu brojeva do milijun.

NAPOMENE:

U zadatcima s više računskih operacija ne treba pretjerivati s velikim brojevima jer je težište na redoslijedu izvođenja računskih operacija. Stvarati naviku procjene rezultata prije samoga računanja i osvijestiti važnost provjere rezultata vezom između računskih operacija.

Dobro bi bilo odabirati primjere zadataka u kojima se pojavljuju zagrade, a u kojima zagrade zaista i mijenjaju rezultat. Na primjer, u zadatku 543 – (423 + 28) primjena zagrada zaista mijenja rezultat u odnosu na zadatak u kojemu bismo zagradu izostavili.

Učenici rješavaju i zadatke u kojima određuju trećine, četvrtine, petine i destine nekoga broja. Izraze poput dvije trećine, četiri petine... potrebno je popratiti govorom i prikazati na različite načine (pomoću konkreta, crteža i sl.). Primjer: Tri su četvrtine jednoga sata ___ minuta.

Preporučuje se što češće rješavanje problemskih situacija, no pritom ne treba inzistirati na računanju s velikim brojevima.

Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga računanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

5.

B. 4. 1

Određuje vrijednost nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima.

Razlikuje jednakosti i nejednakosti.

Koristi se slovom kao oznakom za nepoznati broj u jednakostima i nejednakostima.

Računa vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija .

Korelacija s Informatikom.

Određuje vrijednost nepoznate veličine u jednakostima uz podršku učitelja.

Određuje vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija .

Određuje vrijednost nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima, a rezultat provjerava.

Primjenjuje zapis u kojemu se koristi nepoznatom veličinom u problemskim situacijama.

NAPOMENE:

U 4. razredu ne upoznaje se sustavno linearna jednadžba ili nejednadžba, već se postavlja temelj za nju. To znači da primjeri moraju biti jednostavni i s jednom računskom operacijom, a nepoznati se član računa primjenom veze između računskih operacija.

Primjeri zadataka:

Izračunaj nepoznati broj a u jednakosti 5 871 + a = 7 820.

Izračunaj nepoznati faktor u jednakosti f ⋅ 65 = 975.

Koji broj možeš zapisati umjesto b da vrijedi nejednakost 12 395 < b < 12 402?

Zapiši matematičkim jezikom i odredi broj koji se dodaje broju 7 654 kako bi se dobio broj 9 802.

C ilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga računanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

6.

C. 4. 1

Određuje i crta kut.

Opisuje pojam kuta.

Prepoznaje, uspoređuje i crta pravi, šiljasti i tupi kut.

Imenuje vrh i krakove kuta.

Prepoznaje i ističe točke koje (ne) pripadaju kutu.

Koristi se oznakom kuta (kut aVb) pazeći na orijentaciju (suprotno od kazaljke na satu).

Prepoznaje kut na osnovnim geometrijskim likovima, crtežima i objektima u okruženju te ga opisuje i crta.

Prepoznaje i crta šiljasti, pravi i tupi kut te određuje (ne) pripadnost točke kutu.

Crta različite kutove te određuje vrh i krakove kuta.

Precizno crta zadani kut te ga pravilno zapisuje matematičkim simbolom .

NAPOMENE :

Česta je pogreška koja se pojavljuje pri usvajanju pojma kuta da učenici kutom smatraju samo mali dio unutar luka kojim kut označavamo. To se može protumačiti sjenčanjem sve većega dijela nacrtanoga kuta, čime se pojašnjava širenje i izvan nacrtanoga dijela kuta.

Zadatak kojim bismo mogli izbjeći takvu pogrešnu koncepciju mogao bi biti: Pripada li točka F kutu na slici?

7.

C. 4. 2

Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica te pravokutni trokut.

Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica i dijeli ih na jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute.

Razlikuje i opisuje pravokutni trokut u odnosu na druge trokute .

Nabraja vrste trokuta (jednakostranični, jednakokračni, raznostranični i pravokutni trokut).

Razlikuje i imenuje jednakostranični, jednakokračni, raznostranični i pravokutni trokut.

Opisuje jednakostranični, jednakokračni, raznostranični i pravokutni trokut.

Prepoznaje i razlikuje različite vrste trokuta na složenijim motivima.

NAPOMENE :

Važno je uočiti da postoje različiti trokuti, a da ih prema duljinama njihovih stranica dijelimo na   jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute.

Kada učenici upoznaju pravokutni trokut, treba im pokazati da raznostranični i jednakokračni trokuti mogu biti ujedno i pravokutni.

Učenicima je dobro pokazati i složenije motive sastavljene od različitih vrsta trokuta na kojima ih prepoznaju.

Različite vrste trokuta potrebno je prikazivati i prepoznavati u različitim položajima.

8.

C. 4. 3

Opisuje i konstruira krug i njegove elemente.

Opisuje i konstruira krug i njegove elemente (kružnica, polumjer i središte).

Opisuje odnos kruga i kružnice.

Prepoznaje polumjer i središte kruga i kružnice.

Razlikuje i konstruira krug i kružnicu.

Prepoznaje i navodi točke koje (ne) pripadaju krugu ili kružnici.

Opisuje međusobne odnose kruga, kružnice, središta i polumjera.

Konstruira motive koristeći se krugom i kružnicom.

NAPOMENE :

Kako bi učenici shvatili da je kružnica zakrivljena crta koja omeđuje krug, važno je koristiti se ilustracijama na kojima je unutrašnjost kruga obojena. Time se odmah uočava da je krug geometrijski lik, a kružnica rubna crta.

9.

C. 4. 4

Crta i konstruira geometrijske likove.

Pomoću geometrijskoga pribora crta osnovne geometrijske likove (raznostranični i pravokutni trokut, pravokutnik i kvadrat).

Konstruira jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute.

Crta raznostranični trokut.

Uz manju nesigurnost crta pravokutnik, kvadrat i pravokutni trokut.

Crta pravokutnik i kvadrat, a konstruira jednakostranični, raznostranični i jednakokračni trokut.

Crta i konstruira složenije oblike sastavljene od poznatih geometrijskih likova.

NAPOMENE :

U ovome ishodu posebno obratiti pozornost na razvijanje motoričke vještine uporabe geometrijskoga pribora. Učenicima s motoričkim poteškoćama bit će potrebno znatno više vremena, a time i vježbe da bi se vještina razvila.

10.

C. 4. 5

Povezuje sve poznate geometrijske oblike.

Označava vrhove, stranice i kutove trokuta te trokut zapisuje simbolima (∆ABC).

Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, strane, stranice, bridovi, kutovi).

Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti.

Prepoznaje vrhove likova i tijela kao točke, stranice i bridove kao dužine, ravne plohe kao geometrijske likove.

Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, plohe, stranice, bridovi, kutovi).

Opisuje kocku, kvadar, kvadrat i pravokutnik; povezuje vrhove lika i njihovim oznakama.

Povezuje i upotrebljava geometrijske oblike u stvaranju i analiziranju složenijih oblika.

NAPOMENE :

U 4. razredu važno je povezati sve do sada usvojene geometrijske pojmove. Time se znanje umrežuje i učvršćuje.

Upozoriti na često nepreciznu uporabu nekih matematičkih termina u svakodnevnome životu: kocka šećera, kocka za juhu, dresovi na kockice ili bilježnica na kockice. Upućivanjem na te očigledne i svakodnevne primjere izbjeći ćemo zbunjivanje učenika razlikom u izražavanju u školi i izvan nje.

11.

D. 4. 1

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine.

Primjenjuje pojam volumena (obujma, zapremnine) tekućine.

Upoznaje i uspoređuje različite posude za čuvanje tekućine.

Opisuje vezu između oblika i volumena tekućine.

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine prelijevanjem.

Imenuje jedinice za mjerenje volumena tekućine (litra, decilitar).

Računa s mjernim jedinicama za volumen tekućine.

Prošireni sadržaji: hektolitar.

Korelacija s Hrvatskim jezikom.

Uočava volumen tekućine u posudi te povezuje mjerenje volumena sa situacijama iz stvarnoga života.

Izražava volumen tekućine standardnim jedinicama te uspoređuje volumene posuda.

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine u različitim posudama te uspoređuje jedinice za mjerenje volumena tekućine.

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine u različitim problemskim situacijama.

NAPOMENE :

U početku je dobro uspoređivati volumen tekućine prelijevanjam iz jedne posude u drugu. Pri mjerenju volumena tekućine prvo treba osvijestiti da se prelijevanjam iz posude u posudu količina tekućine ne mijenja iako se njezin izgled (visina tekućine u posudi) mijenja. Nakon toga možemo odabrati neku posudu koja nam postaje mjerna jedinica i prelijevanjem tekućine mjeriti i uspoređivati različite količine tekućina u većim posudama.

Upoznavanja standardnih mjernih jedinica za mjerenje volumena tekućine učenici prelijevanjem trebaju osvijestiti njihovu količinu, ali i računati s njima (osobito je korisno konkretima rješavati problemske zadatke).

Sinonimi su za volumen obujam i zapremnina . Mjerna jedinice litra ima dva znaka kojima se označava: L i l.

12.

D. 4. 2

Uspoređuje površine likova te ih mjeri jediničnim kvadratima.

U ravnini uspoređuje likove različitih površina prema veličini dijela ravnine koju zauzimaju te tako upoznaje pojam površine.

Mjeri površinu likova ucrtanih u  kvadratnoj mreži prebrojavanjem kvadrata.

Ucrtava u kvadratnu mrežu likove zadane površine.

Mjeri površine pravokutnih likova prekrivanjem površine jediničnim kvadratom.

Poznaje standardne mjere za površinu (centimetar kvadratni, decimetar kvadratni, metar kvadratni).

Mjeri pravokutne površine u neposrednoj okolini.

Prošireni sadržaji: Preračunavanje mjernih jedinica.

Korelacija s Hrvatskim jezikom.

Uspoređuje likove sličnih površina te procjenjuje površinu lika u kvadratnoj mreži prebrojavanjem jediničnih kvadrata.

Uspoređuje i mjeri površine različitih likova ucrtanih u kvadratnoj mreži.

Mjeri površinu pravokutnoga lika prekrivanjem jediničnim kvadratima te ucrtava likove zadane površine u kvadratnu mrežu.

Spretno mjeri površine likova jediničnim kvadratima i zapisuje ih standardnim jedinicama za mjerenje površine.

NAPOMENE :

Težište je ishoda na pojmu površine kao veličine dijela ravne plohe kojega je lik zauzeo. U kvadratnoj mreži mogu se ucrtavati različiti likovi sastavljeni od jediničnih kvadrata i uspoređivati njihove površine.

S učenicima se može izrezati više jediničnih kvadrata (nije nužno da im je stranica duga 1 cm ili 1 dm – važno je da za nas predstavljaju jedinični kvadrat) kojima se onda služimo u modeliranju i mjerenju. Modeliramo tako da učenicima damo problemski zadatak, na primjer da izrade lik površine 8 jediničnih kvadrata, što je naravno moguće napraviti na mnogo načina. Također mogu mjeriti površinu prekrivanjem lika jediničnim kvadratima. Na isti način mogu mjeriti površine iz svoje neposredne okoline, na primjer površinu klupe ili knjige.

Bilo bi dobro pokazati da dva lika iste površine mogu imati različite opsege, a to se može napraviti dobrim odabirom zadatka.

Primjer problemskoga zadatka: Uzmite 12 jediničnih kvadrata. Slažite od njih različite pravokutnike i bilježite im površinu i opseg. Što primjećujete?

Pri određivanju površine nikako ne koristiti formulu za izračunavanje, a površinu zapisati velikim slovom P (npr. P = 8 centimetara kvadratnih).

13.

E. 4. 1

Provodi jednostavna istraživanja i analizira dobivene podatke.

Osmišljava i provodi jednostavna istraživanja u svojoj neposrednoj okolini.

Prikuplja podatke, razvrstava ih i prikazuje neformalno i formalno.

Čita podatke iz tablica i jednostavnih dijagrama.

Korelacija s Prirodom i društvom i međupredmetnim temama: Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Jednostavnim istraživanjima prikuplja i prikazuje odabrane podatke.

Provodi jednostavno istraživanje u kojemu podatke razvrstava prema zadanome kriteriju.

Provodi jednostavna istraživanja u kojima podatke prikazuje na različite načine.

U jednostavnim istraživanjima analizira dobivene podatke.

NAPOMENE:

U prikazivanjima stupčastim dijagrama, poželjno je za koordinate početi koristiti pojam osi kako bi se učenici pripremili za više razrede (npr. količina snijega po danu u mjesecu siječnju: os dana u mjesecu i os visine snijega u centimetrima).

Ovaj ishod može se ostvariti povezivanjem matematike s drugim predmetima, posebno s Prirodom i društvom. Učenici mogu istraživati problem koji ne mora biti iz matematike, ali će podatke upisivati i ucrtavati u tablice ili dijagrame. U matematici možemo osmišljavati projekte u kojima će učenici prikupljati, razvrstavati i prikazivati podatke.

Primjeri:

Koliko vremena se posvećuje čitanju, a koliko gledanju televizije? Pratiti i bilježiti rezultate tijekom tjedan dana, a onda ih objediniti, prikazati i donijeti zaključke.

Pratiti rast biljke graha tijekom dva tjedna i bilježiti promjene…

14.

E. 4. 2

Opisuje vjerojatnost događaja.

U razgovoru iskazuje mogućnosti.

Uspoređuje ishode riječima vjerojatniji, manje vjerojatan, najvjerojatniji.

Korelacija s  Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i

Građanski odgoj i obrazovanje.

Razlikuje moguće i nemoguće događaje.

Navodi događaje koji su sigurni, mogući i nemogući.

Određuje i objašnjava koji je ishod vjerojatniji.

Opisuje vjerojatnosti ishoda u različitim okolnostima.

NAPOMENE :

Učenici moraju razumjeti razliku između sigurnoga ishoda, mogućega ishoda i nemogućega ishoda. To možemo postići postavljanjem primjerenih pitanja i zadataka.

Primjeri:

1. Ako je jutro oblačno, hoće li padati kiša?

2. Igra: Par – nepar. Razgovor o tome je li igra pravedna.

3. 12 učenika između sebe podijeli brojeve od 1 do 12. Redom bacaju 2 kockice i određuju njihov zbroj.

   Prikazani zbroj omogućava učeniku koji ima taj broj na kartici da se pomakne za jedno mjesto na tablici u kojoj je početno stajalište na 0, a cilj je doći do broja 10.

   Problemska pitanja: Koji zbroj nije moguće dobiti bacanjem kockica? (0, 1 i brojevi koji su veći od 12) Koji su zbrojevi vjerojatniji? Koji su zbrojevi najvjerojatniji?

   Je li igra pravedna?

VAŽNO:

Učenik se treba usmeno izražavati o pojmovima i procedurama koje provodi primjerenim matematičkim jezikom.

U nastavi što češće uključivati učenike u raspravu kako bi se njihova vještina izražavanja razvijala. U raspravi se učenici moraju jasno izražavati, uče slušati druge, uočavaju različite načine razmišljanja, dokazuju i argumentiraju svoje tvrdnje te time razvijaju vještinu komuniciranja.

Poticati učenike na postavljanje pitanja i to ne samo kada nešto ne razumiju već i radi proširivanja znanja. Kada je god moguće postavljati otvorena, divergentna pitanja, a ne zatvorena i konvergentna pitanja sa samo jednim odgovorom.

Učenik:

– odgovara na izravna pitanja o naučenim matematičkim pojmovima i procedurama koje izvodi

– verbalno prati procedure koje provodi, postavlja pitanja o pojmovima i procedurama kada nešto ne razumije

– objašnjava postupke koje provodi, postavlja pitanja kako bi proširio naučeno

– argumentira tvrdnje koje iznosi, postavlja kreativna, istraživačka pitanja o matematici.

DOMENE: A – BROJEVI, B – ALGEBRA I FUNKCIJE, C – OBLIK I PROSTOR, D – MJERENJE, E – PODACI, STATISTIKA I VJEROJATNOST

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

ZADOVOLJAVAJUĆA

DOBRA

VRLO DOBRA

IZNIMNA

1.

A. 5. 1

Brojevnim izrazom u skupu prirodnih brojeva s nulom modelira problemsku situaciju.

Čita i zapisuje prirodne brojeve uključujući brojeve veće od milijun.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju u skupu prirodnih brojeva s nulom.

Koristi se produženom nejednakošću.

Zbraja, oduzima, množi (dekadsku jedinicu prikazuje u obliku potencije baze 10, povezuje umnožak dva jednaka prirodna broja s kvadratom prirodnoga broja) i dijeli u skupu prirodnih brojeva s nulom primjenjujući svojstva računskih operacija.

Prepoznaje kvadrate prirodnih brojeva do 10.

Pridružuje prirodne brojeve točkama brojevnoga pravca i očitava ih.  Mentalno računa i procjenjuje rezultat kad je god moguće.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Računa vrijednost jednostavnih algebarskih izraza.

Računa brojevne izraze i uspoređuje brojeve u skupu prirodnih brojeva s nulom. Dekadsku jedinicu prikazuje u obliku potencije baze 10.

Računa brojevne izraze primjenjujući svojstva računskih operacija.

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom.

Povezuje brojevne izraze s problemskom situacijom i računa ih uz obrazloženje.

Brojevnim izrazom u skupu prirodnih brojeva s nulom modelira problemsku situaciju koju rješava.

NAPOMENA:  

Smještati prirodne brojeve na brojevni pravac sa zadanom jediničnom dužinom, smještati veće prirodne brojeve na brojevni pravac. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnijih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome . Ukazati da se u matematičkim izrazima znak množenja katkad izostavlja, ali da se podrazumijeva. Računsku operaciju dijeljenja zapisivati na različite načine (znakovima :,  /  i razlomačkom crtom). Povezati umnožak dva jednaka prirodna broja s pojmom kvadrata prirodnoga broja, ali ne uvoditi pojmove baza i eksponent. Matematičkim zapisom prikazivati skup prirodnih brojeva s nulom. Stalno procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate, sudoku, zadatke sa šibicama i slično.

2.

A. 5. 2

Rastavlja broj na proste faktore i primjenjuje djeljivost prirodnih brojeva.

Barata pojmovima djeljivost, djelitelj, višekratnik, biti djeljiv, prost broj, složen broj.

Primjenjuje djeljivost brojevima 2, 3, 5, 9 i 10.

Rastavlja broj na proste faktore i višestruki umnožak istih faktora zapisuje u obliku potencije .

Primjenjuje djeljivost i tumači postupak koji provodi.

Prošireni sadržaji:

Ispituje djeljivost umnoška, zbroja i razlike.

Prepoznaje brojeve djeljive s 2, 3, 5, 9 i 10. Razlikuje proste i složene brojeve. Rastavlja broj na proste faktore.

Određuje djelitelje i višekratnike prirodnih brojeva. U rastavu na proste faktore povezuje višestruki umnožak istih faktora s potencijom.

Primjenjuje pravila djeljivosti prirodnih brojeva u rješavanju jednostavnijih matematičkih problema.

Primjenjuje djeljivost prirodnih brojeva u rješavanju problemskih situacija. Tumači postupak koji provodi.

NAPOMENA:

Ne uvoditi pojmove baza i eksponent.

3.

A. 5. 3

Povezuje i primjenjuje različite prikaze razlomaka.  

Povezuje slikovni prikaz razlomka sa svim vrstama brojevnih zapisa i obratno.

Zapisuje i tumači razlomak povezujući ga s dijeljenjem.

Prikazuje razlomke na brojevnome pravcu.

Povezuje različite brojevne zapise nepravih razlomaka, mješovitih brojeva i prirodnih brojeva.

Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Povezuje slikovni prikaz razlomka sa brojevnim zapisom . Zapisuje i tumači razlomak povezujući ga s dijeljenjem.

Brojevni zapis razlomka prikazuje slikovnim prikazom i obratno. Koristeći se predloženom razdiobom prikazuje i očitava razlomke na brojevnome pravcu .

Prikazuje razlomke na brojevnome pravcu odabirući primjerenu razdiobu.

Opisuje i određuje udio izražen razlomkom u skupu istovrsnih podataka.

Različitim prikazima razlomaka modelira problemsku situaciju koju rješava.

NAPOMENA:

Na brojevnome pravcu prikazivati razlomke s jednoznamenkastim nazivnikom. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina.

Prilikom povezivanja različitih brojevnih zapisa razlomaka koristiti se crtežom, modelima, brojevnim pravcem. Naglasiti ekvivalentnost razlomaka jednakih vrijednosti, a različitog zapisa (prošireni i skraćeni razlomci bez računske procedure). Uvesti postotak kao oznaku za razlomak s nazivnikom 100, promil kao oznaku za razlomak s nazivnikom 1000. Pronalaziti primjere iz okruženja u kojima se u kontekstu spominju postoci i promili. Igra: Dan – noć (Brojnik – nazivnik), slagalice i slično. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

4.

A. 5. 4

Povezuje i primjenjuje različite zapise decimalnoga broja.

Opisuje i zapisuje decimalne brojeve. Opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila) .

Otkriva beskonačne decimalne brojeve.

Odabire pogodan oblik zapisa broja u problemu.

Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Korelacija s Geografijom i Prirodom

Opisuje i zapisuje decimalne brojeve koristeći se matematičkim jezikom.

Povezuje različite zapise brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila)

uz obrazloženje.

Samostalno i sigurno prelazi iz jednoga zapisa broja u drugi. Opisuje i određuje udio izražen postotkom u skupu istovrsnih podataka.

Odabire pogodan oblik zapisa broja u prikazu pojedine veličine u problemskoj situaciji koju rješava.

NAPOMENA:

Poticati učenika da mentalnim računanjem prelazi između različitih zapisa brojeva. Naglasiti da neke razlomke nije korisno pretvarati u decimalni zapis jer imaju beskonačno mnogo decimala.

5.

A. 5. 5

Računa s decimalnim brojevima.

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka decimalna broja s kvadratom decimalnoga broja) i dijeli decimalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju decimalnih brojeva.

Otkriva beskonačne decimalne brojeve.

Pridružuje točke pravca decimalnim brojevima i očitava ih.

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza.

Rješava problemsku situaciju.

Korelacija s Geografijom i Prirodom

Računa s decimalnim brojevima uz prethodnu procjenu. Uspoređuje decimalne brojeve.

Brojevnim izrazom opisuje jednostavnu problemsku situaciju koju rješava uspoređujući rezultat s osobnom procjenom. Očitava decimalne brojeve na brojevnome pravcu.

Računa složenije brojevne izraze primjenjujući svojstva računskih operacija.

Pridružuje točke pravca decimalnim brojevima.

Problemsku situaciju rješava primjenjujući računanje s decimalnim brojevima.

NAPOMENA:

Mentalno računati i procjenjivati rezultat kad je god moguće. Istaknuti da decimalna točka u matematici odgovara decimalnomu zarezu u nekim područjima. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome . Potrebno je procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate i slično.

6.

A. 5. 6

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve.

Primjenjuje pravila zaokruživanja, smisleno zaokružuje prirodne i decimalne brojeve primjereno uvjetima zadatka.

Uočava pogrešku pri zaokruživanju i procjenjuje njezin utjecaj na rješenje.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve do najbliže desetice, stotice, cijeloga broja, desetinke ili stotinke. .

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve uz opisivanje postupka .

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve procjenjujući utjecaj pogreške zaokruživanja.

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve primjereno problemskoj situaciji.

7.

B. 5. 1

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Prepoznaje nepoznanicu u problemskoj situaciji.

Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom.

Rješava linearnu jednadžbu oblika ax+b=0, gdje su a i b prirodni ili decimalni brojevi, provjeravajući točnost dobivenoga rješenja.

Izražava nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe koristeći se vezom između računskih operacija.

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Jednostavnu linearnu jednadžbu u skupu prirodnih brojeva rješava vezom između računskih operacija.

Samostalno rješava jednostavnu linearnu jednadžbu procjenjujući rezultat.

Jednostavnu problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom uz obrazloženje.

Linearnom jednadžbom modelira problemsku situaciju koju rješava te utvrđuje smislenost rješenja.

NAPOMENA:

Učeniku postaviti jednostavnu linearnu jednadžbu oblika a ∙ x = b, x + a = b, a + x = b, a – x = b, x – a = b, x : a = b,  a : x = b, gdje su a i b prirodni ili decimalni brojevi . Za sve razine pokušati povezati zadanu linearnu jednadžbu s odgovarajućim problemskim zadatkom – matematička priča. Izražavati veličinu iz jednostavne jednadžbe koristeći se vezom između računskih operacija, npr: ax = b, a = b : x, x = b : a , gdje su a i b prirodni ili decimalni brojevi.

8.

B. 5. 2

Prikazuje skupove i primjenjuje odnose među njima za prikaz rješenja problema.

Oblikuje i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama (presjek, unija, podskup).

Određuje broj elemenata skupa. Prepoznaje prazan skup.

Koristi se matematičkim simbolima u zapisu skupova i njihovih odnosa.

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom.

Prošireni sadržaji: Ispisuje i prebrojava elemente skupa u kombinatornim zadatcima.

Na Vennovu dijagramu prepoznaje pripadnost skupu uz zapis matematičkim jezikom.

Samostalno povezuje različite zapise skupova. Na predlošku opisuje presjek i uniju skupova točaka u ravnini.

Simbolički i Vennovim dijagramom prikazuje presjek, uniju skupova i podskup skupa.  

Primjenjuje odnose među skupovima za prikaz rješenja problema.

NAPOMENA:

Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka. Moguća istraživanja primjene Vennovih dijagrama u drugim područjima. Primjeri: narječja hrvatskog jezika, obilježja životinja.

9.

C. 5. 1

Opisuje skupove točaka u ravnini te analizira i primjenjuje njihova svojstva i odnose.

Služeći se geometrijskim priborom i matematičkim jezikom proučava, opisuje, definira, skicira, crta i označava skupove točaka u ravnini (točke, pravci, polupravci, dužine, kutovi ) i njihove međusobne odnose. Opisuje sukladnost dužina i kutova.

Crta usporedne i okomite pravce, susjedne i vršne kutove te kutove uz presječnicu usporednih pravaca.

Prepoznaje vrste kutova od šiljastog do punog.

Konstruira i definira simetralu dužine, opisuje i primjenjuje njezina svojstva.  

Korelacija s Geografijom i Prirodom .

Prepoznaje skupove točaka u ravnini (točku, pravac, polupravac, dužinu, kut ) i opisuje ih koristeći matematički jezik. Konstruira simetralu dužine.

Opisuje i prikazuje međusobne odnose skupova točaka u ravnini, sukladnost dužina i kutova koristeći matematički jezik.

Crta vršne i susjedne kutove.

Opisuje svojstva vršnih i susjednih kutova te kutova uz presječnicu usporednih pravaca.

Dijeli dužinu na sukladne dijelove (2, 4 i 8) primjenjujući svojstva simetrale dužine uz obrazloženje.

Argumentira svojstva simetrale dužine pri konstrukciji polovišta dužine, jednakostraničnog i jednakokračnog trokuta.

NAPOMENA:

Poticati grafomotoriku učenika. Posebno precizno crtati ili konstruirati usporedne i okomite pravce uz označavanje i zapisivanje odnosa matematičkim jezikom. Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka.

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod C.5.1 je preduvjet za ostvarenje ishoda C.5.3.

10.

C. 5. 2

Opisuje i crta /konstruira geometrijske likove te stvara motive koristeći se njima.

Precizno i uredno crta/konstruira, skicira geometrijske likove (kvadrat, pravokutnik, trokut, kružnicu, krug i njegove dijelove).

Opisuje trokut, kvadrat i pravokutnik (vrhovi, stranice, dijagonale i njihovi odnosi, kutovi).

Definira kružnicu i krug te opisuje njihove elemente (polumjer, promjer, tetiva).

Opisuje i crta dijelove kruga (kružni isječak, kružni odsječak, kružni vijenac).

Korelacija s Geografijom, Prirodom i Tehničkom kulturom.

Prepoznaje i opisuje matematičkim jezikom kvadrat, pravokutnik, trokut, kružnicu i krug. Skicira i crta kvadrat, pravokutnik, trokut, kružnicu i krug.

Precizno i uredno konstruira kružnicu, krug, jednakostranični i jednakokračni trokut.

Definira kružnicu, krug, opisuje polumjer i promjer.

Precizno i uredno konstruira kvadrat i pravokutnik primjenjujući svojstvo simetrale dužine. Diskutira o postojanju trokuta u ovisnosti o zadanim duljinama stranica.

Stvara motive i uzorke koristeći se geometrijskim likovima. Opisuje i crta dijelove kruga.

NAPOMENA:

Konstruirati okomicu primjenom svojstva simetrale dužine. Može se prikazivati  presjek ili unija dvaju ili više geometrijskih  likova i stvarati motive. Koristeći se stvarnim materijalima rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati ravninske oblike sastavljene od trokuta i četverokuta. Može se koristiti i tangram. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

11.

C. 5. 3

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini.

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, pravac, trokut, četverokut, krug i kružnicu). Prepoznaje osnosimetrični/ centralnosimetrični lik i odeđuje os/ centar simetrije.

Korelacija s Informatikom.

Osnosimetrično preslikava sliku u kvadratnoj mreži. Prepoznaje centralnosimetrične likove.

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, trokut, četverokut, krug i kružnicu).

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava geometrijske oblike. Rekonstruira crtež na osnovi dijelova originala i slike preslikanog osnom ili centralnom simetrijom.

Samostalno i precizno preslikava likove kompozicijom osne i centralne simetrije uz diskusiju .

NAPOMENA:

Koristeći se stvarnim materijalima rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati osnosimetrične i centralnosimetrične slike. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice. Ishod C.5.1 je preduvjet za ostvarenje ishoda C.5.3.

12.

D. 5. 1

Mjeri i crta kutove, određuje mjere susjednih i vršnih kutova.

Mjeri i crta kutove pomoću kutomjera. Klasificira kutove od šiljastoga do punoga.

Računa mjeru kuta u stupnjevima i minutama te crta kutove zadane svojom mjerom.

Opisuje susjedne (sukute) i vršne kutove.

Određuje mjere susjednih i vršnih kutova.

Mjeri i crta kutove do ispruženoga kuta. Opisuje susjedne kutove i određuje njihove mjere u stupnjevima.

Mjeri i crta kutove objašnjavajući postupak. Klasificira kutove.

Određuje mjere susjednih i vršnih kutova zadanih u stupnjevima i minutama.

Određuje mjere kutova u složenijim geometrijskim situacijama.

NAPOMENA:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

13.

D. 5. 2

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km, m, dm, cm, mm) , masu (t, kg, dag, g, mg) , vrijeme (s, min, h, dan, tjedan, mjesec, god, stoljeće, desetljeće, tisućljeće) , volumen tekućine (hl, l, dl, ml) i primjenjuje ih pri rješavanju problema.

Korelacija s Geografijom, Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi).

Preračunava mjerne jedinice za duljinu (m, cm, mm) , masu (kg, g) , vrijeme (min, h, dan) povezujući ih s primjerima iz okruženja.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km) , masu (t, kg, g) , vrijeme (tjedan, mjesec, god), volumen tekućine (l, dl) povezujući ih s primjerima iz okruženja.

Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnijih problema.

Odabire pogodnu mjernu jedinicu pri rješavanju problemske situacije.

NAPOMENA:

Volumen tekućine preračunavati u zadatcima iz okruženja učenika.

14.

D. 5. 3

primjenjuje računanje s novcem.

Računa s novcem u problemskoj situaciji.

Povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga.

Poznaje pojam valute (euro i još jedna valuta iz okruženja) i tečajne liste. Preračunava jednu valutu u drugu.

Korelacija s Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj.

Računa s novcem u jednostavnim problemskim situacijama.

Uz prethodnu procjenu povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga .

Preračunava jednu valutu u drugu.

Analizira i odabire povoljniju ponudu proizvoda i usluga.

Računa isplativost konverzije valute.

Bira strategiju za rješavanje financijskih problema.

NAPOMENA:

Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. Primjer jednostavne situacije: kupovina, štednja, džeparac, kućni budžet. Istražiti i upoznati različite valute, tečajnu listu. U računanju zaokruživati rezultat na dvije decimale. Istražiti povijesne crtice o novcu. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

15.

D. 5. 4

Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova.

Opisuje i računa opseg geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova (kvadrata, pravokutnika, trokuta).

Opisuje i računa površinu kvadrata i pravokutnika.

Otkriva i obrazlaže formule za opseg i površinu.

Povezuje umnožak dva jednaka broja s pojmom kvadrata broja i mjernom jedinicom za površinu.

Poznaje mjerne jedinice za površinu (kilometar kvadratni, metar kvadratni, decimetar kvadratni, centimetar kvadratni, milimetar kvadratni).

Opisuje i računa opseg nacrtanoga geometrijskoga lika.

Određuje površinu kvadrata i pravokutnika u kvadratnoj mreži.

Uz prethodnu procjenu računa opseg (kvadrata, pravokutnika, trokuta) i površinu (kvadrata i pravokutnika). Otkriva i obrazlaže formule za opseg i površinu.

Primjenjuje opseg i površinu kvadrata i pravokutnika za određivanje opsega i površine geometrijskih oblika. Kreira likove zadane površine sastavljene od kvadrata i pravokutnika.

Opsegom i površinom modelira rješavanje problema iz geometrije i iz stvarnoga života.

NAPOMENA:

Uvesti znakove za mjerne jedinice površine bez preračunavanja. Slagati slike pomoću dijelova tangrama, mjeriti potrebne dimenzije likova i računati njihov opseg. Koristiti se procjenom. Rješavati zadatke povezane s okruženjem i poticati učenike da stvaraju crteže sastavljene od geometrijskih likova te da računaju njihove opsege i površine.

16.

D. 5. 5

Računa i primjenjuje volumen kocke i kvadra.

Objašnjava volumen kocke i kvadra kao broj istovrsnih jediničnih kocaka od kojih je sastavljen.

Otkriva i obrazlaže formulu za volumen kocke i kvadra.

Procjenjuje i računa volumen kocke i kvadra u problemskim situacijama. Povezuje umnožak tri jednaka prirodna broja s pojmom kuba prirodnoga broja i mjernom jedinicom za volumen.

Poznaje mjerne jedinice za volumen (metar kubni, decimetar kubni, centimetar kubni).

Od jediničnih kocaka slaže model tijela kocke i kvadra.

Povezuje volumen kocke i kvadra s brojem jediničnih kocaka. Dopunjava crtež kocke u mreži.

Slaže tijelo zadanog volumena pomoću jediničnih kocaka.

Određuje volumen kocke na slici koja je izgrađena od jediničnih kocaka.

Otkriva i obrazlaže formulu za volumen kocke i kvadra. Procjenjuje i računa volumen kocke i kvadra.

Volumenom kocke i kvadra modelira rješavanje problema iz geometrije i stvarnoga života.

Određuje volumen geometrijskoga tijela na slici koje je izgrađeno od jediničnih kocaka.

NAPOMENA:

Uvesti znakove za mjerne jedinice volumena bez preračunavanja. Na prikazu geometrijskog tijela u ravnini, izgrađenog od jediničnih kocaka, nisu uočljive sve jedinične kocke. Koristiti se procjenom. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

17.

E. 5. 1

Barata podacima prikazanim na različite načine.

Povezuje, uspoređuje i tumači podatke prikazane tablicama, slikama, listama, te različitim grafovima i dijagramima prikazanim u prvom kvadrantu (koordinatnog sustava u ravnini).

Na vodoravnu os nanosi obilježja skupa podataka, a na okomitu broj elemenata skupa s danim obilježjem ili obratno.

Odgovara na pitanja koja nadilaze izravno čitanje podataka (npr. računa s grafički prikazanim podacima).

Prošireni sadržaj: Računa aritmetičku sredinu brojčanih podataka.

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje.

Čita podatke prikazane tablicom, slikom, listom, te različitim grafovima i dijagramima.

.

Tumači prikaz podataka tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima.

Prikupljene podatke razvrstava u tablici na prikladan način i prikazuje ih u prvom kvadrantu.

Barata grafički prikazanim podacima kako bi odgovorio na pitanja koja nadilaze izravno čitanje podataka.

NAPOMENA:

Iz zadanoga prikaza odrediti skup objekata, obilježja skupa, broj elemenata skupa s danim obilježjem . Ovaj bi ishod bilo korisno ostvariti provođenjem stvarnih istraživanja u nekome razdoblju (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, tjelesno i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane...) što omogućuje integriranu nastavu s Geografijom i Prirodom. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

DOMENE: A – BROJEVI, B – ALGEBRA I FUNKCIJE, C – OBLIK I PROSTOR, D – MJERENJE, E – PODACI, STATISTIKA I VJEROJATNOST

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

1.

A. 6. 1

Računa najmanji zajednički višekratnik i primjenjuje svojstva djeljivosti prirodnih brojeva.

Pronalazi zajedničke djelitelje, najveći zajednički djelitelj, zajedničke višekratnike, najmanji zajednički višekratnik dvaju i više prirodnih brojeva.

Primjenjuje svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Prošireni sadržaji:

Opisuje i primjenjuje svojstvo relativno prostih brojeva.

Povezuje djeljivost prirodnih brojeva s određivanjem zajedničkih djelitelja i računanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Računa najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva.

Primjenjuje svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva za rješavanje problemskih situacija i tumači dobiveno rješenje.

Primjenjuje svojstva najmanjega zajedničkog višekratnika i najvećega zajedničkog djelitelja za rješavanje problemskih situacija.

NAPOMENA:

Moguća istraživanja: savršeni brojevi, prijateljski brojevi…

2.

A. 6. 2

Proširuje i skraćuje razlomke te primjenjuje postupak svođenja na zajednički nazivnik.

Proširuje i skraćuje razlomke.

Svodi razlomke na zajednički nazivnik i najmanji zajednički nazivnik.

Te postupke provodi računski uz obrazloženje.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Proširuje/skraćuje razlomak zadanim brojem uz opisivanje postupka .

Svodi dva razlomka na zajednički nazivnik.

Svodi razlomke na najmanji zajednički nazivnik.

Skraćuje razlomak do neskrativog razlomka.

Primjenjuje postupak svođenja na zajednički nazivnik za računanje brojevnih izraza.

Brojevnim izrazom modelira problemsku situaciju koju rješava. Tumači dobiveno rješenje.

NAPOMENA:

Pri uvođenju postupka proširivanja i skraćivanja razlomaka te svođenja na zajednički nazivnik koristiti se slikovnim prikazom postupaka. Nazivnici ne trebaju biti veliki brojevi. Ravnopravno uključiti prirodne i mješovite brojeve te decimalne zapise racionalnih brojeva.

3.

A. 6. 3

Primjenjuje različite zapise nenegativnih racionalnih brojeva

Koristeći se matematičkim jezikom opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa nenegativnih racionalnih brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, pravih razlomaka, nepravih razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila) .

Povezuje omjer dviju veličina s razlomkom.

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.

Odabire prikladan zapis pri rješavanju brojevnih izraza i problemskih situacija.

Prelazi iz jednoga zapisa nenegativnoga racionalnog broja u drugi uz opisivanje postupka .

Opisuje razlomak kao prikaz omjera dviju veličina u primjeru iz svakidašnjeg života.

.

Odabire, uz obrazloženje, pogodan oblik zapisa u brojevnim izrazima koje rješava.

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.

Povezuje problemsku situaciju i jednostavni brojevni izraz uz obrazloženje.

Bira strategije za rješavanje složenijih brojevnih izraza u skupu nenegativnih racionalnih brojeva.

NAPOMENA:

Poticati učenika da mentalno računajući prelazi između različitih zapisa pozitivnih racionalnih brojeva. Naglasiti da neke razlomke nije korisno pretvarati u decimalni zapis jer imaju beskonačno mnogo decimala.

4.

A. 6. 4

Primjenjuje uspoređivanje nenegativnih racionalnih brojeva.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju pozitivnih racionalnih brojeva.

Uspoređuje nenegativne racionalne brojeve različitoga zapisa.

Reda po veličini nenegativne racionalne brojeve koristeći se produženom nejednakošću.

Odabire prikladan zapis u kontekstu.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.  

Primjenjuje uspoređivanje dva nenegativna racionalna broja istovrsnoga zapisa u problemskim situacijama.

Odabire prikladan zapis pri uspoređivanju dvaju nenegativnih racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija.

Reda po veličini više nenegativnih racionalnih brojeva bez obzira na zapis koristeći se matematičkim jezikom .

Odabire prikladan zapis pri uspoređivanju više nenegativnih racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija.

NAPOMENA:

Pri uspoređivanju razlomaka ne treba pretjerivati s velikim nazivnicima. Poticati procese zaokruživanja i procjene pogreške zaokruživanja. Odnos skupova N i Q prikazivati Vennovim dijagramom.

5.

A. 6. 5

Računa s nenegativnim racionalnim brojevima.

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli nenegativne racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.

Povezuje nenegativni racionalni broj s njegovom recipročnom vrijednošću.

Pojednostavnjuje dvojni razlomak. Zbraja i oduzima istoimene monome, množi monom s monomom.

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza.

Procjenjuje zaokruživanjem na najbliži cijeli broj i računa vrijednost jednostavnoga brojevnoga izraza u skupu nenegativnih racionalnih brojeva.

Računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija. Pojednostavnjuje dvojni razlomak.

Množi monom s monomom.

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka pri rješavanju složenih brojevnih izraza.

Zbraja i oduzima istoimene monome .

Primjenjuje računanje s nenegativnim racionalnim brojevima pri rješavanju problemske situacije.

NAPOMENA:

Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Ne uvoditi pojmove baza i eksponent. Poticati učenika da mentalno računajući kvadrira pogodne racionalne brojeve.

6.

A. 6. 6

Prikazuje i primjenjuje cijele brojeve.

Na brojevnome pravcu istražuje i otkriva cijele brojeve, pozitivne, negativne brojeve i nulu, suprotne brojeve, apsolutnu vrijednost cijeloga broja.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju cijelih brojeva.

Pridružuje cijele brojeve točkama pravca i obratno.

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu cijelih brojeva.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Pridružuje točke pravca cijelim brojevima i obratno. Na brojevnom pravcu prepoznaje i uspoređuje suprotne cijele brojeve.

Određuje apsolutnu vrijednost cijeloga broja i uspoređuje cijele brojeve uz obrazoženje . Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu cijelih brojeva.

Određuje cijele brojeve ako je zadana njihova apsolutna vrijednost i prikazuje rješenja skupovnim zapisom.

Rješava problemsku situaciju koristeći se svojstvima cijelih brojeva.

NAPOMENA:

Matematičkim zapisom prikazivati skup cijelih brojeva, odnos skupova N i Z prikazivati Vennovim dijagramom.

Ravnopravno se koristiti pojmovima apsolutna vrijednost i udaljenost cijeloga broja od nule na brojevnom pravcu.

7.

A. 6. 7

računa s cijelim brojevima.

Zbraja, oduzima, množi i dijeli cijele brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka .

Procjenjuje i preispituje smislenost rezultata.

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza.

Brojevnim izrazom modelira problemsku situaciju koju rješava.

Računa vrijednost jednostavnoga brojevnog izraza u skupu cijelih brojeva.

Računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija.

Množi monom s monomom.

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka pri rješavanju složenih brojevnih izraza.

Zbraja i oduzima istoimene monome .

Brojevnim izrazom modelira problemsku situaciju koju rješava. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

NAPOMENA:

Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome . Stalno procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate.

8.

A. 6. 8

Primjenjuje potenciju baze 10 i nenegativnog cjelobrojnog eksponenta.

Opisuje potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta kao zapis višestrukog množenja broja 10.

Potenciji 10 na nultu pridružuje broj 1.

Prikazuje dekadsku jedinicu kao potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta.

Zbraja, oduzima i množi s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata (uključiti samo cjelobrojne koeficijente).

Argumentira uočeno pravilo o množenju s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata.

Prošireni sadržaj: Dijeli s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata.

Povezuje zapis višestrukog množenja broja 10 s potencijom baze 10 i prirodnoga eksponenta uz obrazloženje.

Prikazuje dekadsku jedinicu kao potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta i obratno. Potenciji 10 na nultu pridružuje broj 1.

Računa s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata u jednostavnim izrazima.

Argumentira uočeno pravilo o računanju s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata pri rješavanju brojevnih izraza.

NAPOMENA:

Učenike upoznati s koeficijentom, bazom i eksponentom potencije.  Zbrajati i oduzimati istovrsne potencije ili množiti potencije u jednostavnim izrazima.

Primjer jednostavnoga izraza: 5 ∙ ± 2 ∙  ili - 4 ∙ ∙ 7 ∙ , koeficijenti su cijeli brojevi. Računati kvadrate prirodnih brojeva do 20.

9.

B. 6. 1

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Analizira problemsku situaciju u skupovima Q ⁺ i Z i zapisuje ju linearnom jednadžbom.

Rješava jednadžbu koja se svodi na oblik ax+b=0, gdje su a i b nenegativni racionalni ili cijeli brojevi, primjenjujući ekvivalentnost jednadžbi.

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.

Primjenjuje ekvivalentnost razlomaka za određivanje nepoznatoga brojnika ili nazivnika.

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica. Računa mjeru nepoznatoga kuta u trokutu i četverokutu. Rješava jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.                              Provjerava točnost rješenja jednadžbe. Preispituje smislenost rješenja i tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Prošireni sadržaj: Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom i rješava vezom računskih operacija. Postupak obrazlaže.

Primjenom ekvivalencije jednadžbi složeniju linearnu jednadžbu svodi na oblik ax+b=0 i rješava uz provjeru.

Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom i rješava ju. Tumači smislenost rješenja.

Modelira linearnom jednadžbom problemsku situaciju koju rješava u skupovima Q ⁺ i Z.

NAPOMENA:

Rješavati jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti. Izražavati nepoznatu veličinu iz jednostavne jednadžbe, npr. ax = b, a = b/x, x = b/a, gdje su a i b nenegativni racionalni ili cijeli brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija (priprema za biologiju, kemiju i fiziku).

10.

C. 6. 1

Konstruira kut i njegovu simetralu.

Prepoznaje i opisuje kut, vrh kuta i krak kuta te kutni stupanj.

Konstruira kutove od 60˚, 120˚, 30˚, 90˚ i njihove kombinacije primjenjujući svojstva simetrale kuta.

Prenosi kut.

Procjenjuje mjeru nacrtanih kutova.

Prošireni sadržaj: Konstruira trokutu upisanu kružnicu.

Konstruira simetralu kuta (šiljastog, pravog, tupog ispruženog). Konstruira kutove od 60˚ i 120˚. Opisuje postupak.  

Uredno i precizno konstruira kutove od 30˚ i 90˚.

Obrazlaže konstrukciju.

Uredno i precizno konstruira kutove složene od poznatih (15˚, 45˚,75˚, 105˚, 135˚,…). Obrazlaže konstrukciju.

Primjenjuje konstrukciju simetrale kuta i konstrukcije kutova pri rješavanju geometrijskih problema.

NAPOMENA:

P rocjenjivati mjere nacrtanih kutova. U prostoru se može fizički približno okretati za određeni kut. Ponuditi učeniku gotovu konstrukciju kuta kako bi prepoznao o kojemu je kutu riječ. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

NAPOMENA:

Nije potrebno dokazivati poučke o sukladnosti. Trokute konstruirati precizno i uredno uz prethodno prostoručno skiciranje. Na skici označiti potrebne elemente i planirati po njoj konstrukciju trokuta. Istražiti vezu između dvaju unutarnjih i nasuprotnoga vanjskog kuta trokuta . Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

12.

C. 6. 3

Konstruira četverokute, analizira njihova svojstva i odnose.

Na osnovi uočenih svojstava i odnosa stranica, kutova i dijagonala paralelograma opisuje , skicira i konstruira kvadrat, pravokutnik, paralelogram i romb.

Opisuje kružnicu kvadratu i pravokutniku.

Klasificira četverokute s obzirom na paralelnost njihovih stranica.

Prošireni sadržaj: Opisuje i crta trapez, deltoid i vitoper.        

Korelacija s Tehničkom kulturom.

Skicira i konstruira kvadrat i pravokutnik i opisuje njihova svojstva koristeći se matematičkim jezikom.

Opisuje, skicira i konstruira paralelogram i romb primjenjujući svojstva njihovih stranica i kutova uz obrazloženje.

Analizirajući skicu konstruira četverokute primjenjujući svojstva njihovih dijagonala.

Konstrukcijom kreira geometrijske oblike sastavljene od geometrijskih likova.

NAPOMENA:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

13.

D. 6. 1

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen tekućine, površinu (mm ² , cm ² , dm ² , m ² , km ² ) i mjeru kuta, mjeri temperaturu primjenjujući ih pri rješavanju problema.

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi).

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu (kg, g) , vrijeme (s, min, h, dan) , volumen tekućine (l, dl) , površinu (cm ² , m ² ) povezujući ih s primjerima iz okruženja.

Preračunava mjerne jedinice povezujući ih s primjerima iz okruženja.

Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnijih problema.

Odabire pogodnu mjernu jedinicu pri rješavanju problemske situacije.

NAPOMENA:

Duljina: km, m, dm, cm, mm. Masa: t, kg, dag, g, mg. Volumen tekućine: hl, l, dl, ml.  Vrijeme: s, min, h, dan, tjedan, mjesec, godina. Mjera kuta: kutni stupanj, kutna minuta.  Površina: km ² , m ² , dm ² , cm ² , mm ² . Mjeriti temperaturu.

14.

D. 6. 2

Računa i primjenuje opseg i površinu trokuta i četverokuta te mjeru kuta.

Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova (trokuta i paralelograma).

Istražuje i primjenjuje zbroj mjera kutova u trokutu i četverokutu.  

Određuje opseg i površinu kvadrata i pravokutnika uz obrazloženje matematičkim jezikom .

Uz prethodnu procjenu samostalno i sigurno računa, opseg i površinu paralelograma.

Otkriva, obrazlaže i primjenjuje formulu za površinu pravokutnoga trokuta.

Otkriva, obrazlaže i primjenjuje formulu za površinu trokuta.

Istražuje načine računanjea opsega i površine geometrijskih oblika uz obrazloženje matematičkim jezikom .

Argumentira odabir strategije za računanje opsega i površine u rješavanju problemske situacije.

NAPOMENA:

Dokazati tvrdnje o zbroju mjera kutova u trokutu i četverokutu. Računati opsege i površine u problemskim situacijama iz okruženja. Potaknuti učenike da sami pronalaze problemske situacije iz okruženja. Prije računanja procjenjivati veličine kad je god moguće. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

15.

D. 6. 3

A. 6. 9

Primjenjuje računanje postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti.

Povezuje postotak, osnovnu vrijednost i postotni iznos u problemskoj situaciji.

Računa postotni iznos zadanoga postotka i osnovne vrijednosti.

Analizira promjenu postotnog iznosa s obzirom na promjenu osnovne vrijednosti uz isti postotak.

Primjenjuje računanje postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti u problemima.

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje.

Računa 1 %, 10 %, 20%, 25 %, 50 %, 100 %, 200 % od zadane osnovne vrijednosti.

Računa postotni iznos zadane osnovne vrijednosti. Analizira promjenu postotnog iznosa s obzirom na promjenu osnovne vrijednosti uz isti postotak.

Primjenjuje računanje postotnoga iznosa zadane osnovne vrijednosti u problemima utvrđujući smislenost rješenja.

Modelira računanjem postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti rješavanje problemske situacije .

NAPOMENA:

Osnovna vrijednost može biti novčani iznos, duljina, masa, skupina djece, zdrava i nezdrava hrana... Stalno se koristiti procjenom i paziti na smislenost rješenja. Računati PDV zadane osnovne vrijednosti. Poticati mentalno računanje 1 %, 10 %, 20 %, 25 %, 50 %, 100 %, 200 % kada je osnovna vrijednost višekratnik broja 100.

16.

D. 6. 4

Pridružuje cijele i pozitivne racionalne brojeve točkama brojevnoga pravca.

Pridružuje točke pravca cijelim i racionalnim brojevima (ishodište, jedinična dužina, jedinična točka, koordinata točke).

Očitava koordinatu točke, opisuje njezin položaj na brojevnome pravcu te matematički zapisuje.

Prošireni sadržaj:

Računski i grafički određuje koordinatu polovišta dužine na brojevnom pravcu.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Na brojevnome pravcu očitava i zapisuje koordinatu zadane točke u skupu cijelih i pozitivnih racionalnih brojeva koristeći se matematičkim jezikom.

Organizira brojevni pravac i pridružuje pozitivne razlomke jednakih nazivnika točkama pravca. Procjenjuje položaj pozitivnog racionalnoga broja u odnosu na najbliže cijele brojeve.

Pridružuje točke cijelim i pozitivnim racionalnim brojevima na brojevnom pravcu s unaprijed određenom jediničnom dužinom.

Pridružuje točke pravca cijelim i pozitivnim racionalnim brojevima odabirući prikladnu jediničnu dužinu.

NAPOMENA:

Smještati na brojevni pravac pozitivne razlomke nazivnika manjega od 10.

17.

D. 6. 5

U pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama.

Organizira pravokutni koordinatni sustav u ravnini (ishodište, jedinične dužine, koordinate točke, koordinatne osi, kvadranti).

Povezuje koordinate točke i uređeni par cijelih brojeva.

Opisuje elemente koordinatnoga sustava.

Očitava i crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama uz odgovarajući zapis matematičkim jezikom.

Prepoznaje i tumači pripadnost točke kvadrantima i koordinatnim osima.

Crta likove određene točkama s cjelobrojnim koordinatama.

Grafički rješava matematičke probleme.

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Opisuje elemente koordinatnoga sustava. Očitava i zapisuje cjelobrojne koordinate zadane točke koristeći se matematičkim jezikom.

U koordinatnom sustavu u ravnini crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama. Uočava ovisnost predznaka cjelobrojnih koordinata točke i pripadnosti točke kvadrantu.

Samostalno i sigurno crta likove određene točkama s cjelobrojnim koordinatama.

Prema zapisu pomoću koordinata prepoznaje i tumači pripadnost točke kvadrantima i koordinatnim osima.

Crtajući točke zadane cjelobrojnim koordinatama grafički rješava matematičke probleme.

NAPOMENA:

Stvarati likove i slike, dopunjavati likove s uvjetom osne i centralne simetrije. Igre: šah, potapanje brodova. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

18.

E. 6. 1

Prikazuje podatke tablično te linijskim i stupčastim dijagramom frekvencija.

Prikuplja i razvrstava podatke te određuje frekvencije razvrstanih podataka. Prikazuje podatke tablično, linijskim i stupčastim dijagramom frekvencija.

Prošireni sadržaj: Računa aritmetičku sredinu brojčanih podataka i interpretira dobiveni rezultat.

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje.

Prikupljene podatke razvrstava u tablici na prikladan način. S različitih zadanih grafičkih prikaza istog skupa podataka očitava podake i uspoređuje ih.  

Određuje frekvencije razvrstanih podataka potrebne za grafički prikaz.

Prikupljene podatke prikazuje linijskim dijagramom frekvencija.

Prikupljene podatke prikazuje stupčastim dijagramom frekvencija i tumači prikaz. Analizira zadane prikaze uz kritički osvrt.

Barata grafički prikazanim podacima kako bi odgovorio na pitanja koja nadilaze izravno čitanje podataka.

NAPOMENA:

Ovaj ishod bilo bi korisno ostvariti analizom stvarnih istraživanja tijekom nekoga razdoblja (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, tjelesno i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane...). Čitati podatke iz dvostrukoga linijskoga grafa (gustoća naseljenosti, vodostaj rijeka). Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

RB.

ISHOD

RAZRADA ISHODA

RAZINE USVOJENOSTI

ZADOVOLJAVAJUĆA

DOBRA

VRLO DOBRA

IZNIMNA

1.

A. 7. 1

D. 7. 6

Računa postotak i primjenjuje postotni račun.

Prepoznaje, opisuje i povezuje elemente postotnoga računa: postotak, postotni iznos i osnovnu vrijednost u problemskoj situaciji.

Primjenjuje postotni račun pri rješavanju problema iz stvarnoga života te za rješavanje matematičkih problema.

Korelacija s Geografijom, Kemijom i Biologijom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj.

Prepoznaje elemente postotnog računa u jednostavnoj problemskoj situaciji. Procjenjuje i računa postotni iznos osnovne vrijednosti uz opisivanje postupka .

Povezuje elemente postotnog računa . Računa postotak i osnovnu vrijednost u jednostavnoj problemskoj situaciji uz obrazlaganje postupka.

Primjenjuje postotni račun u rješavanju jednostavnih problema iz stvarnoga života utvrđujući smislenost dobivenoga rješenja. .

Samostalno i sigurno primjenjuje postotni račun u rješavanju problema iz matematike i stvarnoga života.

NAPOMENA:

Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost rješavanja problema.

Važno je postotni račun staviti u kontekst financijske pismenosti koja obuhvaća: poskupljenje, pojeftinjenje, procjenu realnosti/marketinškoga trika, bruto plaću, neto plaću, poreze. Također izuzetno je važan kontekst društvenih događanja kao praćenje izbora, referenduma, statističkih podataka kroz dnevne informacije i slično. Kritički prosuđivati relevantnost dobivenih rezultata. Ukazati na relativiziranje postotaka na različitim uzorcima.

2.

A. 7. 2

Opisuje i primjenjuje znanstveni zapis broja.

Povezuje predmetke mjernih jedinica s decimalnim zapisom i potencijom baze 10 i cjelobrojnim eksponentom.

Opisuje znanstveni zapis broja kao umnožak koeficijenta (broj između 1 i 10) i potencije baze 10, prepoznaje ga i zapisuje.

Prelazi iz znanstvenoga zapisa broja u standardni i obratno uz obrazloženje.

Primjenjuje znanstveni zapis broja u izražavanju jako malih/velikih veličina.

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom.

Povezuje predmetke mjernih jedinica s decimalnim zapisom i potencijom baze 10 i cjelobrojnim eksponentom (deci, centi, mili, mikro).

Prepoznaje i opisuje znanstveni zapis broja. Pretvara standardni zapis broja u znanstveni. Primjenjuje množenje s potencijama baze 10 i cjelobrojnih eksponenata u problemu.

Prelazi iz znanstvenoga zapisa broja u standardni uz obrazloženje. Množi s potencijama baze 10 i cjelobrojnih eksponenata u jednostavnim izrazima.

Smisleno odabire i primjenjuje znanstveni zapis broja u problemskim situacijama.

NAPOMENA:

Povezivati predmetke mjernih jedinica sa zapisom potencije baze 10 i cjelobrojnim eksponentom: deci , centi , mili ,  mikro , nano , piko , deka , hekto , kilo , mega , giga , tera . Preračunavati mjerne jedinice koristeći se potencijama baze 10 i cjelobrojnim eksponentom (1 km = 1000 m = m,   1 m = 0.001 km = km, 40 000 km = 4 km, 1 mikrometar = m = mm).

3.

A. 7. 3

Primjenjuje različite zapise racionalnih brojeva.

Koristeći se matematičkim jezikom opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa racionalnih brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, pravih razlomaka, nepravih razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila) .

Odabire prikladan zapis pri rješavanju brojevnih izraza i problemskih situacija.

Samostalno prelazi iz jednoga zapisa racionalnoga broja u drugi uz opisivanje postupka .

Odabire pogodan oblik zapisa racionalnoga broja u brojevnim izrazima.

Odabire, uz obrazloženje, pogodan oblik zapisa racionalnoga broja u složenijim brojevnim izrazima.

Odabire pogodan oblik zapisa u problemskoj situaciji koju rješava.

NAPOMENA:

Poticati učenika da mentalno računajući prelazi između različitih zapisa pozitivnih racionalnih brojeva. Odnos skupova N, Z i Q prikazivati Vennovim dijagramom.

4.

A. 7. 4

Primjenjuje uspoređivanje racionalnih brojeva.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju racionalnih brojeva.

Uspoređuje racionalne brojeve različitoga zapisa.

Odabire prikladan zapis u kontekstu.

Reda po veličini racionalne brojeve koristeći se produženom nejednakošću.

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom.

Primjenjuje uspoređivanje dva racionalna broja istovrsnoga zapisa u problemskim situacijama.

Spretno odabire prikladan zapis pri uspoređivanju dvaju racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija.

U jednostavnoj problemskoj situaciji reda po veličini više racionalnih brojeva koristeći se matematičkim jezikom.

Odabire prikladan zapis pri uspoređivanju više racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija.

NAPOMENA:

Pri uspoređivanju razlomaka ne treba pretjerivati s velikim nazivnicima. Poticati procese zaokruživanja i procjene pogreške zaokruživanja.

5.

A. 7. 5

Primjenjuje računanje s racionalnim brojevima.

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.

Prošireni sadržaj: Rješava složeni dvojni razlomak.

Računa vrijednost brojevnoga izraza proizašlog iz jednostavne problemske situacije.

Samostalno računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija.

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka pri rješavanju složenih brojevnih izraza.

Primjenjuje računanje s racionalnim brojevima pri rješavanju problemske situacije.

NAPOMENA:

Pri odabiru zadataka u skupu racionalnih brojeva veću pažnju posvetiti zadatcima s decimalnim zapisom. Poticati učenika da mentalno računajući kvadrira pogodne racionalne brojeve.

6.

B. 7. 1

Računa s algebarskim izrazima u Q.

Opisuje monom i binom. Pojednostavnjuje algebarske izraze (eksponenata u rezultatu ne većih od 3) u skupu racionalnih brojeva zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem, primjenjujući svojstva računskih operacija.

Množi monom binomom i binom binomom.

Množi i dijeli monom monomom. Zbraja i oduzima jednostavne algebarske izraze s cjelobrojnim koeficijentima . Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane prirodne vrijednosti.

Množi monom binomom. Zbraja i oduzima algebarske izraze . Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane cjelobrojne vrijednosti.

Množi binom binomom. Zbraja i oduzima algebarske izraze . Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane racionalne vrijednosti.

Sigurno i učinkovito bira strategije za rješavanje složenih algebarskih izraza.

Izlučuje zajednički faktor u dvočlanome algebarskome izrazu.

NAPOMENA:

Učenike podsjetiti na ispuštanje znakova za množenje u monomu s koeficijentom. Pri odabiru zadataka u skupu racionalnih brojeva pažnju posvetiti zadatcima s decimalnim zapisom racionalnoga broja.  

7.

B. 7. 2

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Analizira problemsku situaciju i zapisuje ju linearnom jednadžbom.

Rješava jednadžbu koja se svodi na oblik ax+b=0, gdje su a i b racionalni brojevi, primjenjujući ekvivalentnost jednadžbi.

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom prikazuje razlomkom.

Primjenjuje ekvivalentnost razlomaka za određivanje nepoznatog brojnika ili nazivnika.

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica, visina, polumjera i promjera kruga. Računa mjeru nepoznatoga kuta u trokutu i četverokutu. Računa elemente postotnoga računa. Rješava jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti. Provjerava točnost i preispituje smislenost rješenja.                 Izražava nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe oblika ax = b, gdje su a i b racionalni brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija.

Prošireni sadržaj: Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu.

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom.

Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom oblika ax+b=0 i rješava ju primjenom ekvivalencije jednadžbi.

Postupak obrazlaže.

Složeniju linearnu jednadžbu, primjenom ekvivalencije jednadžbi, svodi na oblik ax+b=0 i rješava ju uz provjeru.

Problemsku situaciju koju rješava zapisuje linearnom jednadžbom. Preispituje smislenost rješenja.

Modelira linearnom jednadžbom problemsku situaciju koju rješava u skupu Q.

NAPOMENA:

Nije potrebno zadavati   komplicirane jednadžbe, naglasak je na oblikovanju jednadžbi iz zadanoga problema i njihovu rješavanju uz provjeru smislenosti rješenja te raspravi o rješenju. Izražavati nepoznatu veličinu iz jednostavne jednadžbe, npr: ax = b, a = b/x, x = b/a, gdje su a i b racionalni brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija (priprema za biologiju, kemiju i fiziku). Rješavati jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

8.

B. 7. 3

Primjenjuje proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost.

Prepoznaje i opisuje proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine.

U situacijama iz stvarnoga života prepoznaje i objašnjava proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost.

Određuje i tumači koeficijent proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti.

Povezuje koeficijent proporcionalnosti s omjerom dviju proporcionalnih veličina.

Koristi se svojstvima proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti pri rješavanju problemskih situacija.

Preispituje smislenost rješenja s obzirom na kontekst.

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom, Biologijom i Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi).

Prepoznaje proporcionalne veličine i opisuje ih.

Primjenjuje proporcionalnost u jednostavnim problemskim situacijama iz stvarnoga života.

Primjenjuje obrnutu proporcionalnost u jednostavnim problemskim situacijama iz stvarnoga života. Tumači odnos veličina u problemu.

Primjenjuje proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost u problemskim situacijama iz stvarnoga života uz obrazlaganje postupka i analizu rezultata.

Modelira proporcionalnošću i obrnutom proporcionalnošću probleme iz matematike i stvarnoga života.

NAPOMENA:

Poticati intuitivni pristup rješavanju problema proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti. Povezivati i iskazivati koeficijent proporcionalnosti kao omjer dviju proporcionalnih veličina, a koeficijente obrnute proporcionalnosti kao umnožak obrnuto proporcionalnih veličina. Opisivati i prikazivati složene mjerne jedinice (km/h, m/s, g/cm ³ , kg/ m ³ , stanovnika/km ² ). Preračunavati valute . Također je potrebno raspravljati o smislenost rješenja problema.