Matematika – na kraju 1. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT A.1.1

Opisuje i prikazuje količine prirodnim brojevima i nulom

Povezuje količinu i broj.

Broji u skupu brojeva do 20.

Prikazuje brojeve do 20 na različite načine.

Čita i zapisuje brojeve do 20 i nulu brojkama i brojevnim riječima.

Razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve.

Objašnjava vezu između vrijednosti znamenaka i vrijednosti broja. Korelacija s Hrvatskim jezikom i stranim jezikom.

Određuje broj neposredno ispred i neposredno iza zadanoga broja, prikazuje brojeve na brojevnoj crti, razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve.

Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 20 i nula. Brojka, znamenka, brojevna riječ. Brojevna crta. Prethodnik i sljedbenik. Jednoznamenkasti i dvoznamenkasti brojevi.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Važno je da učenici na konkretima spoznaju pojam broja kako se brojanje ne bi svelo na mehaničko izgovaranje brojevnih riječi bez razumijevanja njihovih značenja. Brojeve, uz konkrete, mogu prikazivati i crtežima (u početku pripremljenim ilustracijama). Pomoću konkreta osvještava se i da svaki sljedeći broj nastaje dodavanjem broja 1 prethodnomu broju. Na brojevnoj crti spoznat će prethodnika i sljedbenika (broj neposredno ispred i neposredno iza) određenoga broja te brojeve koji se nalaze između pojedinih brojeva. Učenici brojeve prikazuju na unaprijed pripremljenim brojevnim crtama. Postupno se spoznaje brojanje unaprijed i unatrag (redom i od zadanoga broja) te brojanje zadanim korakom počevši po 2 i 5 redom (po 2: 2, 4, 6…) i od zadanoga broja, (od broja 3 broje po 2: 3, 5, 7…).

U početnome brojanju mogu se upotrebljavati i prsti. Deseticu možemo prikazati različitim skupinama od deset jedinica.
Zornim primjerima učenicima se prikazuju brojevi na različite načine (skupovima, rastavljanjem na desetice i jedinice, rastavljanjem na zbroj različitih pribrojnika) kako bi osvijestili mogućnost različitih prikaza istoga broja.
Na temelju iskustva učenika postupno se upoznaju znamenke pomoću kojih se pišu brojevi (od nula do devet), koristeći se jezikom izvorne stvarnosti, jezikom modela, jezikom slike, govornim jezikom i jezikom matematičkih znakova.

U prvome razredu ne vrednuje se primjena riječi znamenka, brojka ili brojevna riječ.

OŠ MAT A.1.2

Uspoređuje prirodne brojeve do 20 i nulu.

Određuje odnos među količinama riječima: više – manje – jednako. Određuje odnos među brojevima riječima: veći – manji – jednak. Uspoređuje brojeve matematičkim znakovima >, < i =.

Reda brojeve po veličini.

Uspoređuje brojeve znakovima uspoređivanja >, < i =.

Sadržaj: Uspoređivanje prirodnih brojeva do 20 i nule. Jednakost i nejednakost.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pojmovi više, manje, jednako izgrađuju se postupno. Započinje se uspoređivanjem skupova konkretnih predmeta, a potom se svakome skupu pridružuje broj koji prikazuje koliko članova ima pa se ti brojevi uspoređuju.

Važno je uočiti da se količine uspoređuju riječima: više – manje, dok se brojevi uspoređuju riječima: veći – manji. U početku zapisujemo odnos brojeva riječima je veći od, je manji od i jednako je, a tek na kraju učenike upoznajemo s matematičkim zapisom – znakovima nejednakosti i jednakosti.

Potrebno je paziti da se znakovi >, <  i = stavljaju između brojeva, a ne između ilustracija. Cilj je da učenici shvate odnos dvaju brojeva pa ne treba pretjerivati s uporabom tih znakova u uzastopnim nejednakostima.

OŠ MAT A.1.3

Koristi se rednim brojevima do 20.

Čita i zapisuje redne brojeve.

Uočava redoslijed i određuje ga rednim brojem.

Razlikuje glavne i redne brojeve.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Rednim brojevima prikazuje redoslijed i određuje prvoga i posljednjega u redu.

Sadržaj: Redni brojevi do 20. Glavni i redni brojevi.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Na konkretnim primjerima odrediti mjesto u redu, nizu i sl., pravilno izgovarati, zapisati i čitati redni broj te razlikovati glavne i redne brojeve. Dobro je što češće postavljati pitanja Koji po redu? i Koliko ih ima? u konkretnim primjerima kako bi učenici razumjeli razliku između rednih i glavnih brojeva te kako bi osvijestili kada ih upotrebljavati.

OŠ MAT A.1.4

OŠ MAT B.1.1

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 20.

Zbraja i oduzima brojeve do 20.

Računske operacije zapisuje matematičkim zapisom.

Imenuje članove u računskim operacijama. Primjenjuje svojstva komutativnosti i asocijativnosti te vezu zbrajanja i oduzimanja. Određuje nepoznati broj u jednakosti.

Zbraja i oduzima uz poneku pogrešku, rabi zamjenu mjesta i združivanje pribrojnika te vezu zbrajanja i oduzimanja zapisujući četiri jednakosti.

Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do 20. Zamjena mjesta pribrojnika. Združivanje pribrojnika. Veza zbrajanja i oduzimanja (četiri jednakosti). Određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Uvod u zbrajanje i oduzimanje ostvaruje se pomoću konkreta i primjera iz neposredne okoline povezujući zbrajanje s riječi više, a oduzimanje s riječi manje. Koriste se primjeri u kojima će učenici povezivati zbrajanje brojeva s izrazima više od, i, ukupno ili za toliko više, a oduzimanje s riječima manje od, za toliko manje. Prije prelaska na matematički zapis učenici povezuju račun i rješenje s izrazima je, jednako, jednako je ili je jednako.

Kada je ovaj proces potpuno jasan, prelazi se na matematički zapis u kojemu se koriste znakovi + (više ili plus), – (manje ili minus) i = (je, jednako, jednako je, je jednako). Osobito je važno osvještavati znak = koji prikazuje jednakost lijeve i desne strane. Iako obično čitamo s lijeva na desno, u jednakosti 4 + 2 = 6 može se reći i zapisati da je 6 jednako 4 + 2.

Nakon skupovnoga pristupa zbraja se i oduzima i pristupom brojanja koji pokazujemo na brojevnoj crti.

Važno je poticati automatizaciju zbrajanja i oduzimanja do 20 jer to je kasnije osnova za mentalno i pisano računanje s većim brojevima. Učenici trebaju upoznati nazive za članove računskih operacija. U početnoj nastavi matematike učenici se upoznaju s oba naziva, i računska radnja i računska operacija, no s vremenom se teži ujednačenoj uporabi izraza računska operacija. Svojstvo komutativnosti učenici uočavaju na konkretnim primjerima, kao i zbrajanje triju pribrojnika, s tim da se sada ne koriste zagrade, nego se redoslijedom zbrajanja ističe svojstvo asocijativnosti (različitim združivanjima pribrojnika zbroj ostaje isti). Npr. u računu 5 + 1 + 5 lakše je združiti 5 + 5 i tome pribrojiti 1.

Primjer četiri jednakosti: 3 + 7 = 10, 7 + 3 = 10, 10 – 3 = 7, 10 - 7 = 3.  

!!! Učenici se ne koriste nazivima komutativnost i asocijativnost.

Dodatni kod ishoda (B.1.1) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja).

OŠ MAT A.1.5

Matematički rasuđuje te matematičkim jezikom prikazuje i rješava različite tipove zadataka.

Postavlja matematički problem (određuje što je poznato i nepoznato, predviđa/istražuje i odabire strategije, donosi zaključke i određuje moguća rješenja).

Koristi se stečenim spoznajama u rješavanju različitih tipova zadataka (računski zadatci, u tekstualnim zadatcima i problemskim situacijama iz svakodnevnoga života). Odabire matematički zapis uspoređivanja brojeva ili računsku operaciju u tekstualnim zadatcima. Smišlja zadatke u kojima se pojavljuju odnosi među brojevima ili potreba za zbrajanjem ili oduzimanjem.

Prošireni sadržaji: složenije problemske situacije i mozgalice.

Matematičkim jezikom na različite načine prikazuje i rješava jednostavne brojevne izraze pomoću kojih donosi zaključke u različitim okolnostima.

Sadržaj: Problemske situacije. Računski i tekstualni zadaci.

Prošireni sadržaj: Složenije problemske situacije. Mozgalice.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovaj ishod objedinjava učenikove spoznaje o brojevima pa ih uspoređuje i računa s njima. Postupnim usvajanjem matematičkih znanja i vještina, učenici razvijaju i matematičke procese koji će se ovim ishodom još više produbiti i ostvariti. Time će se na primjeren način pripremiti učenike za rješavanje problemskih situacija u svakodnevnome životu, kao i unaprijediti njegove matematičke kompetencije za daljnje obrazovanje. Učenike se postupno uvodi u postupak rješavanja tekstualnih zadataka i problemskih situacija. Zadatak je važno pročitati s razumijevanjam, promisliti o tome što je poznato, a što se traži, promisliti kako doći do traženoga podatka i na kraju odgovoriti na postavljeno pitanje. Od samoga početka potrebno je učenike poticati da problemsku situaciju prikažu (modeliraju) slobodnim crtežima, skicama ili konkretima jer to pridonosi uspješnosti rješavanja zadataka te stvara naviku skiciranja zadatka koja će im dobro doći u složenijim problemima. Primjeri:

Zadovoljavajuća razina: od konkreta koji čine 3 i 4 jabuke zapisati matematičkim izrazom zbrajanje i izmisliti tekstualni zadatak (ili obratno: iz tekstualnog zadatka prikazati crtežom ili konkretima i zapisati račun,…);

14 – __ = 10 , 3 __ 4= 7, 13 > ___ > 11;

Koja su mjesta u natjecanju osvojili učenici između 3. i 10. mjesta?;

Koliko škola ima učionica, ako su u prizemlju 4 učionice, a na katu 6 učionica?... Dobra razina: združivanje pribrojnika (2 + 6 + 8 = 2 + 8 + 6 = … ili 9 + 3 + 7 = 9 + 1 + 2 + 7 = 7 + 3 + 9 =…);

Je li Matku dovoljno 10 bombona da ih podijeli na svoja 3 prijatelja i 4 prijateljice? Bi li mu bilo dovoljno bombona za dvije košarkaške momčadi po 5 igrača?

Za što Matku ne bi ne bi bilo dovoljno 10 bombona?...

Vrlo dobra razina: Iva je kupila bilježnicu koja košta 6 kuna i olovku koja košta 2 kune manje. Koliko je potrošila?;

Je li Matku dovoljno 20 bombona da ih podijeli na svojih 11 prijatelja i 9 prijateljica? Ima li tada bombon i za sebe?...

Iznimna razina: Iva u knjižari kupuje školski pribor. Bilježnica stoji 6 kuna, olovka 4 kune, gumica 9 kuna i šiljilo 12 kuna. Iva ima 19 kuna. Što bi Iva mogla kupiti?

ili: Maja i Tin imaju zajedno 7 bombona. Maja ima 3 bombona više od Tina. Koliko bombona ima Tin?

OŠ MAT B.1.2

Prepoznaje uzorak i nastavlja niz.

Uočava uzorak nizanja.

Objašnjava pravilnost nizanja. Objašnjava kriterije nizanja.

Niže po zadanome kriteriju. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Likovnom kulturom, Glazbenom kulturom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom

Nastavlja nizati jednostavne nizove

Sadržaj: Nizovi. Brojevni nizovi.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici mogu uočavati pravilnosti nizanja u svakodnevnome okruženju (izmjena dana i noći, dani u tjednu, prozori na školskoj zgradi, refren pjesme i slično). Zadatci u kojima se od učenika traži da nastave niz potiču logičko mišljenje, ali u njihovu osmišljavanju se pazi da je dano dovoljno objekata u nizu kako bi se tražena pravilnost zaista mogla jedinstveno utvrditi. Dobro je tražiti od učenika da svojim riječima objasne po kojemu se pravilu objekti u nizu nižu. Budući da je ovaj ishod usko povezan s brojanjem, možemo od učenika tražiti i da broje po 2 počevši od broja 5. Tu je zadan samo kriterij nizanja, a oni sami moraju odrediti brojeve u nizu. Primjer zadatka u kojemu je nizanje prema kriteriju jest i zadatak u kojemu se, na primjer traži da se žuti trokut i krug te plavi pravokutnik i kvadrat slože u niz: a) prema boji ili slože u niz: b) prema obliku…

OŠ MAT C.1.1

Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove i povezuje ih s oblicima objekata u okruženju.

Imenuje i opisuje kuglu, valjak, kocku, kvadar, piramidu i stožac. Imenuje ravne i zakrivljene plohe. Ravne plohe geometrijskih tijela imenuje kao geometrijske likove: kvadrat, pravokutnik, trokut i krug. Imenuje i opisuje kvadrat, pravokutnik, krug i trokut.

Korelacija s međupredmetnom temom Zdravlje.

Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove predstavljene didaktičkim modelima i ilustracijama.

Sadržaj: Geometrijska tijela (kugla, valjak, kocka, kvadar, piramida, stožac) i likovi (trokut, kvadrat, pravokutnik, krug). Ravne i zakrivljene plohe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenje geometrije počinje upoznavanjem geometrijskih tijela jer su učenicima trodimenzionalni prostor i oblici u njemu bliski. Važno je napomenuti da upoznavanje geometrijskih tijela započinje na konkretnim modelima, a ne na crtežima, slikama, ilustracijama. Učenici tijela uzimaju u ruke, okreću ih, razgledavaju i imenuju. Iz skupa modela izdvajaju kugle ili kocke. Povezuju predmete iz okoline s geometrijskim tijelima, odnosno izdvajaju oblik predmeta (ormar, krov, lopta i slično). Tek kada su tijela zorno upoznata, prelazi se na njihove ilustracije. Pri prikazivanju tijela važno je paziti da ona budu prikazana u različitim položajima (ne uvijek usporedno s rubom papira). Geometrijske likove učenici upoznaju kao ravne plohe geometrijskih tijela. Tako se stvara jasna poveznica među geometrijskim objektima. Važno je naglasiti da u početku likove treba bojiti ili izrađivati i rezati iz kolaž-papira kako bi učenik doživio cijeli lik, a ne samo njegove stranice. Učenicima bi se trebalo osmisliti što više aktivnosti slaganja i razlaganja modela geometrijskih oblika te slaganja različitih slagalica geometrijskim oblicima, poput tangrama. Pri tome bi slagalice najprije slagali prema zadanome predlošku, a potom bi smislene likove kreirali sami prema zadanim kriterijima.

Primjer: Složi lik mačke. Pri slaganju koristi 1 krug, 2 trokuta, 2 pravokutnika i 4 kvadrata. Ovakvim aktivnostima, učenici samostalno uočavaju odnose veličina i oblika dijelova spomenutih slagalica te im se na taj način postupno može prikazati i objasniti pojam cjeline (cijeloga) i polovine. Ovakvim primjerima ostvaruje se poveznice s ishodima B.1.2. i E.1.1. te se postižu dobri temelji za učenje nastavnih sadržaja viših razina (množenje, dijeljenje, statistički prikazi i slično). Učenici skiciraju/crtaju likove i predmete oblika geometrijskih tijela.

OŠ MAT C.1.2.

Crta i razlikuje ravne i zakrivljene crte.

Razlikuje i crta ravne i zakrivljene crte.

Koristi se ravnalom.

Prošireni sadržaji: otvorene, zatvorene i izlomljene crte. Korelacija s Likovnom kulturom.

Koristi se ravnalom pri crtanju ravnih crta.

Sadržaj: Ravne i zakrivljene crte.

Prošireni sadržaj: Otvorene, zatvorene i izlomljene crte.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Nakon što su učenici naučili prepoznati ravnu i zakrivljenu crtu, mogu ih povezati s bridovima geometrijskih tijela, odnosno stranicama geometrijskih likova. Pri služenju ravnalom treba imati strpljenja jer riječ je o početnoj motoričkoj vještini koja traži dosta uvježbavanja

OŠ MAT C.1.3

Prepoznaje i ističe točke.

Prepoznaje istaknute točke i označava ih velikim tiskanim slovima.

Određuje vrhove geometrijskih tijela i likova kao točke.

Crta (ističe) točke.

Korelacija s Likovnom kulturom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Određuje točke na ilustracijama geometrijskih tijela i likova.

Sadržaj: Točka. Točka kao sjecište crta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Prepoznati točku kao vrh na geometrijskim tijelima i likovima, odrediti točku kao sjecište crta, uočiti da se točka može istaknuti bilo na kojemu mjestu u prostoru te da točaka prema tome ima jako puno. Točku istaknuti točkom ili križićem u 1. ciklusu (1. i 2. razred), a u 2. ciklusu (3. razred)  inzistirati na njenom isticanju samo točkom.

OŠ MAT D.1.1

Analizira i uspoređuje objekte iz okoline prema mjerivom svojstvu.

Prepoznaje odnose među predmetima: dulji – kraći – jednako dug, veći – manji – jednak.

Određuje najdulji, najkraći, najveći, najmanji objekt.

Uspoređuje, razvrstava i niže objekte prema mjerivome svojstvu.

Sadržaj: Odnosi među predmetima (dulji- kraći- jednako dug, veći-manji-jednak)

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Odnosi među predmetima primjenjuju se na objekte iz svakodnevnoga života, ali i na naučena tijela i likove. Dajemo primjere duljega i kraćega konopca, veće i manje lopte... Važno je naglasiti da se predmeti uspoređuju prema istome svojstvu (viši predmet može biti manji, a niži predmet može biti veći, npr. neboder je viši, a zgrada često veća). Uz dobro odabrane primjere učenici osvještavaju razlike među tim pojmovima.

OŠ MAT D.1.2

Služi se hrvatskim novcem u jediničnoj vrijednosti kune u skupu brojeva do 20.

Prepoznaje hrvatske kovanice i novčanice vrijednosti: 1 kuna, 2 kune, 5 kuna, 10 kuna i 20 kuna. Služi se kunama i znakom jedinične vrijednosti kuna.

Uspoređuje vrijednosti kovanica i novčanica te računa s novcem u skupu brojeva do 20.

Objašnjava svrhu i korist štednje. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i Građanski odgoj i obrazovanje.

Uspoređuje vrijednosti hrvatskih kovanica i novčanica od 1 kn, 2 kn, 5 kn, 10 kn i 20 kn.

Sadržaj: Hrvatske kovanice i novčanice u jediničnoj vrijednosti kune u skupu brojeva do 20. Uspoređivanje vrijednosti kovanica i novčanica. Računanje s novcem u skupu brojeva do 20.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenik se i prije polaska u školu susreće s novcem. U svrhu financijske pismenosti i potrebe uporabe novca u stvarnome životu, učenik u prvome razredu upoznaje osnovnu jediničnu vrijednost hrvatskoga novca, kunu, s kojom može i računati u skupu brojeva do 20. Poželjno je što više koristiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njime. Učenike je dobro potaknuti na štednju i uviđanje njezine koristi, kao i razumno upravljanje novcem u problemskim situacijama neophodnima za život (može se spomenuti i negativni utjecaj reklama u kontroliranom raspolaganju novcem).

OŠ MAT E.1.1

Služi se podatcima i prikazuje ih piktogramima i jednostavnim tablicama.

Određuje skup prema nekome svojstvu.

Prebrojava članove skupa. Uspoređuje skupove.

Prikazuje iste matematičke pojmove na različite načine (crtež, skup, piktogram i jednostavna tablica). Čita i tumači podatke prikazane piktogramima i jednostavnim tablicama.

Prošireni sadržaji: prikazivanje podataka različitih nastavnih predmeta.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo.

Čita i prikazuje podatke piktogramima.

Sadržaj: Čitanje, tumačenje i prikazivanje podataka. Piktogrami i jednostavne tablice.

Prošireni sadržaj: Prikazivanje podataka različitih nastavnih predmeta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U matematici, ali i u stvarnome životu, podatci se često prikazuju dijagramima ili tablicama. Te reprezentativne forme učenici susreću u različitim predmetima i različitim situacijama pa je dobro naučiti se služiti njima. U prvome razredu koristimo se samo jednostavnim primjerima, a podatci u njima moraju biti iz neposredne učenikove okoline (npr. količina/broj učitelja, dječaka i djevojčica u nekome razredu, količina/broj učenika koji imaju određenu boju očiju, količina/broj učenika koji se bave nekim hobijem...) U početku učenici te podatke slikovno (količinski) uspoređuju na crtežima, u skupovima ili piktogramima, a kasnije i brojčano u tablicama s ciljem donošenja jednostavnih i učenicima bliskih zaključaka.

Primjer piktograma: Prikazano je voće koje učenici iz jednoga razreda najviše vole. Koliko učenika najviše voli banane? Koliko naranče? Koje voće djeca najradije jedu?

U tabličnim prikazima važno je ispravno se koristiti izrazima redak i stupac.

Matematika – na kraju 2. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT A.2.1

Služi se prirodnim brojevima do 100 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda.

Broji, čita i zapisuje brojkom i brojevnom riječi te uspoređuje prirodne brojeve do 100.

Prikazuje brojeve na različite načine.

Uočava odnose među dekadskim jedinicama (jedinice, desetice, stotice).

Objašnjava odnos broja i vrijednosti pojedine znamenke.

Razlikuje glavne i redne brojeve do 100.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Prikazuje dvoznamenkaste brojeve u tablici mjesnih vrijednosti ili na brojevnoj crti te prikazuje odnose dekadskih jedinica, uspoređuje i upotrebljava brojeve u opisivanju količine.

Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 100. Dekadske jedinice i mjesna vrijednost. Uspoređivanje brojeva do 100. Redni brojevi do 100.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Postupci brojanja, pravilnoga čitanja, pisanja brojkom i brojevnom riječi, uspoređivanje i prikazivanje brojeva usvaja se na konkretnim materijalima kako bi se pravilno oblikovao koncept broja. Pri uspoređivanju brojeva učenicima se prikazuje odnose i na brojevnoj crti. Povezuje se brojevna riječ, zapis broja i njegovo rastavljanje na desetice i jedinice. Potrebno je razlikovati sto i stotinu od stotice te zorno i jasno prikazati odnos stotice i 10 desetica, odnosno 100 jedinica. Učenici bi trebali razlikovati i pravilno zapisivati glavne i redne brojeve do 100.

OŠ MAT A.2.2

Koristi se rimskim brojkama do 12.

Nabraja osnovne i pomoćne rimske znamenke.

Objašnjava pravila pisanja rimskih brojki.

Rimskim znamenkama zapisuje i čita brojeve do 12.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Čita i zapisuje brojeve do 12 rimskim znamenkama.

Sadržaj: Rimske brojke do 12. Brojka, znamenka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  U neposrednome okruženju uočavaju se rimske brojke (sat, kalendar). Učenike se može upoznati s povijesnim razvojem arapskih i rimskih znamenaka.

OŠ MAT A.2.3

Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 100.

Mentalno zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti te vezu između računskih operacija.

Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja.

Zbraja i oduzima više brojeva. Rješava tekstualne zadatke.

Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100 detaljno zapisujući postupak te uz manju nesigurnost pri prijelazu desetice.

Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje desetica. Zbrajanje dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Oduzimanje jednoznamenkastih brojeva od dvoznamenkastih. Zbrajanje i oduzimanje dvoznamenkastih brojeva do 100. Zbrajanje i oduzimanje više brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 100 temelji se na automatizaciji zbrajanja i oduzimanja u skupu brojeva do 20 kao i na spoznaji veze zbrajanja i oduzimanja. Postupak zbrajanja i oduzimanja provodi se postupno, prvo s primjerima bez prijelaza desetice, a tek zatim s primjerima s prijelazom desetice. Uvažavajući i učenikov individualni način računanja te procjenom učenikove spremnosti, može se prijeći s detaljnoga zapisivanja svih koraka u postupku na kraći zapis. Poželjno je da učenici ovladaju mentalnim postupkom zbrajanja i oduzimanja brojeva do 100 i izrazima uvećaj za i umanji za te da mogu odrediti broj koji je za toliko veći ili za toliko manji od nekoga broja. Procjena rezultata razvija logičko mišljenje i preduvjet je primjeni zbrajanja i oduzimanja u stvarnim situacijama (npr. tijekom kupovine). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na najvišoj razini. Učenicima s poteškoćama u računaju može se pomoći tablicom brojeva do 100 pri čemu učenik zorno može odrediti brojeve za deset veće ili manje od zadanoga broja, kao i prethodnika i sljedbenika (učenika s teškoćom potrebno je poticati da postupno ostavi tablicu s brojevima, tj. da ju koristi samo kada i koliko je potrebno).

OŠ MAT A.2.4

Množi i dijeli u okviru tablice množenja.

Množi uzastopnim zbrajanjem istih brojeva.

Dijeli uzastopnim oduzimanjem istih brojeva.

Množi i dijeli u okviru tablice množenja.

Određuje višekratnike zadanoga broja.

Određuje polovinu, trećinu, četvrtinu itd. zadanoga broja.

Određuje parne i neparne brojeve. Primjenjuje svojstvo komutativnosti množenja.

Primjenjuje vezu množenja i dijeljenja.

Izvodi četiri jednakosti. Imenuje članove računskih operacija. Poznaje ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju.

Množi i dijeli brojem 10.

U zadatcima s nepoznatim članom određuje nepoznati broj primjenjujući vezu množenja i dijeljenja.

Rješava tekstualne zadatke.

Nesigurno množi i dijeli nekim brojevima u okviru tablice množenja, primjenjuje svojstvo komutativnost i vezu množenja i dijeljenja te izvodi četiri jednakosti.

Sadržaj: Množenje brojeva. Zamjena mjesta faktora. Dijeljenje brojeva. Množenje brojevima 1 i 0. Brojevi 1 i 0 u dijeljenju. Množenje i dijeljenje brojem 10. Tablica množenja. Parni i neparni brojevi. Veza množenja i dijeljenja (četiri jednakosti).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Potrebno je postupno i zorno na različite načine usvajati množenje kao uzastopno zbrajanje istih pribrojnika te dijeljenje kao uzastopno oduzimanje istih brojeva od zadanoga broja.

Učenike je potrebno poučiti i računanju partitivnim dijeljenjem (28 : 4 = (20 + 8) : 4 = 20 : 4 + 8 : 4=…) kako bi postupak dijeljenja lakše usvajali te istovremeno i prihvaćali matematičke zakonitosti. Svojstvo komutativnosti te veza množenja i dijeljenja u računanju koriste se kao pomoć. Učenici se poučavaju kako odrediti broj koji je nekoliko puta veći od i nekoliko puta manji od zadanoga broja, određuju višekratnike (trokratnik, četverokratnik,…) brojeva u okviru tablice množenja te se snalaze u samoj tablici. Dovoljno vremena se treba posvetiti razlikovanju izraza uvećaj za (zbrajanje) i uvećaj nekoliko puta (množenje) te umanji za (oduzimanje) i umanji nekoliko puta (dijeljenje). Učenici će usvojiti pravilo o množenju i dijeljenju brojem 10, odrediti parne i neparne brojeve, određivati polovinu, trećinu, četvrtinu itd. nekoga broja te posebno obratiti pozornost na ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju. Polovinu, trećinu, četvrtinu… učenici prepoznaju i grafički prikazuju tortnim prikazom (korelacija s E. 2. 1.). Upoznat će se s nazivima članova računskih operacija (u množenju učenici upoznaju hrvatsko nazivlje: čimbenici i umnožak te internacionalno nazivlje: faktori i produkt, pri čemu kasnije treba poticati uporabu riječi faktori zbog potrebe u višim razredima; u dijeljenju to su: djeljenik, djelitelj i količnik). U 2. razredu očekujemo da učenici razumiju koncept množenja i dijeljenja, da postupno izgrade tablicu množenja te da odrede u kojim se situacijama množenje i dijeljenje primjenjuje.. Treba težiti automatizaciji tablice množenja. Na temelju predznanja o vezi zbrajanja i oduzimanja treba uočiti vezu množenja i dijeljenja i rješavati četiri jednakosti.

Primjer: 3 · 7 = 21, 7 · 3 = 21, 21 : 3 = 7, 21 : 7 = 3

OŠ MAT A.2.5

Primjenjuje pravila u računanju brojevnih izraza sa zagradama.

Rješava zadatke sa zagradama. Primjenjuje pravila u rješavanju tekstualnih zadataka.

Računa sa zagradama s više od dvije računske operacije.

Sadržaj: Zadaci sa zagradama.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Zorno združivati pribrojnike na različite načine te napisati brojevni izraz koristeći se zagradama. Objasniti postupak rješavanja zadataka sa zagradama i bez njih.

OŠ MAT A.2.6

Primjenjuje četiri računske operacije te odnose među brojevima.

Primjenjuje stečene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju različitih tipova zadataka u svakodnevnim situacijama.

Postavlja i analizira jednostavniji problem, planira njegovo rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka, rješava ga i provjerava rezultat.

Sadržaj: Izvođenje više računskih operacija. Rješavanje problemskih situacija u različitim tipovima zadataka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenike će se poučiti skraćenomu zapisu poznatih, nepoznatih i traženih podataka u tekstualnim zadatcima (moguće je i skicirati zadatak i postupke pri rješavanju, primjerice piktogramima, jednostavnim dijagramima te se služiti tim prikazima u njihovu rješavanju). Učenici se trebaju osamostaljivati u postavljanju i rješavanju brojevnih izraza s više računskih operacija.

Važno je i znati kada koju matematičku spoznaju možemo upotrijebiti kako bismo došli do rješenja. To je posebno važno u primjeni matematičkoga rasuđivanja izvan školskih okvira. Kako bi se ta primjena osvijestila, važno je zadavati raznolike zadatke, pa i problemske zadatke u kojima učenici moraju osmisliti kojom strategijom ili računskom operacijom mogu problem riješiti. Na primjer, pri uvježbavanju oduzimanja dobro je osmisliti i zadatke u kojima treba primijeniti i neku drugu poznatu računsku operaciju. Na taj će način učenici osvijestiti važnost čitanja u svrhu razumijevanja i uspješnoga rješavanja zadatka.

OŠ MAT B.2.1

Prepoznaje uzorak i kreira niz objašnjavajući pravilnost nizanja.

Uočava pravilnosti nizanja brojeva, objekata, aktivnosti i pojava. Određuje višekratnike kao brojevni niz.

Kreira nizove.

Objašnjava kriterije nizanja. Korelacija s Likovnom kulturom i Prirodom i društvom.

Jednostavnim riječima opisuje kriterije nizanja i nastavlja niz.

Sadržaj: Nizovi. Brojevni nizovi.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici mogu uočiti brojne pojave iz okružja u kojima uočavaju pravilnosti nizanja (dan – noć, godišnja doba, mjeseci u godini, prozori na školskoj zgradi i slično). Posebno su zanimljivi nizovi brojeva (niz prirodnih brojeva, višekratnici). Potrebno je poticati učenike da te uočene pravilnosti nizanja opisuju primjerenim jezikom.

OŠ MAT B.2.2

Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti i dobiveno rješenje provjerava.

Primjenjuje svojstva računskih operacija.

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Prošireni sadržaji: slovo kao oznaka za broj.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana u računskome izrazu uz manju nesigurnost.

Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznatog člana jednakosti.

Prošireni sadržaj: Slovo kao oznaka za broj.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Poželjno je nepoznati član zapisati djeci bliskim znakom (ne nužno i ne odmah slovom, to neka bude mogućnost s učenicima iznimno visokih sposobnosti). U zadatcima s nepoznatim članom učenici mogu do rješenja doći i odbrojavanjem (pri zbrajanju i oduzimanju) ili prisjećanjem (pri množenju i dijeljenju). Učenike potičemo na pronalaženje i provjeru rješenja suprotnom računskom operacijom. Primjer 1. 25 + □ = 50 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja □ = 50 – 25, 25 + 25 = 50

Primjer 2. □ + 35 = 100 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja □ = 100 – 35, 35 + 65 = 100

Primjer 3. ♥ + 35 = 45, ♥ = 45 – 35, ♥ = 10

Primjer 4. ♪ + ♫ = 30, ♪ + ♪ = 20, ♫ = 20

Primjer 5. Ivan ima 30 godina. Njegov tata ima 65 godina. Koliko je Ivanov tata stariji od njega? Ili: Koliko je godina imao Ivanov tata kada se Ivan rodio?

40 + ? = 65 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja 65 – 40 = ?

OŠ MAT C.2.1

Opisuje i crta dužine.

Spaja točke crtama.

Opisuje dužinu kao najkraću spojnicu dviju točaka.

Određuje krajnje točke dužine.

Crta dužinu i primjenjuje oznaku za dužinu.

Određuje pripadnost točaka dužini. Određuje bridove geometrijskih tijela i stranice geometrijskih likova kao dužine.

Opisuje dužinu i određuje krajnje točke dužine kao pripadne točke dužini.

Sadržaj: Dužina kao najkraća spojnica dviju točaka. Krajnje točke. Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta. Bridovi geometrijskih tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Usvojiti pojam dužine kao najkraće spojnice dviju točaka, prepoznati je kao stranice geometrijskih likova, odnosno bridove geometrijskih tijela. Potrebno je poticati pravilno i uredno crtanje te imenovanje točke i dužine u različitim međusobnim odnosima te pravilan matematički zapis.

OŠ MAT C.2.2

Povezuje poznate geometrijske objekte.

Opisuje plohe (strane) kocke, kvadra i piramide kao likove, bridove kao dužine, a vrhove kao točke.

Opisuje stranice i vrhove trokuta, pravokutnika i kvadrata kao dužine odnosno točke.

Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti.

Povezuje geometrijska tijela i likove te dužine i točke.

Sadržaj: Povezivanje geometrijskih objekata (geometrijska tijela, geometrijski likovi, dužine i točke).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenicima bi se trebalo osmisliti što više aktivnosti slaganja i razlaganja modela geometrijskih oblika te slaganja različitih slagalica geometrijskim oblicima, poput tangrama. Pri tome bi slagalice najprije slagali prema zadanome predlošku, a potom bi smislene likove kreirali sami prema zadanim kriterijima.

Primjer: Složi lik dinosaura. Pri slaganju koristi 3 kruga, 5 trokuta, 3 pravokutnika i 4 kvadrata. Ovakvim aktivnostima učenici samostalno uočavaju odnose veličina i oblika dijelova spomenutih slagalica te im se na taj način postupno može prikazati i objasniti uz već poznat pojam cjeline (cijeloga), i polovine, i pojam četvrtine i osmine. Ovakvim primjerima ostvaruje se poveznica s ishodima A 2.4, B 2.1, D 2.3 i E 2.1.

OŠ MAT D.2.1

Služi se jedinicama za novac.

Prepoznaje hrvatske novčanice i kovanice.

Poznaje odnos veće i manje novčane jedinice.

Služi se jedinicama za novac i znakovima njegovih jediničnih vrijednosti.

Računa s jedinicama za novac (u skupu brojeva do 100).

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i Građanski odgoj i obrazovanje.

Uspoređuje određeni iznos novca prikazujući ga različitim jedinicama i modelima novca.

Sadržaj: Jedinice za novac. Hrvatske novčanice i kovanice. Uspoređivanje jedinica za novac. Računanje s jedinicama za novac (u skupu brojeva do 100).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici će upotpuniti poznavanje hrvatskih novčanica i kovanica na osnovi stečenih spoznaja u prvome razredu te primijeniti računanje (u skupu brojeva do 100) s vrijednostima novca u neposrednoj životnoj stvarnosti. U razredu je dobro služiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njima.

OŠ MAT D.2.2

Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine.

Mjeri nestandardnim mjernim jedinicama (na primjer korakom, laktom, pedljem, palcem).

Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos (metar i centimetar).

Imenuje i crta dužinu zadane duljine.

Mjeri dužinu pripadajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom.

Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice. Duljinu dužine zapisuje matematičkim simbolima. Procjenjuje duljinu dužine i najkraće udaljenosti objekata u metrima. Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 100). Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Mjeri dužine i crta dužine zadane duljine.

Sadržaj: Procjena i mjerenje duljine dužine. Računanje s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 100).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine kao njezina mjerivoga svojstva (mjerimo dužinu kako bismo saznali njezinu duljinu). Svako mjerenje počinjemo uspoređivanjem predmeta po duljini riječima dulji – kraći – jednako dug. Nakon toga slijede neformalni načini mjerenja – mjeri se korakom, laktom i slično. Upoznaju se standardne mjerne jedinice i njihove oznake. Kako bi se osvijestila veličina standardnih jedinica učenike se potiče da rukama pokazuju jediničnu dužinu od jednoga metra i centimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer udaljenost od ramena do vrha prstiju suprotne ruke s metrom, širinu prsta s centimetrom i slično). Duljina dužine se zapisuje matematičkim simbolima (mjernim brojem i jediničnom dužinom). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini.

OŠ MAT D.2.3

Procjenjuje i mjeri vremenski interval.

Prati prolaznost vremena na satu ili štoperici.

Navodi standardne mjerne jedinice za vrijeme (sat, minuta, sekunda, dan, tjedan, mjesec, godina), procjenjuje i mjeri prolaznost vremena odgovarajućim mjernim instrumentom i zapisuje duljinu vremenskoga intervala.

Navodi odnose mjernih jedinica za vrijeme.

Računa s jedinicama za vrijeme u skupu brojeva do 100.

Korelacija s Prirodom i društvom

Mjeri vremenski interval potreban za obavljanje neke aktivnosti te se služi satom i kalendarom.

Sadržaj: Procjena i mjerenje duljine vremenskog intervala. Računanje s jedinicama za vrijeme (u skupu brojeva do 100).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učitelj treba zorno osvijestiti prolaznost vremena kao i vrijeme od 1 sekunde, 1 minute, 5 minuta, 1 sata, 1 dana, tjedan dana, mjesec dana u aktivnostima za koje je potrebno toliko vremena da se ostvare. U poučavanju, ali i radu potrebno je koristiti se instrumentima za mjerenje vremena i upoznati mjerne jedinice te ih pravilno mjeriti i računati s njima u skupu brojeva do 100. Učenicima se može dati informacija da godina ima 365/366 dana, no taj se podatak ne vrednuje. Gledanje na sat ili kalendar određivanje je trenutačnoga vremena, a nije mjerenje vremena. Mjerenje je vremena određivanje duljine nekoga intervala (od – do nekoga trenutka). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini.

OŠ MAT E.2.1

Koristi se podatcima iz neposredne okoline.

Promatra pojave i bilježi podatke o njima.

Razvrstava prikupljene podatke i prikazuje ih jednostavnim tablicama ili piktogramima.

Tumači podatke iz jednostavnih tablica i piktograma.

Provodi jednostavna istraživanja te analizira i prikazuje podatke. Korelacija s Prirodom i društvom te međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo.

Prikupljene podatke prikazuje jednostavnim tablicama i piktogramima.

Sadržaj: Prikazivanje i tumačenje podataka piktogramima i jednostavnim tablicama.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici će unutar razrednih istraživanja o neposrednoj okolini (npr. broj električnih i plinskih kućanskih uređaja, zanimanja roditelja, dostignuća na satu tjelesne i zdravstvene kulture, broj sunčanih/kišnih dana u nekome mjesecu…) bilježiti i razvrstavati podatke te ih prikazivati neformalnim načinima (skupovi, crteži), jednostavnim tablicama ili piktogramima. Kako bi se učenici osamostalili i osjećali sigurnost i zadovoljstvo u onome što rade, prvo trebaju zajednički, a potom u skupinama i tek na kraju samostalno tumačiti podatke iz jednostavnih tablica i piktograma. Ovaj se ishod ostvaruje u različitim predmetima u kojima pratimo neke pojave i prikupljamo podatke. Te podatke prikazujemo u matematičkim oblicima reprezentacije – tablicama i piktogramima. Učenici ne crtaju tablice, nego dobivaju gotove tablice u kojima prikazuju podatke.

OŠ MAT E.2.2

Određuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.

U različitim situacijama predviđa moguće i nemoguće događaje. Objašnjava zašto je neki događaj (ne)moguć.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj, Građanski odgoj i obrazovanje.

U složenijim situacijama razlikuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.

Sadržaj: Vjerojatnost (određivanje je li događaj moguć ili nemoguć).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovaj je ishod priprema učenika za primjenu riječi vjerojatnost kako bi osvijestili da neki događaj ili pojava mogu završiti različitim ishodima te kako bi se osposobili za pravilnu upotrebu riječi moguće ili nemoguće. Učitelj će s učenicima promatrati razne događaje i predviđati moguće i nemoguće događaje. Primjeri: 1. Motivacija: igra bacanja kockice. Svaki učenik baci kockicu za igru Čovječe, ne ljuti se. Ako dobije paran broj, mora navesti neki mogući događaj, a ako dobije neparan broj, navodi nemogući događaj. 2. Prije poučavanja Prometa na satu Prirode i društva učenike se može pitati koja je prometna sredstva moguće/nemoguće vidjeti u okolici škole te zašto je to moguće/nemoguće vidjeti. Učenike odvesti u obilazak prometnica u školskome okružju, na kojemu će potvrditi/opovrgnuti svoje pretpostavke i možda otkriti još neka nova saznanja. 3. U neprozirnoj su vrećici kugle jednake veličine, ali različitih boja: crvena, žuta i plava. Koje je boje moguće izvući? Koje boje nije moguće izvući? Ovaj je ishod priprema učenika za primjenu riječi vjerojatnost kako bi osvijestili da neki događaj ili pojava mogu završiti različitim ishodima te kako bi se osposobili za pravilnu upotrebu riječi moguće ili nemoguće.

Matematika – na kraju 3. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT A.3.1

Služi se prirodnim brojevima do

10000 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda.

Broji, čita, zapisuje (brojkom i brojevnom riječju) i uspoređuje brojeve do 10000.

Prikazuje i upotrebljava troznamenkaste i četveroznamenkaste brojeve. Koristi se tablicom mjesnih vrijednosti.

Služi se dekadskim sustavom brojeva.

Rastavlja broj na zbroj višekratnika dekadskih jedinica.

Određuje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Broji po redu od zadanoga broja te brojeve do 10000 uspoređuje i prikazuje u tablici mjesnih vrijednosti.

Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 10000. Tablica mjesnih vrijednosti. Uspoređivanje brojeva do 10000. Rastavljanje broja na zbroj višekratnika dekadskih jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Kako brojanje ne bi bilo samo formalističko izgovaranje brojevnih riječi, treba upućivati na ulogu brojenja (brojenjem doznajemo količinu, broj pridružen skupu odgovara ukupnomu broju elemenata). Postupak uspoređivanja brojeva do 10000 skratiti određivanjem vrijednosti tisućica (potom stotica, desetica, odnosno jedinica). Pri uspoređivanju brojeva potrebno je ići induktivnim putem tako da različitim primjerima navodimo učenike da sami uoče pravila za uspoređivanje višeznamenkastih brojeva. Zbog korelacije s drugim predmetima, skup brojeva je proširen na 10000 pri čemu je prvo potrebno dobro usvojiti brojeve do 1000. Tek potom se za potrebe koreliranja s drugim predmetima skup brojeva proširuje do

10000 (npr. planirati u 2. polugodištu).

OŠ MAT A.3.2

Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 1000.

Određuje mjesnu vrijednost znamenaka u troznamenkastome broju.

Mentalno zbraja i oduzima brojeve do 1000.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja. Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja.

Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga zbrajanja i oduzimanja.

Imenuje članove računskih operacija.

Rješava tekstualne zadatke.

Mentalno i pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do 1000 uz povremene pogreške.

Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje u skupu prirodnih brojeva do 1000. Mentalno zbrajanje i oduzimanje brojeva u skupu brojeva do 1000. Veza zbrajanja i oduzimanja. Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do 1000.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1000 temelji se na predznanju učenika o automatiziranome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 20 i 100 te na vezi između zbrajanja i oduzimanja. Kako bi se potaknule i razvile misaone mogućnosti učenika neprestano poticati procjenu rezultata te provjeru rješenja i vještinu mentalnoga računanja (po potrebi pomoću rastavljanja broja na zbroj višekratnika dekadskih jedinica ili zapisivanja djelomičnih rezultata). Kada to okolnosti dozvoljavaju, uvježbavanje mentalnoga zbrajanja i oduzimanja moguće je i primjenom edukativnih računalnih igrica i dr. Koristiti se različitim situacijama i zadatcima u kojima treba primjenjivati zbrajanje i oduzimanje. Tek kada je dobro usvojen postupak zbrajanja i oduzimanja rastavljanjem, prijeći na pisani postupak zbrajanja i oduzimanja. Pisano zbrajanje i oduzimanje usvaja se postupno primjenom pravilnoga matematičkog zapisa i stalnosti razlike u oduzimanju. Iako su učenici u 3. razredu usvojili brojevni niz do 10000, računaju u skupu brojeva do 1000. Vrijeme potrebno za upoznavanje postupka pisanog zbrajanja i oduzimanja potrebno je prilagoditi učenicima.

OŠ MAT A.3.3

Dijeli prirodne brojeve do 100 s ostatkom.

Dijeli brojeve do 100 s ostatkom. Provjerava rješenje pri dijeljenju s ostatkom.

Rješava tekstualne zadatke.

Dijeli s ostatkom uz manju nesigurnost.

Sadržaj: Dijeljenje brojeva do 100 s ostatkom.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri upoznavanju dijeljenja s ostatkom u početku zadavati zadatke u kontekstu kako bi učenici pojam ostatka usvojili/prihvatili na razumljiv način.

OŠ MAT A.3.4

Pisano množi i dijeli prirodne brojeve do 1000 jednoznamenkastim brojem.

Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga množenja i dijeljenja.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost i distributivnost).

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Množi i dijeli broj brojevima 10, 100 i 1000.

Pisano dijeli na duži i kraći način.

Pisano množi i dijeli jednoznamenkastim brojem na duži način.

Sadržaj: Pisano množenje i dijeljenje prirodnih brojeva do 1000 jednoznamenkastim brojem. Množenje zbroja brojem. Množenje i dijeljenje broja s 10,100 i 1000.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Postupnost: množiti i dijeliti zbroj brojem, množiti i dijeliti u tablici mjesnih vrijednosti te množiti i dijeliti izvan tablice pomoću pravilnoga matematičkoga zapisa. Poučiti učenike procjenjivati rezultat, množiti i dijeliti broj s 10, 100 i 1000. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na najvišoj razini. Postupak pisanog dijeljenja uvodi se na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Ipak, preporučuje se da, ako učenici mogu prijeći na kraći način, to i rade kako bi se sam postupak skratio. Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom ili ravnom crtom koju čitaju podijeljeno kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka).

OŠ MAT A.3.5

Izvodi više računskih operacija.

Određuje vrijednosti izraza sa zagradama.

Određuje vrijednosti izraza s više računskih operacija.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost). Primjenjuje veze između računskih operacija.

Imenuje članove računskih operacija.

Računa u različitim tipovima zadataka.

Rješava zadatke s više računskih operacija i sa zagradama.

Sadržaj: Izvođenje više računskih operacija (sa i bez zagrada).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Postupno uvoditi učenike u rješavanje zadataka u kojima se pojavljuju zagrade i više računskih operacija.

OŠ MAT A.3.6

Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama.

Primjenjuje stečene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju svakodnevnih problemskih situacija.

Korelacija s međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje

Primjenjuje usvojene spoznaje u rješavanju jednostavnih problemskih situacija iz neposredne okoline.

Sadržaj: Primjena računskih operacija i odnosa među brojevima u rješavanju problemskih situacija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Između ostaloga: prikazivati i računati polovine, trećine,…nekoga broja.

OŠ MAT B.3.1

Rješava zadatke s jednim nepoznatim članom koristeći se slovom kao oznakom za broj.

Koristi se slovom kao oznakom za broj.

Uvrštava zadani broj umjesto slova.

Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti/nejednakosti. Primjenjuje svojstva računskih operacija.

Primjenjuje veze između računskih operacija.

Uz manju pomoć izračunava vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti i provjerava točnost dobivenoga rješenja.

Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznatoga člana jednakosti i nejednakosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjeri zadataka: Izračunaj vrijednost izraza 234 + a ako je a = 48. Izračunaj b ako je 780 – b = 89 → b = 780 - 89.

Odredi sve troznamenkaste brojeve c za koje vrijedi 694 > c > 688.

Zapiši matematičkim znakovima račun i izračunaj nepoznati član ako je djeljenik 63, a količnik 9.

63 : □ = 9,  63 : 7 = 9, □ = 7 jer je 7 ∙ 9 = 63

Račun zapiši matematičkim znakovima tako da umjesto □ upotrijebiš slovo a.

63 : a = 9,  63 : 7 = 9, a=7 jer je 7 ∙ 9 = 63

Koji faktor množimo brojem 5 kako bi njihov umnožak bio 35?

? ∙ 5 = 35

Račun zapiši tako da umjesto upitnika upotrijebiš slovo b, x, z,… b ∙ 5 = 35, 7 ∙ 5 = 35, b=7

Ivan štedi za nove slušalice koje koštaju 136 kn. Koliko mu kuna još nedostaje ako je do sada uštedio 94 kune?

94 + s = 136 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja

s =136 - 94, s = 42

OŠ MAT C.3.1

Opisuje i crta točku, dužinu, polupravac i pravac te njihove odnose.

Crta i označava točke i dužine. Upoznaje pravac kao neograničenu ravnu crtu.

Crta i označava pravac i polupravac.

Crta dužinu kao dio pravca i ističe njezine krajnje točke.

Određuje i crta pripadnost točaka pravcu.

Opisuje i crta pravac i njegove dijelove.

Sadržaj: Pravac, polupravac i dužina kao dijelovi pravca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pojam pravca usvaja se neograničenim (zornim) produljivanjem crte preko krajnjih točaka dužine kako bi učenici na taj način razlikovali prikaz pravca od pojma pravca. Pri upoznavanju pravca jako je važno naglasiti da se pravac ne može cijeli nacrtati, nego da je ravna crta kojom ga prikazujemo samo dogovoreni način prikazivanja pravca. Paziti da učenici ne poistovjete prikaz pravca s njegovim značenjem. Kako bismo to izbjegli, možemo im postaviti zadatak: Primjer: Pripada li točka T pravcu p?

Pravac i polupravac potrebno je pravilno crtati, označavati i imenovati. S obzirom na već razvijenu grafomotoriku učenika, točku, umjesto križićem i točkom, označavaju samo točkom.

OŠ MAT C.3.2

Prepoznaje i crta pravce u različitim međusobnim odnosima.

Crta pravac i njegove dijelove.

Crta usporedne pravce i pravce koji se sijeku (uključujući okomite). Pravcima koji se sijeku određuje sjecište.

Primjenjuje matematičke oznake za okomitost i usporednost dvaju pravaca.

Opisuje i crta međusobne odnose pravaca uz manju nesigurnost.

Sadržaj: Pravci koji se sijeku. Crtanje usporednih i okomitih pravaca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Međusobne odnose pravaca potrebno je crtati precizno i uredno te pravilno zapisivati matematičkim jezikom. Crtanje okomitih i usporednih pravaca primjenjuje se pri crtanju tablica za prikaz različitih podataka, za crtanje tablica mjesnih vrijednosti, geometrijskih likova… Pri crtanju usporednih i okomitih pravaca moguće je koristiti se ravnalom i jednim trokutom ili dvama trokutima.

OŠ MAT C.3.3

Služi se šestarom u crtanju i konstruiranju.

Koristi se šestarom kao dijelom geometrijskoga pribora.

Šestarom se služi u crtanju i prenošenju dužine određene duljine.

Konstruira kružnicu.

Crta pravokutnik i kvadrat određene duljine stranica.

Konstruira kružnicu.

Sadržaj: Crtanje i konstruiranje šestarom (kružnica, pravokutnik i kvadrat). Prenošenje dužine zadane duljine.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Cilj ovoga ishoda osposobiti je učenike za služenje šestarom. U crtanju pravokutnika i kvadrata učenik šestar koristi za prenošene duljine dužine pojedine stranice.

OŠ MAT D.3.1

Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine.

Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos u skupu brojeva do 1000 (kilometar, metar, decimetar, centimetar, milimetar).

Imenuje i crta dužinu zadane duljine.

Mjeri dužinu pripadajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom.

Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice. Duljinu dužine zapisuje matematičkim znakovima. Procjenjuje duljinu dužine (milimetar, centimetar, decimetar) i udaljenosti (metar, kilometar) odabirući optimalnu mjernu jedinicu.

Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 1000). Prošireni sadržaji: preračunavanje mjernih jedinica.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Mjeri dužinu i crta dužine zadane duljine.

Sadržaj: Procjena, mjerenje i crtanje dužine zadane duljine. Jedinice za mjerenje dužine (mm, cm, dm, m, km). Računanje s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 1000).

Prošireni sadržaj: Preračunavanje mjernih jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda: Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine kao njezina mjerivoga svojstva (mjerimo dužinu kako bismo saznali njezinu duljinu). Učenici upoznaju standardne mjerne jedinice i njihove znakove. Jako je važno osvijestiti veličinu tih standardnih jedinica pa se učenike potiče da rukama pokazuju dužinu od jednoga metra, decimetra, centimetra i milimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer duljinu raširenoga palca i kažiprsta s decimetrom, minimalno mogući razmak palca i kažiprsta s milimetrom i slično). Kilometar im se može približiti nekim primjerom iz neposredne okoline. Duljinu dužine zapisivati matematičkim jezikom. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini.

OŠ MAT D.3.2

Procjenjuje i mjeri masu tijela.

Uočava masu kao svojstvo tijela. Uspoređuje mase tijela.

Imenuje jedinice za mjerenje mase (gram, dekagram, kilogram, tona). Upoznaje različite vage i postupak vaganja.

Procjenjuje i mjeri masu tijela te pravilno zapisuje dobivenu vrijednost (mjernim brojem i znakom jedinične veličine). Iskazuje odnose mjernih jedinica za masu.

Računa s jedinicama za masu tijela (u skupu brojeva do 1000). Korelacija s Hrvatskim jezikom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Mjeri masu različitih predmeta digitalnom vagom zapisujući dobivenu vrijednost.

Sadržaj: Procjena i mjerenje mase tijela. Uspoređivanje mase tijela. Mjerne jedinice za masu (g, dag, kg, t). Računanje s mjernim jedinicama za masu (u skupu brojeva do 1000).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U početku poučavanja na konkretima se uočavaju i uspoređuju nejednake mase (spoznati da (ne)jednake veličine predmeta ne moraju istim omjerom pratiti i masu). Nakon toga se imenuju mjerne jedinice za masu i razlikuju njihove vrijednosti (tona, kilogram, dekagram i gram), no neće se preračunavati. Učenici iskazuju odnose mjernih jedinica povezujući ih s tijelima jedinične mase. Koristiti se različitim vagama, a digitalnim vagama mjeriti cjelobrojnu masu (unaprijed odabrati predmete čija masa nije decimalni zapis). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini.

OŠ MAT D.3.3

Određuje opseg likova.

Opisuje opseg kao duljinu ruba bilo kojega geometrijskog lika.

Mjeri duljinu dužine.

Mjeri opseg neformalnim i formalnim načinima.

Određuje opseg trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroj duljina njihovih stranica. Procjenjuje i mjeri opseg lika objašnjavajući postupak.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom.

Mjeri opseg likova neformalnim načinima i povezuje opseg s duljinama pojedinih stranica.

Sadržaj: Opseg trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroj duljina stranica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda: U početku poučavanja učenici će mjeriti opseg neformalnim načinom: upotrebom konca, vune, papirnate vrpce… Učenike se navodi na zaključak da je opseg zbroj duljina svih stranica mnogokuta. Učenici mogu odrediti i opseg lika sastavljenoga od dva ili više likova poznatih učeniku, zaključivati o svojstvima dvaju ili više likova i sl. Duljina stranica zadanoga lika kojemu se mjeri opseg može se prenositi i šestarom na crtu. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na najvišoj razini. Pri određivanju opsega trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroja duljina stranica ne koristi se formula za izračunavanje, a opseg se zapisuje malim slovom o (npr. o = 12 cm)

OŠ MAT D.3.4

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine.

Primjenjuje pojam volumena (obujma, zapremnine) tekućine. Upoznaje i uspoređuje različite posude za čuvanje tekućine. Opisuje vezu između oblika i volumena tekućine.

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine prelijevanjem.

Imenuje jedinice za mjerenje volumena tekućine (litra, decilitar). Korelacija s Hrvatskim jezikom

Izražava volumen tekućine standardnim jedinicama te uspoređuje volumene posuda.

Sadržaj: Procjena i mjerenje volumena tekućine. Mjerne jedinice za volumen tekućine (litra, decilitar).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U početku je dobro uspoređivati volumen tekućine prelijevanjam iz jedne posude u drugu. Pri mjerenju volumena tekućine prvo treba osvijestiti da se prelijevanjam iz posude u posudu količina tekućine ne mijenja iako se njezin izgled (visina tekućine u posudi) mijenja. Nakon toga možemo odabrati neku posudu koja nam postaje mjerna jedinica i prelijevanjem tekućine mjeriti i uspoređivati različite količine tekućina u većim posudama. Upoznavanja standardnih mjernih jedinica za mjerenje volumena tekućine učenici prelijevanjem trebaju osvijestiti njihovu količinu, ali i računati s njima (osobito je korisno konkretima rješavati problemske zadatke). Obujam i zapremnina sinonimi su za volumen. Mjerna jedinice litra ima dva znaka kojima se označava: L i l. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini

OŠ MAT E.3.1

Služi se različitim prikazima podataka.

Nabraja različite vrste prikaza podataka.

Koristi se nazivima redak i stupac. Prikazuje podatke u tablicama i stupčastim dijagramima.

Služi se različitim prikazima podataka.

Prošireni sadržaji: prikazivati podatke iz razrednih projekata pomoću primjerene tehnologije. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Informatikom i međupredmetnim temama: Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Prikazuje podatke u tablicama i dijagramima.

Sadržaj: Prikazivanje podataka (tablice, stupčasti dijagrami).

Prošireni sadržaji: prikazivati podatke iz razrednih projekata pomoću primjerene tehnologije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Potrebno je na nastavi u različitim situacijama prikazivati podatke, npr. pri rješavanju problemskih situacija, a u poučavanju služiti se različitim prikazima podataka pri opisivanju, objašnjavanju (tumačiti ih) ili predviđanju mogućih (vjerojatnih) događaja. Tablica kao reprezentativni oblik može se upotrebljavati u različitim predmetima i različitim područjima života pa je dobro pomoću tablica povezivati matematiku s njima. Važno je učenicima osvijestiti pojmove stupac, redak, polje. Pri prikupljanju podataka potrebno je poticati učenike da ih prikazuju u tablicama i dijagramima, a također je važno poticati ih da čitaju podatke iz tablica i dijagrama. Posebno se ističe piktogram i stupčasti dijagram. Potrebno je odabrati odgovarajuće uređaje i programe primjerene učenicima i tehničkim mogućnostima škole. Izrada digitalnih sadržaja najčešće započinje izradom digitalnoga crteža; ako je moguće, koristiti se uređajima s dodirnom plohom kako bi učenici mogli crtati prstima ili olovkom. Predlaže se za početak i uporaba programa koji nude djelomično gotova rješenja. Potrebno je istražiti mogućnosti modernih multimedijskih online programa koji se mogu upotrebljavati s obrazovnom svrhom; izraditi prezentaciju, multimedijski plakat, kalendar, grafički prikaz podataka,…

VAŽNO: U procesu učenja matematike učenik objašnjava procedure i postavlja matematici svojstvena pitanja. Kako je jedan od ciljeva matematike razvoj komunikacijskih vještina, potrebno je što češće poticati učenike na verbalno izražavanje. To se može postići tako pojašnjavaju postupke koje provode, da govore o načinu na koji su razmišljali i slično. Vještina komuniciranja razvijat će se samo ako učenici često komuniciraju, pa je važno u nastavi što češće poticati razgovor. Također je važno poticati učenike da postavljaju pitanja i to ne samo kada nešto ne razumiju već i da pitanjima šire svoje spoznaje i ideje.

Učenik:

– postavlja pitanja o matematičkim pojmovima i procedurama kada nešto ne razumije

– govori ili postavlja pitanja o naučenim matematičkim pojmovima i procedurama da pojasni ili proširi znanje o njima

– objašnjava procedure te postavlja pitanja o novim idejama ili procedurama koje je osmislio

– argumentira postupke koje provodi i postavlja kreativna, istraživačka pitanja o matematici.

Matematika – na kraju 4. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT A.4.1

Služi se prirodnim brojevima do milijun.

Broji, čita, piše i uspoređuje brojeve do milijun.

Navodi dekadske jedinice i opisuje njihove odnose.

Prepoznaje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka.

Koristi se višeznamenkastim brojevima.

Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom.

Povezuje brojeve do milijun s primjerima iz života te poznaje odnose među dekadskim jedinicama.

Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do milijun. Uspoređivanje brojeva do milijun. Dekadske jedinice i mjesna vrijednost znamenaka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U upoznavanju brojeva preporučuje se uporaba kartica s dekadskim jedinicama i tablice mjesnih vrijednosti. Posebnu pozornost posvetiti brojenju pri prijelazu desettisućice i stotisućice.

OŠ MAT A.4.2

Pisano zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Zbraja i oduzima brojeve do milijun. Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga zbrajanja i oduzimanja.

Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja. Imenuje članove računskih operacija.

Rješava tekstualne zadatke.

Pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do milijun uz povremene pogreške.

Sadržaj: Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do milijun temelji se na predznanju učenika o pisanome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 1000. Treba se koristiti različitim situacijama, zadatcima i podatcima u kojima će se primjenjivati zbrajanje i oduzimanje. Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga zbrajanja i oduzimanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

OŠ MAT A.4.3

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojevima u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Množi i dijeli brojeve s 10 i 100. Procjenjuje djelomični količnik. Procjenjuje rezultat u zadatku prije postupka pisanoga računanja. Primjenjuje postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem u različitim tipovima zadataka. Primjenjuje svojstva računskih operacija radi provjeravanja rezultata.

Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojem.

Sadržaj: Pisano množenje i dijeljenje dvoznamenkastim brojevima u skupu prirodnih brojeva do milijun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom ili ravnom crtom koju čitaju podijeljeno kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka). Pisano dijeljenje moguće je izvoditi na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Preporučuje se kraći, ukoliko je primjeren mogućnostima učenika. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini. Cilj ovoga ishoda usvojiti je postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

OŠ MAT A.4.4

Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama.

Odabire računsku operaciju u pojedinome zadatku.

Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost). Provjerava rješenje primjenjujući veze između računskih operacija. Izvodi više računskih operacija. Rješava problemske zadatke sa uporabom i bez uporabe zagrada. Procjenjuje rezultat.

Računa u različitim tipovima zadataka (brojevni zadatci, tekstualni zadatci, problemski zadatci).

Upotrebljava nazive članova računskih operacija.

Korelacija s međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Primjenjuje različite strategije u rješavanju jednostavnih problemskih situacija.

Sadržaj: Primjena računskih operacija i odnosa među brojevima u rješavanju problemskih situacija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U zadatcima s više računskih operacija ne treba pretjerivati s velikim brojevima jer težište je na redoslijedu izvođenja računskih operacija. Stvarati naviku procjene rezultata prije samoga računanja i osvijestiti važnost provjere rezultata vezom između računskih operacija. Dobro bi bilo odabirati primjere zadataka u kojima se pojavljuju zagrade, a u kojima zagrade zaista i mijenjaju rezultat. Na primjer, u zadatku 543 – (423 + 28) primjena zagrada zaista mijenja rezultat u odnosu na zadatak u kojemu bismo zagradu izostavili. Učenici rješavaju i zadatke u kojima određuju trećine, četvrtine, petine i desetine nekoga broja. Izraze poput dvije trećine, četiri petine... potrebno je popratiti govorom i prikazati na različite načine (pomoću konkreta, crteža i sl.).

Primjer: Tri su četvrtine jednoga sata ___ minuta. Na svim razinama učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata. Preporučuje se što češće rješavanje problemskih situacija, no pritom ne treba inzistirati na računanju s velikim brojevima. Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga računanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

OŠ MAT B.4.1

Određuje vrijednost nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima.

Razlikuje jednakosti i nejednakosti. Koristi se slovom kao oznakom za nepoznati broj u jednakostima i nejednakostima.

Računa vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija.

Korelacija s Informatikom.

Određuje vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija.

Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima. Slovo kao oznaka za broj.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U 4. razredu ne upoznaje se sustavno linearna jednadžba ili nejednadžba, već se postavlja temelj za nju. To znači da primjeri moraju biti jednostavni i s jednom računskom operacijom, a nepoznati se član računa primjenom veze između računskih operacija. Primjeri zadataka: Izračunaj nepoznati broj a u jednakosti 5 871 + a = 7 820. Izračunaj nepoznati faktor u jednakosti f ⋅ 65 = 975. Koji broj mo ž e š zapisati umjesto b da vrijedi nejednakost 12 395 < b < 12 402? Zapiši matematičkim jezikom i odredi broj koji se dodaje broju 7 654 kako bi se dobio broj 9 802. Cilj ovoga ishoda je usvojiti postupak pisanoga računanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnom računanju s velikim brojevima.

OŠ MAT C.4.1

Određuje i crta kut.

Opisuje pojam kuta.

Prepoznaje, uspoređuje i crta pravi, šiljasti i tupi kut. Imenuje vrh i krakove kuta.

Prepoznaje i ističe točke koje (ne) pripadaju kutu.

Koristi se oznakom kuta (kut aVb) pazeći na orijentaciju (suprotno od kazaljke na satu).

Prepoznaje i crta šiljasti, pravi i tupi kut te određuje (ne) pripadnost točke kutu.

Sadržaj: Pravi, šiljasti i tupi kut. Crtanje kuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Česta je pogreška koja se pojavljuje pri usvajanju pojma kuta da učenici kutom smatraju samo mali dio unutar luka kojim kut označavamo. To se može protumačiti sjenčanjem sve većega dijela nacrtanoga kuta, čime se pojašnjava širenje i izvan nacrtanoga dijela kuta.

OŠ MAT C.4.2

Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica te pravokutni trokut.

Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica i dijeli ih na jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute.

Razlikuje i opisuje pravokutni trokut u odnosu na druge trokute.

Razlikuje i imenuje jednakostranični, jednakokračni, raznostranični i pravokutni trokut.

Sadržaj: Vrste trokuta prema duljini stranica (jednakostranični, raznostranični, jednakokračni). Pravokutni trokut.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Važno je uočiti da postoje različiti trokuti, a da ih prema duljinama njihovih stranica dijelimo na jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute. Kada učenici upoznaju pravokutni trokut, treba im pokazati da raznostranični i jednakokračni trokuti mogu biti ujedno i pravokutni. Učenicima je dobro pokazati i složenije motive sastavljene od različitih vrsta trokuta na kojima ih prepoznaju. Različite vrste trokuta potrebno je prikazivati i prepoznavati u različitim položajima.

OŠ MAT C.4.3

Opisuje i konstruira krug i njegove elemente.

Opisuje i konstruira krug i njegove elemente (kružnica, polumjer i središte).

Opisuje odnos kruga i kružnice. Prepoznaje polumjer i središte kruga i kružnice.

Prepoznaje i navodi točke koje (ne) pripadaju krugu ili kružnici.

Sadržaj: Krug i kružnica. Konstrukcija kruga i njegovih elemenata (kružnica, polumjer, središte).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Kako bi učenici shvatili da je kružnica zakrivljena crta koja omeđuje krug, važno je koristiti se ilustracijama na kojima je unutrašnjost kruga obojena. Time se odmah uočava da je krug geometrijski lik, a kružnica rubna crta.

OŠ MAT C.4.4

Crta i konstruira geometrijske likove.

Pomoću geometrijskoga pribora crta osnovne geometrijske likove (raznostranični i pravokutni trokut, pravokutnik i kvadrat).

Konstruira jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute.

Uz manju nesigurnost crta pravokutnik, kvadrat i pravokutni trokut.

Sadržaj: Crtanje geometrijskih likova (raznostranični i pravokutni trokut, pravokutnik i kvadrat). Konstruiranje geometrijskih likova (jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U ovome ishodu posebno obratiti pozornost na razvijanje motoričke vještine uporabe geometrijskoga pribora. Učenicima s motoričkim poteškoćama bit će potrebno znatno više vremena, a time i vježbe da bi se vještina razvila.

OŠ MAT C.4.5

Povezuje sve poznate geometrijske oblike.

Označava vrhove, stranice i kutove trokuta te trokut zapisuje simbolima (∆ABC).

Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, strane, stranice, bridovi, kutovi).

Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti.

Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, plohe, stranice, bridovi, kutovi).

Sadržaj: Povezivanje geometrijskih pojmova u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, strane, stranice, bridovi, kutovi).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U 4. razredu važno je povezati sve do sada usvojene geometrijske pojmove. Time se znanje umrežuje i učvršćuje. Upozoriti na često nepreciznu uporabu nekih matematičkih termina u svakodnevnome životu: kocka šećera, kocka za juhu, dresovi na kockice ili bilježnica na kockice. Upućivanjem na te očigledne i svakodnevne primjere izbjeći ćemo zbunjivanje učenika razlikom u izražavanju u školi i izvan nje.

OŠ MAT D.4.1

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine.

Primjenjuje pojam volumena (obujma, zapremnine) tekućine. Upoznaje i uspoređuje različite posude za čuvanje tekućine. Opisuje vezu između oblika i volumena tekućine.

Procjenjuje i mjeri volumen tekućine prelijevanjem. Imenuje jedinice za mjerenje volumena tekućine (litra, decilitar).

Računa s mjernim jedinicama za volumen tekućine.

Preračunava mjerne jedinice. Korelacija s Hrvatskim jezikom.

Uspoređuje, procjenjuje i mjeri volumen tekućine različitim mjerama i u različitim posudama.

Sadržaj: Procjena i mjerenje volumena tekućine. Računanje s mjernim jedinicama za volumen tekućine (litra, decilitar). Preračunavanje mjernih jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Upoznavanjem standardnih mjernih jedinica za mjerenje volumena tekućine učenici prelijevanjem trebaju osvijestiti njihovu količinu, ali i preračunavati ih i računati s njima (osobito je korisno konkretima rješavati problemske zadatke). Obujam i zapremnina sinonimi su za volumen. Mjerna jedinice litra ima dva znaka kojima se označava: L i l. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini.

OŠ MAT D.4.2

Uspoređuje površine likova te ih mjeri jediničnim kvadratima.

U ravnini uspoređuje likove različitih površina prema veličini dijela ravnine koju zauzimaju te tako upoznaje pojam površine.

Mjeri površinu likova ucrtanih u kvadratnoj mreži prebrojavanjem kvadrata.

Ucrtava u kvadratnu mrežu likove zadane površine.

Mjeri površine pravokutnih likova prekrivanjem površine jediničnim kvadratom.

Poznaje standardne mjere za površinu (centimetar kvadratni, decimetar kvadratni, metar kvadratni).

Mjeri pravokutne površine u neposrednoj okolini.

Prošireni sadržaji: Preračunavanje mjernih jedinica.

Korelacija s Hrvatskim jezikom.

Uspoređuje i mjeri površine različitih likova ucrtanih u kvadratnoj mreži.

Sadržaj: Mjerenje površine. Kvadratna mreža. Mjerne jedinice za površinu.

Prošireni sadržaj: Preračunavanje mjernih jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Težište je ishoda na pojmu površine kao veličine dijela ravne plohe kojega je lik zauzeo. U kvadratnoj mreži mogu se ucrtavati različiti likovi sastavljeni od jediničnih kvadrata i uspoređivati njihove površine. S učenicima se može izrezati više jediničnih kvadrata (nije nužno da im je stranica duga 1 cm ili 1 dm – važno je da za nas predstavljaju jedinični kvadrat) kojima se onda služimo u modeliranju i mjerenju. Modeliramo tako da učenicima damo problemski zadatak, na primjer da izrade lik površine 8 jediničnih kvadrata, što je naravno moguće napraviti na mnogo načina. Također mogu mjeriti površinu prekrivanjem lika jediničnim kvadratima. Na isti način mogu mjeriti površine iz svoje neposredne okoline, na primjer površinu klupe ili knjige. Bilo bi dobro pokazati da dva lika iste površine mogu imati različite opsege, a to se može napraviti dobrim odabirom zadatka. Primjer problemskoga zadatka: Uzmite 12 jediničnih kvadrata. Slažite od njih različite pravokutnike i bilježite im površinu i opseg. Što primjećujete? Pri određivanju površine nikako ne koristiti formulu za izračunavanje, a površinu zapisati velikim slovom P (npr. P = 8 centimetara kvadratnih).

OŠ MAT E.4.1

Provodi jednostavna istraživanja i analizira dobivene podatke.

Osmišljava i provodi jednostavna istraživanja u svojoj neposrednoj okolini.

Prikuplja podatke, razvrstava ih i prikazuje neformalno i formalno. Čita podatke iz tablica i jednostavnih dijagrama.

Korelacija s Prirodom i društvom i međupredmetnim temama: Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Provodi jednostavno istraživanje u kojemu podatke razvrstava prema zadanome kriteriju.

Sadržaj: Prikupljanje, razvrstavanje i prikazivanje podataka (tablice, dijagrami).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U prikazivanjima stupčastim dijagrama, poželjno je za koordinate početi koristiti pojam osi kako bi se učenici pripremili za više razrede (npr. količina snijega po danu u mjesecu siječnju: os dana u mjesecu i os visine snijega u centimetrima). Ovaj ishod može se ostvariti povezivanjem matematike s drugim predmetima, posebno s Prirodom i društvom. Učenici mogu istraživati problem koji ne mora biti iz matematike, ali će podatke upisivati i ucrtavati u tablice ili dijagrame. U matematici možemo osmišljavati projekte u kojima će učenici prikupljati, razvrstavati i prikazivati podatke.

Primjeri: Koliko vremena se posvećuje čitanju, a koliko gledanju televizije?

Pratiti i bilježiti rezultate tijekom tjedan dana, a onda ih objediniti, prikazati i donijeti zaključke. Pratiti rast biljke graha tijekom dva tjedna i bilježiti promjene…

OŠ MAT E.4.2

Opisuje vjerojatnost događaja.

U razgovoru iskazuje mogućnosti. Uspoređuje ishode riječima vjerojatniji, manje vjerojatan, najvjerojatniji.

Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i međupredmetnim temama: Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje.

Navodi događaje koji su sigurni, mogući i nemogući.

Sadržaj: Opisivanje vjerojatnosti događaja.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenici moraju razumjeti razliku između sigurnoga ishoda, mogućega ishoda i nemogućega ishoda. To možemo postići postavljanjem primjerenih pitanja i zadataka.

Primjeri:

1. Ako je jutro oblačno, hoće li padati kiša?

2. Igra: Par – nepar. Razgovor o tome je li igra pravedna.

3. 12 učenika između sebe podijeli brojeve od 1 do 12. Redom bacaju 2 kockice i određuju njihov zbroj. Prikazani zbroj omogućava učeniku koji ima taj broj na kartici da se pomakne za jedno mjesto na tablici u kojoj je početno stajalište na 0, a cilj je doći do broja 10.

Problemska pitanja: Koji zbroj nije moguće dobiti bacanjem kockica? (0, 1 i brojevi koji su veći od 12) Koji su zbrojevi vjerojatniji? Koji su zbrojevi najvjerojatniji? Je li igra pravedna?

VAŽNO: Učenik se treba usmeno izražavati o pojmovima i procedurama koje provodi primjerenim matematičkim jezikom. U nastavi što češće uključivati učenike u raspravu kako bi se njihova vještina izražavanja razvijala. U raspravi se učenici moraju jasno izražavati, uče slušati druge, uočavaju različite načine razmišljanja, dokazuju i argumentiraju svoje tvrdnje te time razvijaju vještinu komuniciranja. Poticati učenike na postavljanje pitanja i to ne samo kada nešto ne razumiju već i radi proširivanja znanja.

Kada je god moguće postavljati otvorena, divergentna pitanja, a ne zatvorena i konvergentna pitanja sa samo jednim odgovorom.

Učenik:

– odgovara na izravna pitanja o naučenim matematičkim pojmovima i procedurama koje izvodi

– verbalno prati procedure koje provodi, postavlja pitanja o pojmovima i procedurama kada nešto ne razumije

– objašnjava postupke koje provodi, postavlja pitanja kako bi proširio naučeno

– argumentira tvrdnje koje iznosi, postavlja kreativna, istraživačka pitanja o matematici.

Matematika – na kraju 5. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT. A. 5. 1 

Brojevnim izrazom u skupu prirodnih brojeva s nulom modelira problemsku situaciju.  

Čita i zapisuje prirodne brojeve uključujući brojeve veće od milijun. 

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju u skupu prirodnih brojeva s nulom.  

Koristi se produženom nejednakošću.  

Zbraja, oduzima, množi (dekadsku jedinicu prikazuje u obliku potencije baze 10, povezuje umnožak dva jednaka prirodna broja s kvadratom prirodnoga broja) i dijeli u skupu prirodnih brojeva s nulom primjenjujući svojstva računskih operacija. 

Prepoznaje kvadrate prirodnih brojeva do 10.  

Pridružuje prirodne brojeve točkama brojevnoga pravca i očitava ih.  Mentalno računa i procjenjuje rezultat kad je god moguće.  

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Računa vrijednost jednostavnih algebarskih izraza. 

Računa brojevne izraze primjenjujući svojstva računskih operacija. 

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom. 

Sadržaj: Skup prirodnih brojeva. Skup prirodnih brojeva i brojevni pravac. Računske operacije u skupu prirodnih brojeva. Uspoređivanje u skupu prirodnih brojeva. Potencija baze 10 s prirodnim eksponentom. Kvadrat prirodnog broja. Vrijednost jednostavnog algebarskog izraza u skupu prirodnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Smještati prirodne brojeve na brojevni pravac sa zadanom jediničnom dužinom, smještati veće prirodne brojeve na brojevni pravac. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnijih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome. Ukazati da se u matematičkim izrazima znak množenja katkad izostavlja, ali da se podrazumijeva. Računsku operaciju dijeljenja zapisivati na različite načine (znakovima :,  /  i razlomačkom crtom). Povezati umnožak dva jednaka prirodna broja s pojmom kvadrata prirodnoga broja, ali ne uvoditi pojmove baza i eksponent. Matematičkim zapisom prikazivati skup prirodnih brojeva s nulom. Stalno procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate, sudoku, zadatke sa šibicama i slično. 

OŠ MAT. A. 5. 2 

Rastavlja broj na proste faktore i primjenjuje djeljivost prirodnih brojeva.

Barata pojmovima djeljivost, djelitelj, višekratnik, biti djeljiv, prost broj, složen broj.  

Primjenjuje djeljivost brojevima 2, 3, 5, 9 i 10. 

Rastavlja broj na proste faktore i višestruki umnožak istih faktora zapisuje u obliku potencije.  

Primjenjuje djeljivost i umači postupak koji provodi. 

Prošireni sadržaji: 

Ispituje djeljivost umnoška, zbroja i razlike.

Određuje djelitelje i višekratnike prirodnih brojeva. U rastavu na proste faktore povezuje višestruki umnožak istih faktora s potencijom.

Sadržaj: Djeljivost prirodnih brojeva. Pravila djeljivosti prirodnih brojeva. Rastavljanje broja na proste faktore. Prošireni sadržaji: Djeljivost umnoška, zbroja i razlike.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ne uvoditi pojmove baza i eksponent. 

OŠ MAT. A. 5. 3 

Povezuje i primjenjuje različite prikaze razlomaka.

Povezuje slikovni prikaz razlomka sa svim vrstama brojevnih zapisa i obratno. 

Zapisuje i tumači razlomak povezujući ga s dijeljenjem. 

Prikazuje razlomke na brojevnome pravcu. 

Povezuje različite brojevne zapise nepravih razlomaka, mješovitih brojeva i prirodnih brojeva.  

Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Brojevni zapis razlomka prikazuje slikovnim prikazom i obratno. Koristeći se predloženom razdiobom prikazuje i očitava razlomke na brojevnome pravcu.

Sadržaj: Prikaz razlomka. Zapis razlomkom. Nepravi razlomci i mješoviti brojevi. Razlomci i brojevni pravac. Veza razlomka s nazivnikom 100 i postotka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Na brojevnome pravcu prikazivati razlomke s jednoznamenkastim nazivnikom. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. 

Prilikom povezivanja različitih brojevnih zapisa razlomaka koristiti se crtežom, modelima, brojevnim pravcem. Naglasiti ekvivalentnost razlomaka jednakih vrijednosti, a različitog zapisa (prošireni i skraćeni razlomci bez računske procedure). Uvesti postotak kao oznaku za razlomak s nazivnikom 100, promil kao oznaku za razlomak s nazivnikom 1000. Pronalaziti primjere iz okruženja u kojima se u kontekstu spominju postoci i promili. Igra: Dan – noć (Brojnik – nazivnik), slagalice i slično. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. A. 5. 4 

Povezuje i primjenjuje različite zapise decimalnoga broja

.

Opisuje i zapisuje decimalne brojeve. Opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila). 

Otkriva beskonačne decimalne brojeve. 

Odabire pogodan oblik zapisa broja u problemu. 

Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom 

Povezuje različite zapise brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila) 

uz obrazloženje.

Sadržaj: Dekadski razlomak i decimalni zapis. Veza zapisa razlomka i decimalnog broja. Beskonačni decimalni broj.  

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati učenika da mentalnim računanjem prelazi između različitih zapisa brojeva. Naglasiti da neke razlomke nije korisno pretvarati u decimalni zapis jer imaju beskonačno mnogo decimala. 

OŠ MAT. A. 5. 5 

Računa s decimalnim brojevima

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka decimalna broja s kvadratom decimalnoga broja) i dijeli decimalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju decimalnih brojeva.  

Otkriva beskonačne decimalne brojeve. 

Pridružuje očke pravca decimalnim brojevima i očitava ih.  

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza. 

Rješava problemsku situaciju. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom 

Brojevnim izrazom opisuje jednostavnu problemsku situaciju koju rješava uspoređujući rezultat s osobnom procjenom. Očitava decimalne brojeve na brojevnome pravcu. 

Sadržaj:Računske operacije decimalnim brojevima. Svojstva računskih operacija decimalnim brojevima. Uspoređivanje decimalnih brojeva. Decimalni brojevi i brojevni pravac. Vrijednost jednostavnog algebarskog izraza za zadane decimalne i/ili prirodne brojeve.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Mentalno računati i procjenjivati rezultat kad je god moguće. Istaknuti da decimalna točka u matematici odgovara decimalnomu zarezu u nekim područjima. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome. Potrebno je procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate i slično.

OŠ MAT. A. 5. 6 

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve. 

Primjenjuje pravila zaokruživanja, smisleno zaokružuje prirodne i decimalne brojeve primjereno uvjetima zadatka. 

Uočava pogrešku pri zaokruživanju i procjenjuje njezin utjecaj na rješenje. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve uz opisivanje postupka.

Sadržaj: Decimalni brojevi. Zaokruživanje decimalnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjenjivati zaokruživanje u baratanju s novcem

OŠ MAT. B. 5. 1 

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu. 

Prepoznaje nepoznanicu u problemskoj situaciji. 

Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom. 

Rješava linearnu jednadžbu oblika ax=b, gdje su a i b prirodni ili decimalni brojevi, provjeravajući točnost dobivenoga rješenja.  

Izražava nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe koristeći se vezom između računskih operacija. 

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom

Samostalno rješava jednostavnu linearnu jednadžbu procjenjujući rezultat.

Sadržaj: Linearna jednadžba.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učeniku postaviti jednostavnu linearnu jednadžbu oblika , , , , , , gdje su i prirodni ili nenegativni racionalni brojevi (decimalni zapis). Za sve razine pokušati povezati zadanu linearnu jednadžbu s odgovarajućim problemskim zadatkom – matematička priča. Izražavati nepoznanicu koristeći se vezom između računskih operacija, npr: ako je tada je   , gdje su i prirodni ili nenegativni racionalni brojevi (decimalni zapis).

OŠ MAT. B. 5. 2 

Prikazuje skupove i primjenjuje odnose među njima za prikaz rješenja problema. 

Oblikuje i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama (presjek, unija, podskup).  

Određuje broj elemenata skupa. Prepoznaje prazan skup.  

Koristi se matematičkim simbolima u zapisu skupova i njihovih odnosa. 

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom.  

Prošireni sadržaji: Ispisuje i prebrojava elemente skupa u kombinatornim zadatcima.

Samostalno povezuje različite zapise skupova. Na predlošku opisuje presjek i uniju skupova točaka u ravnini.

Sadržaj: Skup. Vennovi dijagrami. Presjek skupova. Unija skupova.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka. Moguća istraživanja primjene Vennovih dijagrama u drugim područjima. Primjeri: narječja hrvatskog jezika, obilježja životinja. 

OŠ MAT. C. 5. 1 

Opisuje skupove točaka u ravnini e analizira i primjenjuje njihova svojstva i odnose.

Služeći se geometrijskim priborom i matematičkim jezikom proučava, opisuje, definira, skicira, crta i označava skupove točaka u ravnini (točke, pravci, polupravci, dužine, kutovi) i njihove međusobne odnose. Opisuje sukladnost dužina i kutova. 

Crta usporedne i okomite pravce, susjedne i vršne kutove te kutove uz presječnicu usporednih pravaca. 

Prepoznaje vrste kutova od šiljastog do punog. 

Konstruira i definira simetralu dužine, opisuje i primjenjuje njezina svojstva.   

Korelacija s Geografijom i Prirodom

Opisuje i prikazuje međusobne odnose skupova točaka u ravnini, sukladnost dužina i kutova koristeći matematički jezik. 

Crta vršne i susjedne kutove. 

Sadržaj: Skupovi točaka u ravnini: Točka, pravac, polupravac, dužina, kut. Vrste kutova. Sukladne dužine. Sukladni kutovi. Simetrala dužine. Kutovi uz presječnicu usporednih pravaca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati grafomotoriku učenika. Posebno precizno crtati ili konstruirati usporedne i okomite pravce uz označavanje i zapisivanje odnosa matematičkim jezikom. Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka.  

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod C.5.1 je preduvjet za ostvarenje ishoda C.5.3.

OŠ MAT. C. 5. 2 

Opisuje i crta /konstruira geometrijske likove te stvara motive koristeći se njima.

Precizno i uredno crta/konstruira, skicira geometrijske likove (kvadrat, pravokutnik, trokut, kružnicu, krug i njegove dijelove). 

Opisuje trokut, kvadrat i pravokutnik (vrhovi, stranice, dijagonale i njihovi odnosi, kutovi).  

Definira kružnicu i krug te opisuje njihove elemente (polumjer, promjer, tetiva).  

Opisuje i crta dijelove kruga (kružni isječak, kružni odsječak, kružni vijenac). 

Korelacija s Geografijom, Prirodom i Tehničkom kulturom.

Precizno i uredno konstruira kružnicu, krug, jednakostranični i jednakokračni trokut.  

Definira kružnicu, krug, opisuje polumjer i promjer.

Sadržaj:Konstrukcija kvadrata. Konstrukcija pravokutnika. Konstrukcija jednakostraničnog i jednakokračnog trokuta. Konstrukcija kružnice i kruga. Dijelovi kružnice i kruga.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Konstruirati okomicu primjenom svojstva simetrale dužine. Može se prikazivati  presjek ili unija dvaju ili više geometrijskih  likova i stvarati motive. Koristeći se stvarnim materijalima rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati ravninske oblike sastavljene od trokuta i četverokuta. Može se koristiti i angram. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. C. 5. 3 

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini.

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, pravac, trokut, četverokut, krug i kružnicu). Prepoznaje osnosimetrični/ centralnosimetrični lik i odeđuje os/ centar simetrije. 

Korelacija s Informatikom.

Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, trokut, četverokut, krug i kružnicu).

Sadržaj:Osna simetrija. Centralna simetrija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Koristeći se stvarnim materijalima rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati osnosimetrične i centralnosimetrične slike. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice. Ishod C.5.1 je preduvjet za ostvarenje ishoda C.5.3.

OŠ MAT. D. 5. 1 

Mjeri i crta kutove, određuje mjere susjednih i vršnih kutova.

Mjeri i crta kutove pomoću kutomjera. Klasificira kutove od šiljastoga do punoga. 

Računa mjeru kuta u stupnjevima i minutama te crta kutove zadane svojom mjerom.  

Opisuje susjedne (sukute) i vršne kutove. 

Određuje mjere susjednih i vršnih kutova.

Mjeri i crta kutove objašnjavajući postupak. Klasificira kutove

Sadržaj: Mjera kuta. Klasifikacija kutova. Susjedni kutovi. Vršni kutovi.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 5. 2 

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km, m, dm, cm, mm), masu (t, kg, dag, g, mg), vrijeme (s, min, h, dan, tjedan, mjesec, god, stoljeće, desetljeće, tisućljeće), volumen tekućine (hl, l, dl, ml) i primjenjuje ih pri rješavanju problema. 

Korelacija s Geografijom, Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi).

Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km), masu (t, kg, g), vrijeme (tjedan, mjesec, god), volumen tekućine (l, dl) povezujući ih s primjerima iz okruženja.

Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme i volumen tekućine.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Volumen tekućine preračunavati u zadatcima iz okruženja učenika.

OŠ MAT. D. 5. 3 

Primjenjuje računanje s novcem.

Računa s novcem u problemskoj situaciji. 

Povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga.  

Poznaje pojam valute (euro i još jedna valuta iz okruženja) i tečajne liste. Preračunava jednu valutu u drugu.  

Korelacija s Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj

Uz prethodnu procjenu povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga.  

Preračunava jednu valutu u drugu.

Sadržaj: Novac i računanje novcem.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. Primjer jednostavne situacije: kupovina, štednja, džeparac, kućni budžet. Istražiti i upoznati različite valute, tečajnu listu. U računanju zaokruživati rezultat na dvije decimale. Istražiti povijesne crtice o novcu. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. D. 5. 4 

Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova. 

Opisuje i računa opseg geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova (kvadrata, pravokutnika, trokuta).   

Opisuje i računa površinu kvadrata i pravokutnika. 

Otkriva i obrazlaže formule za opseg i površinu.  

Povezuje umnožak dva jednaka broja s pojmom kvadrata broja i mjernom jedinicom za površinu. 

Poznaje mjerne jedinice za površinu (kilometar kvadratni, metar kvadratni, decimetar kvadratni, centimetar kvadratni, milimetar kvadratni).

Uz prethodnu procjenu računa opseg (kvadrata, pravokutnika, trokuta) i površinu (kvadrata i pravokutnika). Otkriva i obrazlaže formule za opseg i površinu.

Sadržaj:Površina i opseg kvadrata i pravokutnika. Opseg trokuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Uvesti znakove za mjerne jedinice površine bez preračunavanja. Slagati slike pomoću dijelova angrama, mjeriti potrebne dimenzije likova i računati njihov opseg. Koristiti se procjenom. Rješavati zadatke povezane s okruženjem i poticati učenike da stvaraju crteže sastavljene od geometrijskih likova te da računaju njihove opsege i površine.

OŠ MAT. D. 5. 5 

Računa i primjenjuje volumen kocke i kvadra.

Objašnjava volumen kocke i kvadra kao broj istovrsnih jediničnih kocaka od kojih je sastavljen.  

Otkriva i obrazlaže formulu za volumen kocke i kvadra. 

Procjenjuje i računa volumen kocke i kvadra u problemskim situacijama. Povezuje umnožak tri jednaka prirodna broja s pojmom kuba prirodnoga broja i mjernom jedinicom za volumen. 

Poznaje mjerne jedinice za volumen (metar kubni, decimetar kubni, centimetar kubni).

Slaže tijelo zadanog volumena pomoću jediničnih kocaka. 

Određuje volumen kocke na slici koja je izgrađena od jediničnih kocaka.

Sadržaj: Kocka, kvadar. Volumen kocke i kvadra.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Uvesti znakove za mjerne jedinice volumena bez preračunavanja. Na prikazu geometrijskog tijela u ravnini, izgrađenog od jediničnih kocaka, nisu uočljive sve jedinične kocke. Koristiti se procjenom. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. E. 5. 1 

Barata podacima prikazanim na različite načine.

Povezuje, uspoređuje i tumači podatke prikazane tablicama, slikama, listama, te različitim grafovima i dijagramima prikazanim u prvom kvadrantu (koordinatnog sustava u ravnini).  

Na vodoravnu os nanosi obilježja skupa podataka, a na okomitu broj elemenata skupa s danim obilježjem ili obratno. 

Odgovara na pitanja koja nadilaze izravno čitanje podataka (npr. računa s grafički prikazanim podacima).  

Prošireni sadržaj: Računa aritmetičku sredinu brojčanih podataka.  

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje

Tumači prikaz podataka tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima.

Sadržaj:Grafovi i dijagrami. Crtanje grafa ili dijagrama. Očitavanje grafa i dijagrama. Prošireni sadržaj: Aritmetička sredina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Iz zadanoga prikaza odrediti skup objekata, obilježja skupa, broj elemenata skupa s danim obilježjem. Ovaj bi ishod bilo korisno ostvariti provođenjem stvarnih istraživanja u nekome razdoblju (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, tjelesno i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane ...) što omogućuje integriranu nastavu s Geografijom i Prirodom. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Matematika – na kraju 6. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT. A. 6. 1 

Računa najmanji zajednički višekratnik i primjenjuje svojstva djeljivosti prirodnih brojeva

Pronalazi zajedničke djelitelje, najveći zajednički djelitelj, zajedničke višekratnike, najmanji zajednički višekratnik dvaju i više prirodnih brojeva.  

Primjenjuje svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Prošireni sadržaji: 

Opisuje i primjenjuje svojstvo relativno prostih brojeva.

Računa najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva. 

Sadržaj:Najmanji zajednički višekratnik. Najveći zajednički djelitelj. Svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Moguća istraživanja: savršeni brojevi, prijateljski brojevi… 

OŠ MAT. A. 6. 2 

Proširuje i skraćuje razlomke e primjenjuje postupak svođenja na zajednički nazivnik.

Proširuje i skraćuje razlomke.  

Svodi razlomke na zajednički nazivnik i najmanji zajednički nazivnik.  

Te postupke provodi računski uz obrazloženje. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema.

Svodi razlomke na najmanji zajednički nazivnik. 

Skraćuje razlomak do neskrativog razlomka.

Sadržaj:Proširivanje razlomaka. Skraćivanje razlomaka. Svođenje razlomka na zajednički nazivnik.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri uvođenju postupka proširivanja i skraćivanja razlomaka te svođenja na zajednički nazivnik koristiti se slikovnim prikazom postupaka. Nazivnici ne trebaju biti veliki brojevi. Ravnopravno uključiti prirodne i mješovite brojeve te decimalne zapise racionalnih brojeva.

OŠ MAT. A. 6. 3 

Primjenjuje različite zapise nenegativnih racionalnih brojeva  

Koristeći se matematičkim jezikom opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa nenegativnih racionalnih brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, pravih razlomaka, nepravih razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila). 

Povezuje omjer dviju veličina s razlomkom. 

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.  

Odabire prikladan zapis pri rješavanju brojevnih izraza i problemskih situacija.

Odabire, uz obrazloženje, pogodan oblik zapisa u brojevnim izrazima koje rješava. 

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.

Sadržaj: Nenegativni racionalni brojevi. Omjer dviju istoimenih veličina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati učenika da mentalno računajući prelazi između različitih zapisa pozitivnih racionalnih brojeva. Naglasiti da neke razlomke nije korisno pretvarati u decimalni zapis jer imaju beskonačno mnogo decimala.

OŠ MAT. A. 6. 4 

Primjenjuje uspoređivanje nenegativnih racionalnih brojeva.

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju pozitivnih racionalnih brojeva.  

Uspoređuje nenegativne racionalne brojeve različitoga zapisa.  

Reda po veličini nenegativne racionalne brojeve koristeći se produženom nejednakošću.  

Odabire prikladan zapis u kontekstu. 

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Odabire prikladan zapis pri uspoređivanju dvaju nenegativnih racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija. 

Sadržaj: Uspoređivanje nenegativnih racionalnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri uspoređivanju razlomaka ne treba pretjerivati s velikim nazivnicima. Poticati procese zaokruživanja i procjene pogreške zaokruživanja. Odnos skupova N i Q prikazivati Vennovim dijagramom. 

OŠ MAT. A. 6. 5 

Računa s nenegativnim racionalnim brojevima.

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli nenegativne racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Povezuje nenegativni racionalni broj s njegovom recipročnom vrijednošću. 

Pojednostavnjuje dvojni razlomak. Zbraja i oduzima istoimene monome, množi monom s monomom.  

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza. 

Računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija. Pojednostavnjuje dvojni razlomak.  

Množi monom s monomom. 

Sadržaj:Računske operacije nenegativnim racionalim brojevima. Recipročni nenegativni racionalni brojevi. Dvojni razlomak. Vrijednost jednostavnog algebarskog izraza za zadane nenegativne racionalne brojeve. Pojednostavljivanje jednostavnih algebarskih izraza.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Ne uvoditi pojmove baza i eksponent. Poticati učenika da mentalno računajući kvadrira pogodne racionalne brojeve.

OŠ MAT. A. 6. 6 

Prikazuje i primjenjuje cijele brojeve.

Na brojevnome pravcu istražuje i otkriva cijele brojeve, pozitivne, negativne brojeve i nulu, suprotne brojeve, apsolutnu vrijednost cijeloga broja. 

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju cijelih brojeva.  

Pridružuje cijele brojeve točkama pravca i obratno. 

Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu cijelih brojeva. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom. 

Određuje apsolutnu vrijednost cijeloga broja i uspoređuje cijele brojeve uz obrazoženje. Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu cijelih brojeva.

Sadržaj: Cijeli brojevi. Apsolutna vrijednost cijelog broja. Uspoređivanje cijelih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Matematičkim zapisom prikazivati skup cijelih brojeva, odnos skupova N i Z prikazivati Vennovim dijagramom.  

Ravnopravno se koristiti pojmovima apsolutna vrijednost i udaljenost cijeloga broja od nule na brojevnom pravcu.

OŠ MAT. A. 6. 7 

Računa s cijelim brojevima. 

Zbraja, oduzima, množi i dijeli cijele brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Obrazlaže odabir matematičkih postupaka.  

Procjenjuje i preispituje smislenost rezultata. Računa kvadrate cijelih brojeva.

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza. 

Brojevnim izrazom modelira problemsku situaciju koju rješava.

Računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija. 

Množi monom s monomom.

Sadržaj: Računanje cijelim brojevima. Kvadrat cijelog broja. Vrijednost jednostavnog algebarskog izraza za zadane cijele brojeve.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome. Stalno procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate.

OŠ MAT. A. 6. 8 

Primjenjuje potenciju baze 10 i nenegativnog cjelobrojnog eksponenta.

Opisuje potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta kao zapis višestrukog množenja broja 10.  

Potenciji 10 na nultu pridružuje broj 1. 

Prikazuje dekadsku jedinicu kao potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta. 

Zbraja, oduzima i množi s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata (uključiti samo cjelobrojne koeficijente). 

Argumentira uočeno pravilo o množenju s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata. 

Prošireni sadržaj: Dijeli s potencijama baze 10 i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata.

Prikazuje dekadsku jedinicu kao potenciju baze 10 i prirodnoga eksponenta i obratno. Potenciji 10 na nultu pridružuje broj 1.

Sadržaj: Potencija baze 10 i prirodnog eksponenta. Zbrajanje, oduzimanje i množenje potencija baze 10 nenegativnog cjelobrojnog eksponenta. Prošireni sadržaj: dijeljenje potencija baze 10 nenegativnog cjeleobrojnog eksponenta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenike upoznati s koeficijentom, bazom i eksponentom potencije.  Zbrajati i oduzimati istovrsne potencije ili množiti potencije u jednostavnim izrazima.  Primjer jednostavnoga izraza:    ili , koeficijenti su cijeli brojevi. 

OŠ MAT. B. 6. 1 

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Analizira problemsku situaciju u skupovima  i Z i zapisuje ju linearnom jednadžbom. 

Rješava jednadžbu koja se svodi na oblik ax=b, gdje su a i b nenegativni racionalni ili cijeli brojevi, primjenjujući ekvivalentnost jednadžbi. 

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom u problemskoj situaciji prikazuje razlomkom.  

Primjenjuje ekvivalentnost razlomaka za određivanje nepoznatoga brojnika ili nazivnika. 

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica. Računa mjeru nepoznatoga kuta u trokutu i četverokutu. Rješava jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.                              Provjerava točnost rješenja jednadžbe. Preispituje smislenost rješenja i tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Prošireni sadržaj: Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom.

Primjenom ekvivalencije jednadžbi složeniju linearnu jednadžbu svodi na oblik ax=b i rješava uz provjeru.

Sadržaj:Jednadžbe oblika ax=b.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rješavati jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti. Izražavati nepoznatu veličinu iz jednostavne jednadžbe, npr. ax = b, a = b/x, x = b/a, gdje su a i b nenegativni racionalni ili cijeli brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija (priprema za biologiju, kemiju i fiziku).

OŠ MAT. C. 6. 1 

Konstruira kut i njegovu simetralu.

Prepoznaje i opisuje kut, vrh kuta i krak kuta te kutni stupanj. 

Konstruira kutove od 60˚, 120˚, 30˚, 90˚ i njihove kombinacije primjenjujući svojstva simetrale kuta.  

Prenosi kut.  

Procjenjuje mjeru nacrtanih kutova. 

Prošireni sadržaj: Konstruira trokutu upisanu kružnicu. 

Uredno i precizno konstruira kutove od 30˚ i 90˚. 

Obrazlaže konstrukciju.

Sadržaj: Kut. Simetrala kuta. Konstrukcije kutova 60˚, 120˚, 30˚, 90˚.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Procjenjivati mjere nacrtanih kutova. U prostoru se može fizički približno okretati za određeni kut. Ponuditi učeniku gotovu konstrukciju kuta kako bi prepoznao o kojemu je kutu riječ. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. C. 6. 2 

Konstruira trokute, analizira njihova svojstva i odnose.

Otkriva i obrazlaže postojanje rokuta. 

Klasificira trokute s obzirom na mjere kutova. 

Skicira i konstruira trokute prema SSS, KSK i SKS poučcima o sukladnosti. 

Opisuje sukladnost trokuta. 

Otkriva i crta visine svih vrsta trokuta. 

Istražuje odnos stranica i kutova u trokutu te odnos vanjskoga i unutarnjih kutova trokuta. 

Prošireni sadržaj: Konstruira opisanu i upisanu kružnicu trokutu. 

Konstruira četiri karakteristične točke trokuta (Eulerov pravac).

Crta visine trokuta. Istražuje i opisuje odnos stranica i kutova u trokutu. Uočavanjem sukladnih stranica prepoznaje sukladne trokute. 

Sadržaj:Trokut. Odnosi stranica i kutova trokuta. Visina trokuta. Sukladnost trokuta. Tri osnovne konstrukcije trokuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Nije potrebno dokazivati poučke o sukladnosti. Trokute konstruirati precizno i uredno uz prethodno prostoručno skiciranje. Na skici označiti potrebne elemente i planirati po njoj konstrukciju trokuta. Istražiti vezu između dvaju unutarnjih i nasuprotnoga vanjskog kuta trokuta. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. C. 6. 3 

Konstruira četverokute, analizira njihova svojstva i odnose

Na osnovi uočenih svojstava i odnosa stranica, kutova i dijagonala paralelograma opisuje, skicira i konstruira kvadrat, pravokutnik, paralelogram i romb.  

Opisuje kružnicu kvadratu i pravokutniku. 

Klasificira četverokute s obzirom na paralelnost njihovih stranica. 

Prošireni sadržaj: Opisuje i crta trapez, deltoid i vitoper.         

Korelacija s Tehničkom kulturom.

Opisuje, skicira i konstruira paralelogram i romb primjenjujući svojstva njihovih stranica i kutova uz obrazloženje. 

Sadržaj: Četverokuti - konstrukcija kvadrata, pravokutnika, paralelograma i romba. Prošireni sadržaj: crtanje/konstrukcija trapeza i deltoida.       

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: : Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. D. 6. 1 

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen tekućine, površinu ( ) i mjeru kuta, mjeri temperaturu primjenjujući ih pri rješavanju problema. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi)

Preračunava mjerne jedinice povezujući ih s primjerima iz okruženja. 

Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen tekućine, površinu, mjeru kuta. 

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Duljina: km, m, dm, cm, mm. Masa: t, kg, dag, g, mg. Volumen tekućine: hl, l, dl, ml.  Vrijeme: s, min, h, dan, tjedan, mjesec, godina. Mjera kuta: kutni stupanj, kutna minuta.  Površina: . Mjeriti temperaturu. 

OŠ MAT. D. 6. 2 

Računa i primjenjuje opseg i površinu trokuta i četverokuta te mjeru kuta. 

Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova (trokuta i paralelograma). 

Istražuje i primjenjuje zbroj mjera kutova u trokutu i četverokutu. 

Uz prethodnu procjenu samostalno i sigurno računa, opseg i površinu paralelograma. 

Otkriva, obrazlaže i primjenjuje formulu za površinu pravokutnoga trokuta.

Sadržaj: Površina i opseg trokuta i paralelograma. Zbroj mjera unutarnjih kutova trokuta i četverokuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Dokazati tvrdnje o zbroju mjera kutova u trokutu i četverokutu. Računati opsege i površine u problemskim situacijama iz okruženja. Potaknuti učenike da sami pronalaze problemske situacije iz okruženja. Prije računanja procjenjivati veličine kad je god moguće. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. D. 6. 3

OŠ MAT.  A. 6. 9 

Primjenjuje računanje postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti. 

Povezuje postotak, osnovnu vrijednost i postotni iznos u problemskoj situaciji.  

Računa postotni iznos zadanoga postotka i osnovne vrijednosti.  

Analizira promjenu postotnog iznosa s obzirom na promjenu osnovne vrijednosti uz isti postotak. 

Primjenjuje računanje postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti u problemima.  

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje. 

Računa postotni iznos zadane osnovne vrijednosti. Analizira promjenu postotnog iznosa s obzirom na promjenu osnovne vrijednosti uz isti postotak. 

Sadržaj: Postotak. Postotni iznos.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Osnovna vrijednost može biti novčani iznos, duljina, masa, skupina djece, zdrava i nezdrava hrana ... Stalno se koristiti procjenom i paziti na smislenost rješenja. Računati PDV zadane osnovne vrijednosti. Poticati mentalno računanje 1 %, 10 %, 20 %, 25 %, 50 %, 100 %, 200 % kada je osnovna vrijednost višekratnik broja 100.

OŠ MAT. D. 6. 4 

Pridružuje cijele i pozitivne racionalne brojeve točkama brojevnoga pravca.

Pridružuje točke pravca cijelim i racionalnim brojevima (ishodište, jedinična dužina, jedinična točka, koordinata točke).  

Očitava koordinatu točke, opisuje njezin položaj na brojevnome pravcu te matematički zapisuje.  

Prošireni sadržaj:  

Računski i grafički određuje koordinatu polovišta dužine na brojevnom pravcu. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom. 

Organizira brojevni pravac i pridružuje pozitivne razlomke jednakih nazivnika točkama pravca. Procjenjuje položaj pozitivnog racionalnoga broja u odnosu na najbliže cijele brojeve. 

Sadržaj:Cijeli brojevi i brojevni pravac.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Smještati na brojevni pravac pozitivne razlomke nazivnika manjega od 10.

OŠ MAT. D. 6. 5 

U pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama.

Organizira pravokutni koordinatni sustav u ravnini (ishodište, jedinične dužine, koordinate točke, koordinatne osi, kvadranti).  

Povezuje koordinate točke i uređeni par cijelih brojeva. 

Opisuje elemente koordinatnoga sustava.  

Očitava i crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama uz odgovarajući zapis matematičkim jezikom. 

Prepoznaje i tumači pripadnost točke kvadrantima i koordinatnim osima.  

Crta likove određene točkama s cjelobrojnim koordinatama. 

Grafički rješava matematičke probleme. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom. 

U koordinatnom sustavu u ravnini crta točke zadane cjelobrojnim koordinatama. Uočava ovisnost predznaka cjelobrojnih koordinata točke i pripadnosti točke kvadrantu.

Sadržaj: Pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Uređeni par. Točke s cjelobrojnim koordinatama.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Stvarati likove i slike, dopunjavati likove s uvjetom osne i centralne simetrije. Igre: šah, potapanje brodova. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. E. 6. 1 

Prikazuje podatke tablično te linijskim i stupčastim dijagramom frekvencija.

Prikuplja i razvrstava podatke e određuje frekvencije razvrstanih podataka. Prikazuje podatke tablično, linijskim i stupčastim dijagramom frekvencija. 

Prošireni sadržaj: Računa aritmetičku sredinu brojčanih podataka i interpretira dobiveni rezultat. 

Korelacija s Geografijom i Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje.

Određuje frekvencije razvrstanih podataka potrebne za grafički prikaz. 

Prikupljene podatke prikazuje linijskim dijagramom frekvencija. 

Sadržaj: Prikupljanje, prikazivanje i tumačenje podataka. Prikazivanje podataka tablično, linijskim i stupčastim dijagramom frekvencija

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovaj ishod bilo bi korisno ostvariti analizom stvarnih istraživanja tijekom nekoga razdoblja (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, tjelesno i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane ...). Čitati podatke iz dvostrukoga linijskoga grafa (gustoća naseljenosti, vodostaj rijeka). Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Matematika – na kraju 7. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT. A. 7. 1 

OŠ MAT. D. 7. 6 

Računa postotak i primjenjuje postotni račun. 

Prepoznaje, opisuje i povezuje elemente postotnoga računa: postotak, postotni iznos i osnovnu vrijednost u problemskoj situaciji.  

Primjenjuje postotni račun pri rješavanju problema iz stvarnoga života te za rješavanje matematičkih problema. 

Korelacija s Geografijom, Kemijom i Biologijom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj

Povezuje elemente postotnog računa. Računa postotak i osnovnu vrijednost u jednostavnoj problemskoj situaciji uz obrazlaganje postupka. 

Sadržaj:Postotni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost rješavanja problema. 

Važno je postotni račun staviti u kontekst financijske pismenosti koja obuhvaća: poskupljenje, pojeftinjenje, procjenu realnosti/marketinškoga trika, bruto plaću, neto plaću, poreze. Također izuzetno je važan kontekst društvenih događanja kao praćenje izbora, referenduma, statističkih podataka kroz dnevne informacije i slično. Kritički prosuđivati relevantnost dobivenih rezultata. Ukazati na relativiziranje postotaka na različitim uzorcima.

OŠ MAT. A. 7. 2 

Opisuje i primjenjuje znanstveni zapis broja. 

Povezuje predmetke mjernih jedinica s decimalnim zapisom i potencijom baze 10 i cjelobrojnim eksponentom.  

Opisuje znanstveni zapis broja kao umnožak koeficijenta (broj između 1 i 10) i potencije baze 10, prepoznaje ga i zapisuje.  

Prelazi iz znanstvenoga zapisa broja u standardni i obratno uz obrazloženje. 

Primjenjuje znanstveni zapis broja u izražavanju jako malih/velikih veličina.

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom.

Prepoznaje i opisuje znanstveni zapis broja. Pretvara standardni zapis broja u znanstveni. Primjenjuje množenje s potencijama baze 10 i cjelobrojnih eksponenata u problemu.

Sadržaj:Znanstveni zapis broja

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Povezivati predmetke mjernih jedinica sa zapisom potencije baze 10 i cjelobrojnim eksponentom: deci  , centi  , m ili  ,  mikro  , nano  , piko , deka  , hekto  , kilo  , mega  , giga  , era . Preračunavati mjerne jedinice koristeći se potencijama baze 10 i cjelobrojnim eksponentom (1 km = 1000 m =   m, 1 m = 0.001 km =  km, 40 000 km = 4 ∙   km, 1 mikrometar =  m =  mm).

OŠ MAT. A. 7. 3 

Primjenjuje različite zapise racionalnih brojeva

Koristeći se matematičkim jezikom opisuje, predočava i primjenjuje jednakost između različitih zapisa racionalnih brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, pravih razlomaka, nepravih razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila). 

Odabire prikladan zapis pri rješavanju brojevnih izraza i problemskih situacija.

Odabire pogodan oblik zapisa racionalnoga broja u brojevnim izrazima. 

Sadržaj:Zapis racionalnog broja.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati učenika da mentalno računajući prelazi između različitih zapisa pozitivnih racionalnih brojeva. Odnos skupova N, Z i Q prikazivati Vennovim dijagramom. 

OŠ MAT. A. 7. 4 

Primjenjuje uspoređivanje racionalnih brojeva. 

Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju racionalnih brojeva.  

Uspoređuje racionalne brojeve različitoga zapisa. 

Odabire prikladan zapis u kontekstu.  

Reda po veličini racionalne brojeve koristeći se produženom nejednakošću.  

Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Spretno odabire prikladan zapis pri uspoređivanju dvaju racionalnih brojeva u rješavanju problemskih situacija

Sadržaj:Uspoređivanje racionalnih brojeva

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri uspoređivanju razlomaka ne treba pretjerivati s velikim nazivnicima. Poticati procese zaokruživanja i procjene pogreške zaokruživanja.

OŠ MAT. A. 7. 5 

Primjenjuje računanje s racionalnim brojevima. 

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dva jednaka racionalna broja s pojmom kvadrata) i dijeli racionalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Prošireni sadržaj: Rješava složeni dvojni razlomak.

Samostalno računa vrijednost brojevnoga izraza primjenjujući svojstva računskih operacija.

Sadržaj: Računanje racionalnim brojevima. Kvadriranje racionalnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri odabiru zadataka u skupu racionalnih brojeva veću pažnju posvetiti zadatcima s decimalnim zapisom. Poticati učenika da mentalno računajući kvadrira pogodne racionalne brojeve.

OŠ MAT. B. 7. 1 

Računa s algebarskim izrazima u Q. 

Opisuje monom i binom. Pojednostavnjuje algebarske izraze (eksponenata u rezultatu ne većih od 3) u skupu racionalnih brojeva zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem, primjenjujući svojstva računskih operacija.  

Množi monom binomom i binom binomom.

Množi monom binomom. Zbraja i oduzima algebarske izraze. Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane cjelobrojne vrijednosti.

Sadržaj: Množenje monoma monomom. Množenje binoma binomom. Pojednostavljivanje algebarskih izraza.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Učenike podsjetiti na ispuštanje znakova za množenje u monomu s koeficijentom. Pri odabiru zadataka u skupu racionalnih brojeva pažnju posvetiti zadatcima s decimalnim zapisom racionalnoga broja.

OŠ MAT. B. 7. 2 

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu. 

Analizira problemsku situaciju i zapisuje ju linearnom jednadžbom.  

Rješava jednadžbu koja se svodi na oblik ax+b=0, gdje su a i b racionalni brojevi, primjenjujući ekvivalentnost jednadžbi. 

Odnos dviju veličina prikazanih omjerom prikazuje razlomkom.  

Primjenjuje ekvivalentnost razlomaka za određivanje nepoznatog brojnika ili nazivnika.  

Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica, visina, polumjera i promjera kruga. Računa mjeru nepoznatoga kuta u trokutu i četverokutu. Računa elemente postotnoga računa. Rješava jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti. Provjerava točnost i preispituje smislenost rješenja.Izražava nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe oblika ax = b, gdje su a i b racionalni brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija. Rješava jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

Prošireni sadržaj: Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Složeniju linearnu jednadžbu, primjenom ekvivalencije jednadžbi, svodi na oblik ax+b=0 i rješava ju uz provjeru. 

Sadržaj: Linearna jednadžba. Linearna jednadžba s apsolutnom vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Nije potrebno zadavati komplicirane jednadžbe, naglasak je na oblikovanju jednadžbi iz zadanoga problema i njihovu rješavanju uz provjeru smislenosti rješenja te raspravi o rješenju. Izražavati nepoznatu veličinu iz jednostavne jednadžbe, npr: ax = b, a = b/x, x = b/a, gdje su a i b racionalni brojevi, koristeći se vezom između računskih operacija (priprema za biologiju, kemiju i fiziku). Rješavati jednostavne jednadžbe s apsolutnom vrijednosti. 

OŠ MAT. B. 7. 3 

Primjenjuje proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost.

Prepoznaje i opisuje proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine. 

U situacijama iz stvarnoga života prepoznaje i objašnjava proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost. 

Određuje i tumači koeficijent proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti.  

Povezuje koeficijent proporcionalnosti s omjerom dviju proporcionalnih veličina. 

Koristi se svojstvima proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti pri rješavanju problemskih situacija. 

Preispituje smislenost rješenja s obzirom na kontekst. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom, Biologijom i Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi)

Primjenjuje obrnutu proporcionalnost u jednostavnim problemskim situacijama iz stvarnoga života. Tumači odnos veličina u problemu. 

Sadržaj: Proporcionalnost. Koeficijent proporcionalnosti.Obrnuta proporcionalnost.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati intuitivni pristup rješavanju problema proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti. Povezivati i iskazivati koeficijent proporcionalnosti kao omjer dviju proporcionalnih veličina, a koeficijente obrnute proporcionalnosti kao umnožak obrnuto proporcionalnih veličina. Opisivati i prikazivati složene mjerne jedinice (km/h, m/s, g/cm3, kg/ m3, stanovnika/ ). Preračunavati valute. Također je potrebno raspravljati o smislenost rješenja problema. 

OŠ MAT. B. 7. 4 

Primjenjuje linearnu ovisnost.

Prepoznaje i objašnjava linearnu ovisnost veličina iz stvarnoga života.  

Oblikuje tablicu pridruženih vrijednosti linearno zavisnih podataka.  

Povezuje zavisnu i nezavisnu veličinu u problemskoj situaciji.  

Zapisuje linearnu ovisnost formulom y=ax+b, gdje su a i b racionalni brojevi.   

Prikazuje linearnu ovisnost grafički u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini. 

Analizira promjenu u linearnoj ovisnosti.  

Uspoređuje i diskutira prikaze dviju različitih linearnih ovisnosti na istom grafu.  

Linearnom ovisnošću modelira i rješava probleme.  

Prošireni sadržaj: Povezuje linearnu ovisnost s linearnom funkcijom. 

Korelacija s Informatikom i Fizikom. 

Oblikuje tablicu pridruženih vrijednosti linearno zavisnih podataka. Grafički prikazuje i analizira promjenu u linearnoj ovisnosti. 

Sadržaj: Linearna ovisnost. Grafički prikaz linearne ovisnosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. 

Naglasak je na proučavanju međusobno zavisnih veličina, na prevođenju uočene situacije linearne ovisnosti u algebarski zapis, tumačenju grafičkog prikaza linearne ovisnosti i analizi promjene. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. C. 7. 1 

Crta i konstruira mnogokute i koristi se njima pri stvaranju složenijih geometrijskih motiva

Prepoznaje mnogokute u okruženju.  

Opisuje mnogokut (stranice, unutarnje i vanjske kutove, dijagonale, središnji kut pravilnoga mnogokuta).  Razlikuje pravilne i nepravilne mnogokute, konveksne i nekonveksne.  

Opisuje središnji kut i crta karakteristični trokut. 

Konstruira pravilne mnogokute. Pronalazi i opisuje particije (trokut, paralelogram) nepravilnoga mnogokuta. 

Skicira, crta ili konstruira nepravilni mnogokut. 

Korelacija s Tehničkom kulturom. 

Skicira i crta nepravilni mnogokut, analizira ga i ističe uočene particije (trokut, paralelogram). 

Sadržaj:Mnogokuti. Pravilni mnogokuti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Nepravilni mnogokuti mogu biti: tlocrti, nacrti, bokocrti, mreže geometrijskih tijela, oblici složeni od pravilnih mnogokuta, Cilj je osposobiti učenika da motiv koji se temelji na mnogokutu zna opisati, analizirati i rekonstruirati crtežom ili konstrukcijom. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Istražiti povijesne crtice povezane s arhitekturom i likovnom umjetnošću.

OŠ MAT. C. 7. 2 

Crta, zbraja i oduzima vektore.

Crta i opisuje vektor, njegov smjer, orijentaciju i duljinu.  

Analizira njegova svojstva koristeći se matematičkim jezikom.  

Prepoznaje i crta jednake i suprotne vektore, opisuje nul-vektor.  

Zbraja i oduzima vektore u ravnini.  

Zbraja dva vektora uz obrazloženje. 

Sadržaj: Vektori. Zbroj i razlika vektora.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ostvariti ishod integriranom nastavom s fizikom ukoliko je moguće.  

OŠ MAT. C. 7. 3 

Translatira skupove točaka u ravnini. 

Translatira skupove točaka u ravnini (točke, dužine, pravca, trokuta, četverokuta, kruga i kružnice) za zadani vektor.  

Prepoznaje i opisuje lik nastao translacijom.  

Translacijom stvara složene slike. 

Prošireni sadržaj: Istražuje međusobne odnose dviju kružnica u ravnini. 

Translatira rokut i četverokut.

Sadržaj:Translacija skupova točaka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 7. 1 

Pridružuje očke pravca racionalnim brojevima

Pridružuje točke pravca racionalnim brojevima.   

Očitava i zapisuje koordinatu točke te opisuje njezin položaj u koordinatnom sustavu na pravcu koristeći se matematičkim jezikom.  

Organizira koordinatni sustav na pravcu. 

Procjenjuje položaj racionalnoga broja u odnosu na najbliže cijele brojeve. 

Prošireni sadržaj: Računski i grafički određuje koordinatu polovišta dužine u koordinatnom sustavu na pravcu. 

Istražuje i prikazuje u koordinatnom sustavu na pravcu pripadnost intervalu.  

Zapisuje matematičkim jezikom i prikazuje u koordinatnom sustavu na pravcu otvoreni, poluotvoreni, zatvoreni interval. 

Samostalno organizira koordinatni sustav na pravcu i pridružuje razlomke jednakih nazivnika točkama pravca.  

Procjenjuje položaj racionalnoga broja u odnosu na najbliže cijele brojeve.

Sadržaj: Racionalni brojevi i brojevni pravac. Koordinatni sustav na pravcu. Prošireni sadržaj: Koordinate polovišta dužina na koordinatnom sustavu na pravcu. Intervali.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. D. 7. 2 

U koordinatnom sustavu u ravnini crta točke s racionalnim koordinatama i stvara motive koristeći se njima.

Crta i opisuje koordinatni sustav u ravnini. 

Crta i očitava točke pomoću njihovih koordinata. 

Crta geometrijske oblike određene pomoću koordinata točaka koje ih određuju.  

Dopunjava i stvara transformirane slike (osna i centralna simetrija, translacija). 

Grafički rješava matematičke probleme. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Očitava i crta točke u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini zadane racionalnim koordinatama. Prema zapisu pomoću koordinata prepoznaje i tumači pripadnost točke kvadrantima i koordinatnim osima. 

Sadržaj:Pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Racionalne koordinate točaka u koordinatnoj ravnini.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate, edukativne igrice.

OŠ MAT. D. 7. 3 

Bira strategije za računanje opsega i površine mnogokuta. 

Opisuje i računa opseg i površinu nepravilnih i pravilnih mnogokuta. 

Otkriva, obrazlaže i primjenjuje formulu za površinu pravilnog mnogokuta koristeći se površinom karakterističnog trokuta. 

Argumentira odabir strategije za računanje opsega i površine mnogokuta u problemskoj situaciji. 

Korelacija s Fizikom i Kemijom

Otkriva, obrazlaže i primjenjuje formulu za površinu pravilnoga mnogokuta. 

Računa opseg i površinu pravilnoga mnogokuta.

Sadržaj: Površina i opseg mnogokuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. Zadavati problemske situacije računanja opsega i površine koje se tiču problema iz stvarnoga života. Potaknuti učenike da sami pronalaze problemske situacije iz okruženja. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 7. 4 

Računa i primjenjuje opseg i površinu kruga i njegovih dijelova.

Istražuje i računa opseg i površinu kruga i njegovih dijelova. 

Objašnjava ulogu i svojstva broja  п. 

Modelira površinama i opsezima geometrijskih oblika (krug i dijelovi, kružnica i dijelovi, kružni vijenac, mnogokuti) rješavanje problemske situacije.  

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Računa opseg i površinu kruga koristeći se formulom uz objašnjenje. Rezultat zaokružuje.

Sadržaj:Opseg kruga. Površina kruga. Duljina kružnog luka. Površina kružnog isječka i kružnog vijenca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. 

U računanju se mogu koristiti aproksimacije 3.14 ili 22/7. Računati površinu kružnoga isječka i duljinu kružnoga luka primjenom proporcionalnosti. Istražiti povijesne crtice o broju π. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 7. 5 

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice. 

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen (cm3, dm3, m3), površinu i mjeru kuta. 

Odabire pogodnu mjernu jedinicu pri rješavanju problema. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom, Biologijom i Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi)

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen (cm3, dm3, m3), površinu i mjeru kuta povezujući ih s primjerima iz okruženja. 

Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen ( ), površinu i mjeru kuta. 

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Duljina: km, m, dm, cm, mm. Masa: t, kg, dag, g, mg. Volumen tekućine: hl, l, dl, ml. Vrijeme: s, min, h, dan, tjedan, mjesec, godina. Površina: km2, m2, dm2, cm2, mm2. Volumen: cm3, dm3, m3. Mjere kuta: kutni stupanj i kutna minuta. 

OŠ MAT. E. 7. 1 

Organizira i analizira podatke prikazane dijagramom relativnih frekvencija.

Prikuplja, razvrstava podatke i određuje frekvencije i relativne frekvencije razvrstanih podataka.  

Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom relativnih frekvencija. 

Analizira rezultate i raspravlja o njima. 

Donosi odluke na osnovu prikazanih i analiziranih podataka. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom, Biologijom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje. 

Određuje relativne frekvencije razvrstanih podataka potrebne za grafički prikaz. Prikupljene podatke prikazuje stupčastim dijagramom relativnih frekvencija i tumači prikaz. 

Sadržaj: Frekvencija. Graf frekvencije. Relativna frekvencija. Graf relativne frekvencije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovaj ishod bilo bi korisno ostvariti analizom stvarnih istraživanja tijekom nekoga razdoblja (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, tjelesno i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane...). Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Matematika – na kraju 8. razreda osnovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

OŠ MAT. A. 8. 1 

Računa s korijenima.

Objašnjava pojam drugoga korijena nenegativnoga racionalnog broja. 

Mentalno računa drugi korijen pogodnoga nenegativnog racionalnog broja.  

Procjenjuje najbliži cjelobrojni iznos drugoga korijena nenegativnoga racionalnog broja do 20 koji nije potpuni kvadrat uz objašnjenje. 

Povezuje drugi korijen nenegativnoga racionalnog broja s kvadratom prirodnogaa broja do 100 koristeći se tablicom. 

Korjenuje umnožak i količnik primjenjujući pravilo.  

Istražuje i otkriva postupak djelomičnoga korjenovanja. 

Djelomično korjenuje i pojednostavljuje izraze s korijenima. 

Primjenjuje računanje s korijenima. 

 Prošireni sadržaj: Racionalizira nazivnik

Procjenjuje najbliži cjelobrojni iznos drugoga korijena nenegativnoga racionalnog broja do 20. Korjenuje umnožak i količnik. 

Množi i dijeli korijene. 

Povezuje drugi korijen nenegativnoga racionalnog broja s kvadratom prirodnoga broja do 100 koristeći se tablicom. 

Sadržaj:Drugi korijen. Korjenovanje umnoška i količnika. Djelomično korjenovanje.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati učenika da objašnjava da svaki nenegativan racionalan broj ima jedinstven nenegativni racionalni korijen čiji je kvadrat početni racionalni broj.

OŠ MAT. A. 8. 2 

Računa s potencijama racionalne baze i nenegativnoga cjelobrojnog eksponenta

Mentalno računa kvadrate prirodnih brojeva do 20.  

Povezuje zapis višestrukog množenja racionalnoga broja s potencijom racionalne baze i nenegativnoga cjelobrojnog eksponenta. 

Potenciji racionalne baze i eksponenta nula pridružuje broj 1.  

Množi i dijeli s potencijama jednakih racionalnih baza i i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata u jednostavnim izrazima.  

Potencira potenciju. 

Kvadrira umnožak i količnik. 

Argumentira uočeno pravilo računanja s potencijama racionalnih baza i nenegativnih cjelobrojnih eksponenata. 

Računa s podacima prikazanim znanstvenim zapisom. 

Računa vrijednost potencije racionalne baze i nenegativnoga cjelobrojnog eksponenta, uz uporabu džepnoga računala. Potenciji racionalne baze i eksponenta nula pridružuje broj 1.

Sadržaj: Potencija nenegativnog cjelobrojnog eksponenta. Množenje i dijeljenje potencija nenegativnog cjelobrojnog eksponenta. Potenciranje potencije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Istražiti povijesne crtice povezane s potencijom. 

OŠ MAT. A. 8. 3 

Prepoznaje odnose među skupovima N, Z, Q, I i R te raspravlja o pripadnosti rješenja jednadžbe skupu brojeva. 

Imenuje i opisuje skupove brojeva N, Z, Q, I i R i njihove odnose (podskup, presjek, komplement).  

Navodi karakteristične primjere brojeva iz pojedinoga skupa, presjeka skupova ili njegova komplementa. 

Određuje pripadnost rješenja jednadžbe skupu brojeva.  

Određuje pripadnost brojeva skupu. Prikazuje odnose među skupovima Vennovim dijagramom. 

Raspravlja o pripadnosti rješenja skupovima N, Z, Q, I i R. 

Prošireni sadržaj: Istražuje vezu između nazivnika racionalnoga broja i njegovog decimalnoga zapisa. 

Razlikuje racionalne od iracionalnih brojeva i povezuje iste brojeve različitoga zapisa. Matematičkim jezikom zapisuje pripadnost brojeva skupu. 

Sadržaj: Skupovi brojeva. Prošireni sadržaj:Vrste decimalnog zapisa racionalnih brojeva.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. B. 8. 1 

Računa s algebarskim izrazima u R. 

Pojednostavnjuje algebarske izraze u skupu R zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem, primjenjujući svojstva računskih operacija. 

Množi monom binomom i binom binomomom. 

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza. 

Izlučuje zajednički faktor. 

Pojednostavnjuje algebarske izraze. 

Prikazuje veličine matematičkim formulama. 

Množi binom binomom. Zbraja i oduzima algebarske izraze. 

Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane racionalne vrijednosti. 

Sadržaj: Pojednostavljivanje algebarskih izraza. Računanje algebarskim izrazima.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri odabiru zadataka u skupu racionalnih brojeva veću pažnju posvetiti zadatcima s decimalnim zapisom. 

OŠ MAT. B. 8. 2 

Primjenjuje razmjer.

Opisuje razmjer (proporciju) kao ekvivalentnost dva omjera.  
Razlikuje vanjske i unutarnje članove razmjera te računa bilo koji nepoznati član razmjera. 

Primjenjuje razmjer u rješavanju problema iz matematike, drugih područja i stvarnoga života. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Problemsku situaciju prikazuje jednostavnim razmjerom i rješava ga. Utvrđuje smislenost rješenja.

Sadržaj: Razmjer. Rješavanje razmjera.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Složeni razmjer uključuje dva složena omjera. Složeni omjer je umnožak n jednostavnih omjera. Primjer: 5x:(x+3)=2:1   

Moguća istraživanja u arhitekturi i umjetnost, proporcije u prirodi, zlatni rez… Istražiti povijesne crtice o proporciji. Mogućnost integrirane nastave s kemijom, fizikom, geografijom.  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. B. 8. 3 

Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu. 

Analizira problemsku situaciju i zapisuje ju linearnom jednadžbom.  

Koristi se opsegom, površinom, oplošjem, volumenom, razmjerom, Pitagorinim poučkom, Talesovim poučkom za računanje nepoznatih elemenata likova, tijela, oblika, mjerivih obilježja. 

Raspravlja o rješenju s obzirom na postavljene uvjete. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom. 

Složeniju linearnu jednadžbu, primjenom ekvivalencije jednadžbi, svodi na oblik ax+b=0 i rješava ju uz provjeru. 

Sadržaj: Linearna jednadžba.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema.

OŠ MAT. B. 8. 4 

Rješava i primjenjuje sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. 

Analizira rješenje sustava te ga uvrštavanjem dobivenih vrijednosti provjerava.  

Rješenje prikazuje uređenim parom brojeva.     

U zadanim problemima prepoznaje mogućnost rješavanja sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama.  

Ako je sustav složeniji, svodi ga na standardni oblik i rješava zadanom/proizvoljnom metodom. 

Raspravlja o egzistenciji dobivenog rješenja (jedinstvenost, nepostojanje, beskonačno mnogo rješenja). 

Rješava sustav zadanom metodom uz provjeravanje ispravnosti dobivenoga rješenja. Objašnjava postupak koji provodi. 

Sadržaj: Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Koeficijenti sustava su iz skupa R (uglavnom iz skupa Q). Jednostavan sustav podrazumijeva sustav standardnoga oblika s koeficijentima iz skupa Q. 

OŠ MAT. B. 8. 5 

Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu

Opisuje kvadratnu jednadžbu oblika 

, gdje je k nenegativan racionalni broj i razlikuje je od linearne jednadžbe.  

Primjenjuje kvadratnu jednadžbu za rješavanje problemskih situacija i u svrhu prikazivanja veličina matematičkim formulama. 

Rješava kvadratnu jednadžbu oblika 

, gdje je k nenegativan racionalni broj. Tumači postojanje dva rješenja. 

Sadržaj: Kvadratna jednadžba .

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Može se koristiti džepno računalo ukoliko je za tumačenje rješenja potrebna aproksimacija.

OŠ MAT. C. 8. 1 

Skicira prikaz uspravnoga geometrijskog tijela u ravnini. 

Prostoručno skicira uspravna geometrijsk ijela u ravnini (kocka, kvadar, pravilna četverostrana prizma, pravilna četverostrana piramida, valjak i stožac). 

Matematičkim jezikom opisuje geometrijsko tijelo. 

Na crtežu skicira i matematičkim jezikom opisuje elemente geometrijskoga tijela 

(plošna i prostorna dijagonala, visina pobočke, visina tijela, polumjer i promjer baze, izvodnice). 

U ravnini skicira prikaze geometrijskih oblika. 

Prošireni sadržaj: Na modelu kvadra istražuje međusobne odnose pravaca u prostoru (usporednost, okomitost, mimoilaznost). Na modelu istražuje međusobne odnose ravnina u prostoru (usporednost, okomitost). 

Korelacija s Kemijom, Biologijom i Tehničkom kulturom. 

Prostoručno skicira prikaz pravilne četverostrane prizme i valjka u ravnini. Na crtežu ističe i matematičkim jezikom opisuje elemente kocke, kvadra, četverostrane prizme i valjka. 

Sadržaj: Geometrijska tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. C. 8. 2 

Analizira i izrađuje modele i mreže uspravnih geometrijskih tijela

Prema modelu uspravnoga geometrijskog ijela (kocka, kvadar, pravilna četverostrana prizma i pravilna četverostrana piramida, valjak i stožac) opisuje plohe koje ga omeđuju i na osnovi toga izrađuje mrežu tijela koja će mu biti potrebna za određivanje njegova oplošja.  

Izrađuje modele uspravnih geometrijskih tijela.  

Promatra tijela koja ga okružuju, imenuje ih, opisuje, analizira i crta njihove mreže. 

Korelacija s Tehničkom kulturom. 

Povezuje mrežu geometrijskoga tijela s modelom. 

Opisuje matematičkim jezikom vrhove, bridove i strane geometrijskoga tijela. 

Sadržaj: Mreža geometrijskog tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Mogući projektni zadatak: izraditi modele kuće, zanimljive kutije/ambalaže, ukrase, Platonova, Arhimedova tijela. 

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. C. 8. 3 

Primjenjuje Talesov poučak.

Otkriva i izriče Talesov poučak. 

Primjenom Talesovoga poučka dijeli dužinu na sukladne dijelove i točkom u zadanome omjeru. 

Primjenjuje Talesov poučak za crtanje trokuta i pravokutnika.  

Matematičkim jezikom opisuje sličnost trokuta i mnogokuta.  

Opisuje svojstva sličnih likova. 

Primjenjuje Talesov poučak za rješavanje problemske situacije. 

Primjenjuje Talesov poučak za crtanje trokuta i pravokutnika. Opisuje svojstva sličnih likova. 

Sadržaj: Talesov poučak. Sličnost trokuta i mnogokuta. Primjena Talesovog poučka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati urednost i preciznost konstrukcije i crteža. Poticati učenike da primijene Talesov poučak za konstruiranje (ili crtanje) uvećanih (ili umanjenih) slika (likova) u zadanome omjeru. Moguća istraživanja: Pronalaziti sličnost na objektima u okruženju, graditeljstvu, umjetnosti. Istražiti povijesne crtice. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. 

OŠ MAT. C. 8. 4 

 
Prikazuje međusobne odnose dviju kružnica u ravnini. 

Opisuje i konstruira koncentrične kružnice. 

Opisuje kružni vijenac, diralište i sjecište. 

Konstruira motive primjenom različitih odnosa kružnica u ravnini.  

Razlikuje međusobne odnose kružnica u ravnini. 

Konstruira dvije kružnice koje se dodiruju. 

Konstruira dvije kružnice na zadanoj udaljenost. 

Istražuje odnose polumjera kružnica i udaljenosti njihovih središta pa donosi zaključke.

Konstruira motive primjenom različitih odnosa kružnica u ravnini. Razlikuje međusobne odnose dviju kružnica u ravnini. 

Sadržaj: Međusobni položaji kružnica u ravnini.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Poticati urednost i preciznost konstrukcije. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 8. 1 

Primjenjuje Pitagorin poučak.

U problemskim/geometrijskim situacijama uočava pravokutni trokut. Izriče Pitagorin poučak. 

Objašnjava i primjenjuje Pitagorin poučak na pravokutni trokut, kvadrat, pravokutnik, jednakostranični i jednakokračni trokut, romb.  

Istražuje i otkriva obrat Pitagorinoga poučka i primjenjuje ga. 

Izriče Pitagorin poučak i zapisuje matematičkim jezikom. 

Primjenjuje Pitagorin poučak za računanje nepoznatih elemenata kvadrata i pravokutnika.

Sadržaj: Pitagorin poučak. Pitagorin poučak na kvadratu, pravokutniku, jednostraničnom trokutu, jednakokračnom trokutu  i rombu. Primjena Pitagorinog poučka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. Poželjno je istražiti bogatu povijest Pitagorinoga poučka te Pitagorinoga života. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Moguća istraživanja: Spirala drugog korijena, Pitagorino stablo, Pitagorine trojke.

OŠ MAT. D. 8. 2 

Primjenjuje oplošje i volumen geometrijskih tijela. 

Opisuje oplošje i volumen nacrtanoga geometrijskog tijela. 

Oplošje povezuje s mrežom geometrijskog tijela. 

Uočava i opisuje elemente tijela i veze među njima (uključujući visinu i izvodnice).  

Objašnjava volumen kao mjeru prostora koje zauzima tijelo.  

Primjenjuje računanje oplošja i volumena geometrijskih ijela u problemskim situacijama. 

Istražuje i otkriva odnose volumena prizme i piramide. 

Primjenjuje računanje oplošja i volumena pravilne četverostrane prizme i valjka u jednostavnoj problemskoj situaciji. 

Objašnjava volumen kao mjeru prostora koje zauzima tijelo. 

Sadržaj: Geometrijska tijela. Pravilne, uspravne prizme i piramide, obla tijela. Oplošje i volumen pravilnih uspravnih prizmi, piramida, valjka i stošca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 8. 3 

Prikazuje pravce i analizira njihove međusobne položaje u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini. 

Crta pravac zadan jednadžbom oblika y=ax+b, gdje su a i b racionalni brojevi, u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini. 

Čita i tumači koeficijente jednadžbe pravca. 

Određuje jednadžbu pravca određenoga dvjema točkama ili grafičkim prikazom.  

Određuje i očitava koordinate presjeka pravaca.  

Međusobne odnose pravaca u ravnini povezuje s njihovim jednadžbama (usporednost, podudarnost). 

Prošireni sadržaj: Primjenjuje međusobne odnose pravaca za tumačenje broja rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom i Biologijom

Provjerava pripadnost točke pravcu.Povezuje koeficijente jednadžbe pravca s njegovim položajem u koordinatnom sustavu u ravnini. Računski i grafički određuje sjecište dvaju pravaca. 

Sadržaj: Jednadžba pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Međusobni položaji pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Prošireni sadržaj:Grafičko tumačenje rješenja sustava dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

OŠ MAT. D. 8. 4 

Odabire i preračunava pogodne mjerne jedinice.

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen ( ), površinu i mjeru kuta. 

Odabire pogodnu mjernu jedinicu pri rješavanju problema. 

Koristi se znanstvenim zapisom. 

Korelacija s Geografijom, Fizikom, Kemijom, Biologijom i Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi). 

Preračunava mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen ( ), površinu i kut povezujući ih s primjerima iz okruženja. 

Prikazuje mjeriva obilježja znanstvenim zapisom. 

Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme, volumen (cm3, dm3, m3), površinu i mjeru kuta. 

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Duljina: km, m, dm, cm, mm. Masa: t, kg, dag, g, mg. Volumen tekućine: hl, l, dl, ml.  Vrijeme: s, min, h, dan, tjedan, mjesec, godina. Površina: . Volumen: Brzina: m/s, km/h. Mjera kuta: kutni stupanj, kutna minuta. Povezivati predmetke mjernih jedinica sa zapisom potencije baze 10 i cjelobrojnim eksponentom – deci  , centi  , mili  ,  mikro  , nano  , piko , deka  , hekto  , kilo  , mega  , giga  , era .

OŠ MAT. E. 8. 1 

Računa vjerojatnost događaja i na osnovi nje donosi odluke.

Opisuje vjerojatnost slučajnoga događaja.  

Razlikuje skup povoljnih događaja od skupa elementarnih događaja.  

Procjenjuje i računa vjerojatnost zadanoga događaja. 

Računajući vjerojatnost  donosi odluke. 

Razlikuje skup povoljnih događaja od skupa elementarnih događaja. 

Sadržaj: Vjerojatnost slučajnoga događaja.  

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema

OŠ MAT. E. 8. 2 

Interpretira podatke povezane s novcem te na osnovi toga donosi odluke.

Koristi se tečajnom listom.  

Interpretira tečajnu listu (kupovni, srednji prodajni tečaj).  

Preračunava valute. 

Opisuje pojam kamate na štednju i kamate na kredit na primjeru iz stvarnoga života.  

Uspoređuje i tumači kamate na stambeni i gotovinski kredit. 

Interpretira otplatnu tablicu kredita uzetu s mrežnih stranica banke za zadane rokove. 

Na temelju podataka s mrežnih stranica banke računa omjer (postotak) novčanog iznosa kojega je vratio otplatom kredita i kreditnoga zaduženja.   

Donosi odluke na emelju analiziranih podataka.  

Korelacija s Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim emama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje. 

Opisuje pojam kamate na štednju i kamate na kredit na primjeru iz stvarnoga života. Uspoređuje i tumači kamate na stambeni i gotovinski kredit.

Sadržaj:Novac. Kamate na štednju. Krediti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema.

Matematika – na kraju 1. razreda gimnazije učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.1.1

SŠ MAT. E.1.1

Računa s realnim brojevima

Računa vrijednosti brojevnih izraza
poštujući redoslijed računskih
operacija.
Procjenjuje, zaokružuje i računa u
problemskim situacijama različitih
razina složenosti.
Računa aritmetičku sredinu
statističkih podataka prikazanih na
različite načine.

Rješava jednostavne
probleme uz procjenu
rješenja.

Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Trgovina je naručila 700 kutija keksa. Dvadeset posto narudžbe je čajno pecivo, a tri sedmine narudžbe su keksi s čokoladom. Ostalo su napolitanke. Koliko je kutija pojedine vrste naručila trgovina?

SŠ MAT. A.1.2

SŠ MAT. B.1.1

Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta

Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed
računskih operacija.
Navodi i objašnjava pravila za
zbrajanje, množenje, dijeljenje i
potenciranje potencija te ih
primjenjuje za pojednostavljivanje
izraza i povezuje ih s problemima iz
drugih područja i života.
Zaokružuje broj na značajne
znamenke.
Korelacija s Kemijom.

Računa vrijednost
jednostavnih brojevnih
izraza s potencijama.

Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale.
Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno metara u sekundi, a godina ima 365 dana.

SŠ MAT. B.1.2

Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima

Za zadani izraz računa konkretne
vrijednosti, pojednostavljuje izraz,
primjenjuje formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata, faktorizira
izraze, krati, množi, dijeli i zbraja
jednostavne algebarske razlomke

Množi i dijeli
jednostavne algebarske
razlomke

Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri računanju s algebarskim razlomcima ne treba inzistirati na složenim zadatcima, već na razumijevanju i primjeni pravila.

Primjer jednostavnih algebarskih razlomaka: , ,

SŠ MAT. B.1.3

Primjenjuje proporcionlnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave

Primjenjuje postotni račun za
obračun poreza, carine, promjene
cijena, opise udjela i druge  robleme
iz života. Primjenjuje  proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života. Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi. Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.

Prošireni sadržaj:
Diskutira postojanje rješenja
jednadžbe ovisno o parametru,
rješava jednostavne linearne
jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Rješava problem
zapisujući ga u obliku
linearne jednadžbe ili
sustava jednadžbi.

Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Prošireni sadržaj: Jednadžbe s parametrom. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavni problemi: Povećanje/sniženje za određeni postotak, izračun postotka, primjena proporcionalnosti u jednome koraku, račun diobe, problemi koji se izravno svode na linearnu jednadžbu.

SŠ MAT. B.1.4

Primjenjuje linearne nejednadžbe

Rješava linearne nejednadžbe i
sustave nejednadžbi te rješenje
zapisuje pomoću intervala.
Primjenjuje linearne nejednadžbe u
problemskim situacijama.
Prošireni sadržaj:

Rješava jednostavne linearne
nejednadžbe s apsolutnom
vrijednošću.

Rješava linearne
nejednadžbe zapisujući
rješenje na različite
načine.

Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.

Prošireni sadržaj: Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina.
a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz.
b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte
lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha.
c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto?
d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?

SŠ MAT. B.1.5

SŠ MAT. D.1.1

Povezuje različite prikaze linearne funkcije

Zadanu linearnu funkciju prikazuje
tablično i grafički. Opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku. Iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju. Iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju.

Prošireni sadržaj:
Crta graf funkcije apsolutne
vrijednosti.

Interpretira koeficijente
linearne funkcije.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Prošireni sadržaj: Graf funkcije apsolutne vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

SŠ MAT. B.1.6

Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema

U problemskim situacijama
prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema.
Analizira problem iz grafičkoga
prikaza.

Iz zadanih podataka
linearnu ovisnost
zapisuje kao linearnu
funkciju.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka otvorenoga tipa:

Osmislite zadatak koji je prikazan zadanim grafom (slika u dokumentu u prilogu). Napišite neka pitanja koja možete postaviti na osnovi podataka vidljivih s grafa, a povezano sa zadatkom. Odgovorite na ta pitanja.

SŠ MAT. B.1.7

Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi pomoću intervala.

Nejednakosti zapisuje pomoću
intervala i obrnuto te prikazuje na
brojevnome pravcu.
Primjenjuje i prikazuje podskup,
uniju, presjek i razliku skupova
realnih brojeva zapisujući ih
matematičkim simbolima.

Određuje i prikazuje
presjek i uniju skupova.

Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Zadani su skupovi brojeva: A je skup realnih brojeva manjih ili jednakih 3, a B je skup realnih brojeva većih od 3 i manjih od 15.
Zapišite skupove pomoću intervala i prikažite ih na brojevnome pravcu.
Za svaku tvrdnju odredite je li točna ili netočna i obrazložite:

SŠ MAT. C.1.1

Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta

Definira i konstruira simetralu dužine, simetralu kuta, visinu i težišnicu te karakteristične točke trokuta. Uočava da težište dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1.
Analizira položaj karakterističnih
točaka ovisno o vrsti trokuta.
Prošireni sadržaj:
Otkriva formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.

Definira i konstruira
središte opisane
kružnice.

Sadržaj: Karakteristične točke trokuta.

Prošireni sadržaj: Formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.

SŠ MAT. C.1.2

SŠ MAT. D.1.2

Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta

Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti
i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina, primjenjuje ih u modeliranju problema.
Određuje, obrazlaže i primjenjuje
odnose površina, opsega i drugih
veličina u sličnim trokutima.
Primjenjuje Heronovu formulu pri
računanju površine trokuta.
Kroz primjere zadataka upoznaje
povijest matematike.

Prošireni sadržaj:
Rješava probleme rabeći Euklidov
poučak o pravokutnome trokutu.
Crtice iz povijesti: Tales, Euler,
Heron, Pitagora.

Rješava jednostavne
probleme rabeći Talesov
poučak o
proporcionalnosti dužina
i sličnost trokuta

Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.

Prošireni sadržaj: Euklidov poučak

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Objasnite kako je Tales pomoću sjene izmjerio visinu piramide. Izračunajte na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.

SŠ MAT. D.1.3

Primjenjuje trigonometrijske omjere

Primjenjuje trigonometrijske omjere
pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u
planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, romb).
Prošireni sadržaj:
Paralelogram, trapez, deltoid

Primjenjuje
trigonometrijske omjere
u pravokutnome trokutu
za određivanje
nepoznatih veličina

Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.

Prošireni sadržaj: Primjena trigonometrijskih omjera na paralelogram, trapez i deltoid.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednostavni problemi: problemi koji se izravno svode na pravokutan trokut, problemi s likovima koji se rješavaju izravno, uočavanjem pravokutnoga trokuta.
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi.

IZBIRNI ISHOD

SŠ MAT. C.1.

SŠ MAT. D.1.

Računa s vektorima

Prepoznaje, opisuje i rabi elemente
vektora. Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu određuje duljinu vektora. Prikazuje vektor kao linearnu kombinaciju vektora.
Prošireni sadržaj:
Računa mjeru kuta između vektora

Opisuje odnose između
dvaju vektora, određuje
koordinate vektora
zadanoga točkama u koordinatnome sustavu.
Računa duljinu vektora.

Sadržaj: Vektori. Operacije s vektorima. Vektori u koordinatnom sustavu. Linearna kombinacija vektora.

Prošireni sadržaj: Kut između vektora.

Matematika – na kraju 2. razreda gimnazije učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 2.1

Računa s drugim i trećim korijenom

Procjenjuje i računa približnu
vrijednost drugoga i trećega korijena
koristeći džepno računalo.
Računa s izrazima s drugim i trećim
korijenom poštujući redoslijed
računskih operacija.
Djelomično korjenuje izraz.
Prošireni sadržaj:
Racionalizira nazivnik razlomka

Drugi korijen
negativnoga broja
prikazuje pomoću
imaginarne jedinice

Sadržaj: Drugi i treći korijen. Imaginarna jedinica.

Prošireni sadržaj: Racionalizacija nazivnika.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Računati približnu vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo.
Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru:

Primjer izraza s drugim korijenom:

Primjer izraza s trećim korijenom:

Prošireni sadržaj: Racionalizirati nazivnik razlomka oblika .

SŠ MAT. B. 2.1

Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu

Bira metodu i rješava kvadratne
jednadžbe s racionalnim koeficijentima.
Primjenjuje diskriminantu pri
određivanju prirode rješenja kvadratne jednadžbe.
Faktorizira trinom.
Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu.
Modelira problemsku situaciju te
određuje rješenja.
Prošireni sadržaj:
Vièteove formule.
Korelacija s Fizikom i Informatikom

Učinkovito rješava
kvadratnu jednadžbu.
Argumentira prirodu
rješenja kvadratne
jednadžbe

Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.

Prošireni sadržaj: Vièteove formule.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu: bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu i iracionalne jednadžbe oblika

Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.
Primjer: Ne rješavajući jednadžbu odredite prirodu rješenja te jednadžbe

SŠ MAT. B. 2.2

Analizira funkciju

Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja.
Računski određuje domenu
jednostavnih racionalnih i iracionalnih funkcija. Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju. Na primjeru skupa prepoznaje bijekciju.

Objašnjava pojam
funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Bijekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Bijekciju definirati i prepoznati na primjerima skupova (prikaz Veenovim dijagramom)
Sliku funkcije odrediti računski samo za linearne i kvadratne funkcije.

Jednostavne racionalne funkcije oblika su .
Jednostavne iracionalne funkcije oblika su .

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2.3

SŠ MAT. C. 2.1

Analizira grafički prikaz funkcije

Grafički prikazuje funkcije

I . Na grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije i objašnjava bijekciju.
Skicira graf inverzne funkcije

Pomoću grafičkoga
prikaza funkcije
određuje domenu,
kodomenu i sliku
funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Grafički prikazati funkciju funkcije

i određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable x.

Graf inverzne funkcije skicirati preslikavajući funkciju preko pravca y = x.

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2.4

SŠ MAT. C. 2.2

Primjenjuje kvadratnu funkciju

Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme parabole, os simetrije, tijek funkcije.
Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima.
Očitava točke s grafa funkcije. Rješava jednostavne kvadratne nejednadžbe.
Pri grafičkome prikazivanju kvadratne funkcije objašnjava oblik funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.
Prošireni sadržaj:
Određuje funkciju iz grafa

Grafički prikazuje
kvadratnu funkciju.

Sadržaj: Kvadratna funkcija. Grafički prikaz kvadratne funkcije. Tjeme i nultočke. Kvadratna nejednadžba.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
Učenik će grafički prikazati funkciju oblika translacijom i funkciju oblika metodom pet točaka (nultočke, tjeme parabole, sjecište s ordinatom, preslikavanje sjecišta s ordinatom preko osi simetrije).
Problemska situacija uključuje probleme s ekstremima te određivanje sjecišta kvadratne i linearne funkcije.

Primjer:

Praćenjem prodaje nekoga proizvoda ustanovljeno je da se prodaja može opisati kvadratnom funkcijom gdje je x cijena proizvoda a f(x) broj prodanih komada proizvoda po cijeni x.

Koliko će se proizvoda prodati ako je cijena 30 kuna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?
Za koju je cijenu prodaja toga proizvoda isplativa?
Kolika mora biti cijena ako trgovac želi prodati više od 45 komada toga proizvoda?
Za koju će cijenu prodaja toga proizvoda biti maksimalna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?
Isplati li se taj proizvod prodavati po cijeni od 15 kuna?

Jednostavne kvadratne nejednadžbe oblika , , .

SŠ MAT. C. 2.3

SŠ MAT. D. 2.1

Primjenjuje kružnicu i krug

Primjenjuje poučak o obodnome i
središnjem kutu pri dokazu Talesovog poučka.
Konstruira tangentu na kružnicu.
Uz pomoć proporcionalnosti izvodi
formule za duljinu kružnoga luka i
površinu kružnoga isječka.
Povezuje duljinu kružnoga luka s
radijanskom mjerom kuta.
Prošireni sadržaj:
Površina kružnoga odsječka.

Konstruira tangentu na
kružnicu.

Sadržaj: Kružnica i krug. Kružni luk i kružni isječak. Poučak o obodnom i središnjem kutu.

Prošireni sadržaj: Površina kružnoga odsječka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Otkrivati i obrazlagati formule.

SŠ MAT. C. 2.4

SŠ MAT. D. 2.2

Primjenjuje poučak o sinusima i poučak o kosinusu

Povezuje trigonometrijske omjere u
pravokutnome trokutu s koordinatama točke na kružnici.
Računa površinu trokuta.
Primjenjuje poučke u problemskim
zadatcima.
Prošireni sadržaj:
Primjena u stereometriji.

Rabi odgovarajući
poučak i argumentira
svoj izbor za računanje
elemenata trokuta.

Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu. Primjena u planimetriji.

Prošireni sadržaj: Primjena u stereometriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Izostaviti zadatke u kojima se primjenjuju adicijske formule. Izostaviti slučaj s dva moguća rješenja.
Vrijednosti sinusa i kosinusa za kutove od 90° do 180° uvode se na sljedeći način: (slika u dokumentu u prilogu)

SŠ MAT. C. 2.5

SŠ MAT. D. 2.3

Analizira položaj pravaca i ravnina u prostoru i računa udaljenost

Razlikuje točku, pravac, ravninu te
analizira i objašnjava međusobne
položaje.
Određuje ortogonalnu projekciju
geometrijskoga objekta.
Računa udaljenosti točaka, pravaca, ravnina.

Određuje ortogonalnu
projekciju

Sadržaj: Geometrija prostora. Ortogonalna projekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Koristiti se modelima, mrežama ili skicama geometrijskih tijela.
Pri određivanju udaljenosti koristiti se dosad stečenim znanjima (Pitagorin poučak, trigonometrijski omjeri…).

SŠ MAT. C. 2.6

SŠ MAT. D. 2.4

Računa volumen i oplošje geometrijskih tijela

Prepoznaje i opisuje uspravnu prizmu (četverostrana, pravilna šesterostrana), piramidu (četverostrana, pravilna
šesterostrana), valjak, stožac i kuglu.
Računa elemente (duljine bridova,
volumen, oplošje, polumjer baze…)
prizme, valjka, piramide, stošca, kugle te rotacijskih tijela.
Prošireni sadržaj:
Platonova tijela.

Računa volumen i
oplošje prizme i valjka

Sadržaj: Geometrijska tijela. Oplošje i volumen geometrijskih tijela.

Prošireni sadržaj: Platonova tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ovaj ishod treba obraditi nakon poučka o sinusima.
Otkrivati formule za volumen prebacujući vodu (ili rižu, pijesak…) iz šuplje piramide/stošca u šuplju prizmu/valjak sukladnih baza i visine.

SŠ MAT. E. 2.1

Barata podatcima prikazanim na različite načine. Crta brkatu kutiju

Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom, histogramom, dijagramom stablo – list, linijskim dijagramom itd.
Određuje srednje vrijednosti (mod,
medijan, donji i gornji kvartil) te
standardnu devijaciju.
Crta brkatu kutiju.
Korelacija s Geografijom,
Informatikom, Kemijom i Biologijom.

Iščitava podatke iz
grafičkoga prikaza.

Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Prikazivanje mjera dijagramom brkate kutije omogućava lakšu interpretaciju tih mjera i lakšu usporedbu više skupova istovrsnih podataka.
Primjer: Mjerenjem mase petnaest bjeloglavih supova dobiveni su sljedeći podatci o masama jedinki:
7.5, 7.8, 9.1, 9.3, 9.1, 8.2, 7.5, 7.5, 7.3, 8.2, 8.3, 8.8, 9.8, 7.3, 9.7.
Odredite statističke parametre (aritmetička sredina, mod, medijan, donji i gornji kvartil, standardnu devijaciju).
Objasnite značenje standardne devijacije na primjeru toga uzorka bjeloglavih supova.
Prikažite statističke parametre toga uzorka dijagramom brkate kutije.

SŠ MAT. E. 2.2

Primjenjuje vjerojatnost

Opisuje siguran i nemoguć događaj.
Rabi algebru događaja (unija, presjek,komplement) za određivanje
vjerojatnosti.
Određuje geometrijsku vjerojatnost.

Primjenjuje klasičnu
definiciju vjerojatnosti.

Sadržaj: Vjerojatnost. Klasična definicija vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost.

IZBORNI ISHOD

SŠ MAT. A. 2.

Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

Prikazuje kompleksan broj u
algebarskome obliku i u Gaussovoj
ravnini.
Zbraja, oduzima, množi i dijeli
kompleksne brojeve.
Određuje i prikazuje konjugirano
kompleksan broj i modul
kompleksnoga broja.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.

Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Modul kompleksnog broja. Gaussova ravnina.

Matematika – na kraju 3. razreda gimnazije učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 3.1

SŠ MAT. B. 3.1

Primjenjuje pravila za računanje s potencijama racionalnog eksponenta

Prelazi iz prikaza potencije
racionalnoga eksponenta u prikaz
korijenom i obrnuto.
Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnoga računala.
Računa s potencijama racionalnoga
eksponenta.

Računa vrijednost
potencija racionalnoga
eksponenta.

Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta.

SŠ MAT. B. 3.2

SŠ MAT. C. 3.1

Analizira eksponencijalnu i logaritamsku funkciju

Određuje domenu, kodomenu, sliku,
rast i pad, inverznu funkciju
eksponencijalne i logaritamske
funkcije ( , , ) i crta graf.

Prošireni sadržaj:
Baza prirodnoga logaritma (e),

Crtice iz povijesti: Euler, Napier.

Grafički prikazuje
logaritamsku i
eksponencijalnu
funkciju.

Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prošireni sadržaj: Baza prirodnoga logaritma (e).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočava „inverznu“ vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac y = x.

SŠ MAT. B. 3.3

SŠ MAT. C. 3.2

Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju

Modelira problemsku situaciju,
određuje i provjerava rješenja te im
utvrđuje smislenost.
Prošireni sadržaj:
Crtice iz povijesti: Briggsove i
Napierove logaritamske tablice,
Korelacija s Kemijom i Biologijom.

U problemu opisanome
eksponencijalnom i
logaritamskom
funkcijom računa
vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena eksponencijalne i logaritamske funkcije.

SŠ MAT. B. 3.4

Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom

Navodi i primjenjuje svojstva
potencija i logaritama, računa
vrijednosti jednostavnih logaritamskih izraza, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.
Rješava jednostavne eksponencijalne i
logaritamske jednadžbe.
Modelira problemsku situaciju,
određuje i provjerava rješenja te im
utvrđuje smislenost.

Rješava eksponencijalne
i logaritamske jednadžbe
izravnom primjenom
definicije

Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

SŠ MAT. B. 3.5

SŠ MAT. C. 3.3

Primjenjuje svojstva trigonometrijskih funkcija

Definira trigonometrijske funkcije
broja na brojevnoj kružnici, otkriva
svojstva i koristi ih za računanje
vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Rabi džepno računalo.
Prošireni sadržaj:
Trigonometrijski identiteti. Crtice iz
povijesti: podrijetlo imena
trigonometrijskih funkcija

Uočava svojstva
trigonometrijskih
funkcija.

Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski identiteti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija (sinx i cosx), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s tgx , osi kotangensa s  ctgx. Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani).

SŠ MAT. B. 3.6

SŠ MAT. C. 3.4

Analizira graf trigonometrijske funkcije

Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih
trigonometrijskih funkcija.
Grafički prikazuje trigonometrijske
funkcije: , , , ,

,

Korelacija s Fizikom.

Određuje svojstva
trigonometrijskih
funkcija ,

Sadržaj: Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.

SŠ MAT. B. 3.7

SŠ MAT. C. 3.5

Primjenjuje trigonometrijske funkcije

Analizira probleme opisane
trigonometrijskom funkcijom i
primjenjuje trigonometrijske funkcije
za modeliranje.

U problemu opisanome
trigonometrijskom
funkcijom računa
vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer problema opisanoga trigonometrijskom funkcijom: Duljina dana opisana je formulom:

, pri čemu je t dan u godini (t=0 je 1. siječnja), Konstanta K određena je geografskom širinom mjesta.

a) Kolika je duljina dna 22. 2. u Dubrovniku (K=6)

b) Koji dan u veljači traje 11 sati?

c) Koji je dan najkraći, a koji najdulji?

SŠ MAT. B. 3.8

Primjenjuje trigonometrijske jednadžbe

Osnovne trigonometrijske jednadžbe
rješava grafički ili na brojevnoj
kružnici

Rješava trigonometrijske
jednadžbe

,

Sadržaj: Trigonometrijske jednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: U nekome mjestu na moru određenoga dana plima je u ponoć i podne, a oseka u 6 i 18 sati. Razina mora, u odnosu na uobičajenu, za vrijeme plime je 5.11 m, a za vrijeme oseke (-0.17). Odredite:
a) Koja će razina mora biti u 10 sati?
b) U koliko će sati poslije podne razina mora biti 0?

SŠ MAT. C. 3.6

SŠ MAT. D. 3.1

Primjenjuje računanje s vektorima

Prepoznaje, opisuje i koristi elemente vektora.
Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu,
određuje duljinu vektora, računa
skalarni umnožak vektora i primjenjuje ga za uvjet okomitosti vektora.
Primjenjuje svojstva vektora u
problemskim zadatcima.
Prošireni sadržaji:
Rastavlja vektore koristeći linearnu
kombinaciju vektora (računski ili
grafički).

Računa s vektorima
(zbraja, oduzima i množi
skalarom) prikazanima
na razne načine.

Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora. Okomiti vektori. Linearna kombinacija vektora.

SŠ MAT. B. 3.9

SŠ MAT. C. 3.7

SŠ MAT. D. 3.2

Primjenjuje jednadžbu pravca

Prepoznaje, opisuje i crta pravac u
koordinatnome sustavu iz njegove
jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.
Računa mjeru kuta pravca s
pozitivnim dijelom apscise i povezuje ga s koeficijentom smjera.
Crta i određuje pravce paralelne s
koordinatnim osima.
Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.
Prošireni sadržaj: Pravac regresije.

Korelacija s Kemijom.

Interpretira koeficijente
u jednadžbi pravca.

Sadržaj: Jednadžba pravca. Kut između pravaca. Udaljenost točke od pravca.

SŠ MAT. B. 3.10

SŠ MAT. C. 3.8

SŠ MAT. D. 3.3

Primjenjuje jednadžbu kružnice

Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz
nje pronalazi duljinu polumjera i
koordinate središta kružnice i obrnuto.
Iz grafičkoga prikaza pronalazi
jednadžbu kružnice.
Određuje grafički ili računski
jednadžbu kružnice u posebnome
položaju (dodiruje jednu ili obje
koordinatne osi) ili koncentrične
kružnice.

Iz općega oblika jednadžbe kružnice određuje središte i polumjer kružnice.

Prošireni sadržaji:
Ispituje međusobni položaj pravca i
kružnice. Tangenta na kružnicu.

Iz zadanih uvjeta
određuje jednadžbu
kružnice.

Sadržaj: Jednadžba kružnice.

Prošireni sadržaji: Međusobni položaj pravca i kružnice. Tangenta na kružnicu.

SŠ MAT. E. 3.1

Rješava problem i bira strategiju rabeći kombinatoriku

Prepoznaje i opisuje osnovne principe prebrojavanja, permutacije,
kombinacije i varijacije.
Objašnjava, računa i daje primjer
permutacija, kombinacija i varijacija.
Ilustrira i rješava problem rabeći
kombinatoriku.

Rješava probleme rabeći
kombinacije i varijacije
bez ponavljanja i
permutacije.

Sadržaj: Kombinatorika. Osnovni princip prebrojavanja. Permutacije, kombinacije i varijacije.

IZBORNI ISHOD

SŠ MAT. B. 3.

SŠ MAT. C. 3.

Primjenjuje jednadžbe elipse, hiperbole i parabole

Prepoznaje jednadžbu elipse,
hiperbole i parabole i iz nje pronalazi nepoznate elemente krivulje i obrnuto.
Iz grafičkoga prikaza ili zadanih
uvjeta pronalazi jednadžbu elipse,
hiperbole i parabole.

Prošireni sadržaji:
Konstrukcija elipse, hiperbole i
parabole. Crtice iz povijesti:
čunjosječice.

Iz zadanih uvjeta
određuje jednadžbu
elipse, hiperbole,
parabole.

Sadržaj: Jednadžba elipse, hiperbole i parabole.

Prošireni sadržaji: Konstrukcija elipse, hiperbole i parabole.

Matematika – na kraju 4. razreda gimnazije učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 4.1

Računa s kompleksnim brojevima

Zapisuje kompleksan broj u
algebarskome i trigonometrijskome
obliku.
Zbraja, oduzima, množi i potencira u
odgovarajućemu obliku, po potrebi
koristeći De Moivreovu formulu.
Prošireni sadržaj:
Korjenuje kompleksne brojeve.

Prikazuje kompleksan
broj u
trigonometrijskome
obliku.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Računske operacije s kompleksnim brojevima. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. De Moivreova formula.

Prošireni sadržaj: Korijen kompleksnog broja.

SŠ MAT. A. 4.2

SŠ MAT. C. 4.1

Interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

Prikazuje kompleksan broj u
Gaussovoj ravnini, određuje i
prikazuje konjugirano kompleksan
broj i modul kompleksnoga broja.
Rješenja jednostavnih jednadžbi i
nejednadžbi grafički prikazuje u
Gaussovoj ravnini.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.
Prošireni sadržaj:
Rješenja jednadžbe, primjerice

prikazuje u Gaussovoj ravnini.

Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Gaussova ravnina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednostavne jednadžbe i nejednadžbe: , , , .

SŠ MAT. B. 4.1

Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz

Opisuje aritmetički i geometrijski niz, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza, posebno složeni kamatni račun.

Razlikuje aritmetički i
geometrijski niz te
određuje član niza
zadanoga rekurzivno ili
općim članom.

Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati.
Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina?
Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?

SŠ MAT. B. 4.2

Računa limes niza

Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.
Prošireni sadržaj:
Neprekidno ukamaćivanje.

Opisuje pojam
monotonosti i
omeđenosti niza.

Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.

Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.