Na temelju članka 27. stavka 9. Zakona o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi („Narodne novine“, broj: 87/08, 86/09, 92/10, 105/10-ispravak, 90/11, 16/12, 86/12, 94/13, 152/14, 7/17 i 68/18) ministrica znanosti i obrazovanja donosi
ODLUKU O DONOŠENJU KURIKULUMA ZA NASTAVNI PREDMET MATEMATIKA ZA SREDNJE STRUKOVNE ŠKOLE NA RAZINI 4.2. U REPUBLICI HRVATSKOJ
Ukupno komentara:
Ukupno općih komentara:
Ukupno nadopuna teksta:
2
Komentiraj
I.
Ovom Odlukom donosi se kurikulum za nastavni predmet Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2. u Republici Hrvatskoj.
0
Komentiraj
II.
Sastavni dio ove Odluke je kurikulum nastavnog predmeta Matematika.
0
Komentiraj
III.
Početkom primjene ove Odluke stavljaju se izvan snagedijelovi nastavnih planova i okvirnih nastavnih programa, kao i odluke vezane uz nastavni predmet Matematika u programima obrazovanja i strukovnim kurikulumima na razini 4.2 kako bi se obuhvatili svi programi obrazovanja i strukovni kurikulumi.
Izvan snage se stavljaju sljedeći dokumenti:
◊Nastavni planovi i okvirni nastavni programi općeobrazovnih predmeta za srednje strukovne četverogodišnje škole koji se odnose na nastavni predmet Matematika (Glasnik Ministarstva prosvjete i športa Republike Hrvatske, Posebno izdanje, broj 11, Zagreb, lipanj 1997.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije agrotehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije prehrambeni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 74/2017.)
◊Odluka o donošenju nastavnog plana i okvirnog nastavnog programa za stjecanje srednje stručne spreme u području rada prehrana za zanimanje tehničar nutricionist u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Prosvjetni vjesnik, Glasilo Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa, Posebno izdanje, Broj 1, Godina VI., Zagreb, od 22. srpnja 2004.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije drvodjeljski tehničar dizajner u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊Odluka o zajedničkom i posebnom stručnom dijelu nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u području rada Geologija, rudarstvo i nafta za zanimanja naftno rudarski stručni radnik i naftno rudarski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju naftno rudarski tehničar (Klasa: 602-03/07-05/00078; Urbroj:533-09-07-0002, od 27. studenog 2007.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije ekološki tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 77/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije modni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 68/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar modelar obuće i kožne galanterije u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 68/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije web dizajner u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije medijski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 89/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije strojarski računalni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 84/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za vozila i vozna sredstva u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije zrakoplovni tehničar ZIM u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/10-10/00004; Urbroj: 533-09-10-0004, od 24. svibnja 2010.)
◊Odluka o uvođenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije tehničar za brodostrojarstvo u obrazovnom sektoru strojarstvo, brodogradnja i metalurgija u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 113/2014.)
◊Nastavni planovi i okvirni programi za područje strojarstva (A), Glasnik Ministarstva prosvjete i športa, broj 7, listopad 1996., u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju strojarski tehničar
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije zrakoplovni tehničar IRE u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/10-10/00004; Urbroj:533-09-10-0004, od 24. svibnja 2010.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za elektroniku u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za računalstvo u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za mehatroniku u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar geodezije i geoinformatike u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 79/2016.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije klesarski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 58/2017.)
◊Odluka o programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada ekonomija i trgovina za zanimanja komercijalist i upravni referent u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju komercijalist (Klasa: UP/I-602-03/05-05/0007, Urbroj: 533-09-05-02, od 26. travnja 2005.)
◊Odluka o izmjenama i dopunama nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u području ekonomije i trgovine za zanimanje administrativni tajnik i promjeni naziva zanimanja u poslovni tajnik u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/04-05/05, Urbroj: 533-09-04-5, od 27. kolovoza 2004.)
◊Odluka o programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada ekonomija i trgovina za zanimanja komercijalist i upravni referent u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju upravni referent (Klasa: UP/I-602-03/05-05/0007, Urbroj: 533-09-05-02, od 26. travnja 2005.)
◊Nastavni planovi i okvirni programi za područje ugostiteljstva i turizma, Glasnik Ministarstva prosvjete i športa, Posebno izdanje, Broj 8A, lipanj 97. do rujan 98. u zanimanju hotelijersko-turistički tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika
◊Odluka o donošenju nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u obrazovnom sektoru Promet i logistika, zanimanje tehničar za logistiku i špediciju u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/08-05/00025; Urbroj: 533-09-08-0002, od 14. travnja 2008.)
◊Odluka o izmjenama i dopunama posebnog stručnog dijela Nastavnog plana i programa za zanimanje Tehničar cestovnog prometa u obrazovnom sektoru Promet i logistika u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/11-05/00060; Urbroj: 533-09-11-0008, od 13.lipnja 2011.)
◊Odluka o izmjenama i dopunama strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije pomorski nautičar u obrazovnom sektoru Promet i logistika u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/13-05/00062; Urbroj: 533-21-13-0004, od 2. svibnja 2016.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za jahte i marine u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za poštanske i financijske usluge u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije ekonomist u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊Odluka o nastavnom planu i programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada zračni promet za zanimanje zrakoplovni prometnik u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/06-05/00045, Urbroj: 533-09-06-02, od 14. lipnja 2006.)
◊Odluka o izmjenama i dopunama strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije medicinska sestra opće njege/medicinski tehničar opće njege u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/16-05/00082; Urbroj: 533-25-16-0004, od 13.lipnja 2016.)
◊Odluka o izmjeni naziva Nastavnog plana i programa za zanimanje primalja u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa:602-03/12-05/00100; Urbroj:533-21-12-0001, od 13. studenog 2012.)
◊Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije dentalna asistentica/asistent u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika(Klasa:602-03/11-05/00099; Urbroj:533-09-11-0002, od 22. kolovoza 2011.)
◊Odluka o izmjenama i dopunama zajedničkog i posebnog stručnog dijela nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme za zanimanje medicinski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika, Ministarstvo prosvjete i športa (Klasa: 602-03/01-01/1026; Urbroj: 532-02-02/4-01-1)
◊Odluka o izmjenama i dopunama posebnog stručnog dijela nastavnog plana i programa za zanimanje kozmetičar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa:602-03-11-05/00060; Urbroj:533-09-11-0009, od 13.lipnja 2011)
0
Komentiraj
IV.
Ova Odluka stupa na snagu osmoga dana od dana objave u „Narodnim novinama“, a primjenjuje se za učenike 1. razreda strukovne škole od školske godine 2019./2020., za učenike 2. i 3. razreda od školske godine 2020./2021., a za učenike 4. razreda od školske godine 2021./2022.
Klasa:
Urbroj:
Zagreb,
MINISTRICA
prof. dr. sc. Blaženka Divjak
0
Komentiraj
Prijedlog predmetnog kurikuluma Matematika za četverogodišnje strukovne škole za stjecanje kvalifikacije razine 4.2.
Brzi razvoj suvremenoga društva, kojemu je uvelike pridonijela i primjena matematike u svim njegovim područjima, ukazuje na važnost učenja matematike. Ona je jedan od čimbenika tehnološkoga napretka društva, a time i važan element poboljšanja kvalitete življenja
Matematika ima vrijednost i intelektualnu ljepotu, bogata je i poticajna. Zaokuplja i privlači ljude svih dobnih skupina, raznolikih interesa i sposobnosti. Igrala je i igra važnu ulogu u napretku društva u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti. Značajna je za svakodnevni život te je neophodna za razumijevanje svijeta koji nas okružuje i za upravljanje vlastitim životom. Učenje i poučavanje matematike omogućuje razvoj matematičkih znanja i vještina kojima će se učenici koristiti u osobnome, društvenome i profesionalnome životu.
Matematička pismenost prepoznata je kao jedan od važnih preduvjeta za razvoj životnih vještina pojedinca, primjenu matematičkih strategija, cjeloživotno učenje, otvorenost za uporabu novih tehnologija te ostvarivanje vlastitih potencijala. Učenje i poučavanje predmeta Matematika potiče kreativnost, preciznost, sustavnost, apstraktno mišljenje i kritičko promišljanje koje pomaže pri uočavanju i rješavanju problema iz svakodnevice i društvenoga okruženja.
Učenje i poučavanje nastavnoga predmeta Matematika ostvaruje se povezivanjem matematičkih procesa i domena. Ta dvodimenzionalnost očituje se u ishodima i doprinosi stjecanju matematičkih kompetencija. Matematički procesi su: Prikazivanje i komunikacija, Povezivanje, Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, Rješavanje problema i matematičko modeliranje te Primjena tehnologije. Domene predmeta Matematika su: Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.
Svijest pojedinca o posjedovanju kompetencija za rješavanje, kako osobnih tako i problemskih situacija u zajednici, daje mu mogućnost za djelovanje, potiče ga da bude koristan i odgovoran za napredak osobnoga, radnoga i socijalnoga okruženja. Kako bi se kod učenika postiglo razumijevanje matematičkih pojmova, procesa i koncepata, razvila kreativnost i sposobnost apstrahiranja, potrebno je poučavati od konkretnih, njima bliskih situacija k apstraktnomu modeliranju i opisivanju. Uostalom, i začeci matematike i matematičkoga načina razmišljanja proizašli su iz proučavanja pojava u prirodi, ljudskoga djelovanja u arhitekturi, umjetnosti, tehnologiji te potrebe da se to objasni. Poučavanje matematike je tijekom školovanja strukturirano pa se velika pozornost posvećuje postupnosti u prihvaćanju i usvajanju matematičkih znanja te uspostavljanju veza među njima. Takav pristup učenju i poučavanju matematike omogućuje svakomu učeniku pronalaženje osobnoga puta prema razvoju i primjeni matematičkoga razmišljanja. Učeći matematiku, učenici postaju svjesni vrijednosti vlastitih matematičkih kompetencija te su motivirani da ih i dalje aktivno razvijaju, izgrađuju i primjenjuju, kako u matematici tako i u ostalim područjima učenja i života.
Matematičke se kompetencije neprestano razvijaju kroz domene predmeta Matematika, ali i kroz druga područja odgoja i obrazovanja te kroz sve faze školovanja. Time je matematici osigurana stalna prisutnost i važna uloga u odgoju i obrazovanju učenika, stjecanju znanja i razvoju vještina i stavova. Na učiteljima je, ali i na učenicima, velika odgovornost za ostvarivanje načela kurikuluma, koji teži razvoju vrijednosti i generičkih kompetencija učenika.
Dobro i pravodobno usvojeni matematički koncepti potiču razumijevanje i snalaženje u različitim područjima kurikuluma. Isto tako, mnogi koncepti usvojeni u drugim područjima i drukčijim pristupom obogaćuju učenje i poučavanje u predmetu Matematika. Takvim načinom, stalnim korelacijama i integracijom unutar kurikuluma kroz cijelo školovanje učenici matematiku prihvaćaju kao dio okruženja, a matematičke kompetencije primjenjuju u različitim aspektima učenja i života.
0
Komentiraj
B. Odgojno-obrazovni ciljevi učenja i poučavanja predmeta
Učenici će temeljem usvojenih matematičkih znanja, vještina i procesa:
-primijeniti matematički jezik u usmenome i pisanome izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija upotrebljavajući različite načine prikazivanja matematičkih ideja, procesa i rezultata u matematičkome kontekstu i stvarnome životu
-samostalno i u suradničkome okruženju matematički rasuđivati logičkim, kreativnim i kritičkim promišljanjem i povezivanjem, argumentiranim raspravama, zaključivanjem, provjeravanjem pretpostavki i postupaka te dokazivanjem tvrdnji
-rješavati problemske situacije odabirom relevantnih podataka, analizom mogućih strategija i provođenjem optimalne strategije te preispitivanjem procesa i rezultata, po potrebi uz učinkovitu uporabu odgovarajućih alata i tehnologije
-razviti samopouzdanje i svijest o vlastitim matematičkim sposobnostima, upornost, poduzetnost, odgovornost, uvažavanje i pozitivan odnos prema matematici i radu općenito
-prepoznati povijesnu, kulturnu i estetsku vrijednost matematike njezinom primjenom u različitim disciplinama i djelatnostima kao i neizostavnu ulogu matematike u razvoju i dobrobiti društva.
0
Komentiraj
C. Struktura - procesi i domene predmetnog kurikuluma
Procesi u predmetnom kurikulumu
Matematički procesi su značajni na svim razinama obrazovanja te prožimaju sve domene kurikuluma nastavnog predmeta Matematika.
Organizirani su u pet skupina:
-Prikazivanje i komunikacija
-Povezivanje
-Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje
-Rješavanje problema i matematičko modeliranje
-Primjena tehnologije.
Prikazivanje i komunikacija
Učenici smisleno prikazuju matematičke objekte, obrazlažu rezultate, objašnjavaju svoje ideje i bilježe postupke koje provode. Pri tome koriste različite prikaze: riječi, crteže, makete, dijagrame, grafove, liste, tablice, brojeve, simbole i slično. U danoj situaciji odabiru prikladan prikaz, povezuju različite prikaze i prelaze iz jednog na drugi. Prikupljaju i tumače informacije iz raznovrsnih izvora.
Razvijanjem sposobnosti komuniciranja u matematici i o matematici učenici rabe jasan matematički jezik, razumiju njegov odnos prema govornom jeziku, slušaju i razumiju matematičke opise i objašnjenja drugih te razmjenjuju i sučeljavaju svoje ideje, mišljenja i stavove. Uspješna komunikacija doprinosi lakšem i bržem usvajanju novih sadržaja kako kurikuluma nastavnog predmeta Matematika, tako i kurikuluma ostalih nastavnih predmeta.
Povezivanje
Učenici uspostavljaju i razumiju veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikuju cjeline njihovim nadovezivanjem. Uspoređuju, grupiraju i klasificiraju objekte i pojave prema zadanom ili izabranom kriteriju. Povezuju matematiku s vlastitim iskustvom, prepoznaju ju u primjerima iz okoline i primjenjuju u drugim područjima kurikuluma. Time ostvaruju jasnoću, pozitivan stav i otvorenost prema matematici te povezuju matematiku s ostalim predmetima i životom tijekom procesa cjeloživotnog učenja.
Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje
Učenje matematike karakterizira razvoj i njegovanje logičkog i apstraktnog mišljenja. Poučavanjem i učenjem nastavnog predmeta Matematika učenici se suočavaju s izazovnim problemima koji ih potiču na promišljanje, argumentiranje i dokazivanje te donošenje samostalnih zaključaka. Učenici postavljaju matematici svojstvena pitanja te stvaraju i istražuju na njima zasnovane matematičke pretpostavke, uočene pravilnosti i odnose. Stvaraju i vrednuju lance matematičkih argumenata, zaključuju indukcijom i dedukcijom, analiziraju te primjenjuju analogiju, generalizaciju i specijalizaciju. Primjenjuju poznato u nepoznatim situacijama i prenose učenje iz jednog konteksta u drugi. Razvijaju kritičko mišljenje te prepoznaju utjecaj ljudskih čimbenika i vlastitih uvjerenja na zaključivanje. Proces mišljenja razvijen nastavom matematike učinkovito koriste u svom svakodnevnom životu.
Rješavanje problema i matematičko modeliranje
Učenici analiziraju problemsku situaciju, prepoznaju elemente koji se mogu matematički prikazati i planiraju pristup za njezino rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka. Biraju, osmišljavaju i primjenjuju razne strategije, rješavaju problem, promišljaju i vrednuju rješenje te ga prikazuju na prikladan način. Razvojem ovog procesa, osim primjene matematičkih znanja, učenici razvijaju upornost, hrabrost i otvorenost u suočavanju s novim i nepoznatim situacijama.
Primjena tehnologije
Korištenje alata i tehnologije pomaže učenicima u matematičkim aktivnostima u kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, pri provjeravanju pretpostavki, pri obradi i razmjeni podataka i informacija te za rješavanje problema i modeliranje. Učenici uočavaju i razumiju prednosti i nedostatke tehnologije. Na taj se način prirodno otvaraju mogućnosti za nove ideje, za dublja i drugačija matematička promišljanja, kao i za nove oblike učenja i poučavanja.
Domene u predmetnom kurikulumu
Početak i razvoj matematike temelji se na velikim matematičkim idejama, kao što su broj, oblik, struktura i promjena. Oko tih ideja grade se matematički koncepti i razvijaju grane matematike. Usvajanje tih koncepata važno je za razumijevanje informacija, procesa i pojava u svijetu koji nas okružuje. Srodni koncepti grupirani su u domene Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje i Podatci, statistika i vjerojatnost, koje proizlaze iz domena matematičkoga područja kurikuluma.
Domene se postupno razvijaju i nadograđuju cijelom vertikalom učenja i poučavanja matematike, a udio pojedine domene u ciklusu prilagođen je razvojnim mogućnostima učenika i potrebi sustavne izgradnje cjelovitoga matematičkog obrazovanja. Domene koje obuhvaćaju pojmove poput broja i oblika istaknutije su u nižim ciklusima, dok su u višim odgojno-obrazovnim ciklusima zastupljenije domene složenijih matematičkih koncepata, poput funkcija ili vjerojatnosti. Na razini pojedine godine učenja i poučavanja za svaku su domenu iskazani odgojno-obrazovni ishodi, jasni i nedvosmisleni iskazi očekivanja od učenika.
Premda domene povezuju srodne koncepte, njihova se nedjeljivost stalno primjećuje jer je usvojenost koncepata jedne domene često pretpostavka usvajanju koncepata u drugim domenama. Tom povezanošću matematika se spoznaje kao logična i zaokružena cjelina. Cjelovitim pristupom usvajanju koncepata svih domena stječu se matematička znanja i vještine i razvijaju matematičke kompetencije koje podrazumijevaju prikazivanje i komuniciranje matematičkim jezikom, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, matematičko modeliranje i rješavanje problema te uporabu tehnologije.
Važno je naglasiti da se odabirom primjerenih strategija poučavanja te kreativnim načinima izvedbe nastavnoga procesa može uvelike utjecati na razinu usvojenosti znanja i stjecanje vještina i stavova. U svim domenama matematika se povezuje sa stvarnim situacijama, a njezina svakodnevna primjena čini je važnom i nezamjenjivom za razvoj društva u cjelini.
Brojevi
U domeni Brojevi učenici postupno usvajaju apstraktne pojmove kao što su broj, brojevni sustav i skup te razvijaju vještinu izvođenja aritmetičkih postupaka.
Brojiti i računati započinje se u skupu prirodnih brojeva s nulom. Postupno se upoznaju skupovi cijelih, racionalnih, iracionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Razvija se predodžba o brojevima, povezuju njihove različite interpretacije te se uporabom osnovnih svojstava i međusobnih veza računskih operacija usvaja vještina učinkovitoga i sigurnoga računanja.
Tijekom svakoga ciklusa, odabirom prikladnoga načina računanja, procjenjujući i preispitujući smislenost rezultata, rješavaju se matematički problemi i problemi iz svakodnevnoga života, uz mogućnost uporabe različitih metoda i tehnologije u svrhu efikasnosti i točnosti.
Koncepti iz domene Brojevi osnova su svim ostalim matematičkim konceptima i na njima se gradi daljnje učenje matematike, a učenici će te koncepte u budućnosti svakodnevno upotrebljavati u osobnome, radnome i društvenome okruženju.
Algebra i funkcije
Algebra je jezik za opisivanje pravilnosti u kojemu slova i simboli predstavljaju brojeve, količine i operacije, a varijable se koriste pri rješavanju matematičkih problema.
U domeni Algebra i funkcije učenici se služe različitim vrstama prikaza; grade algebarske izraze, tablice i grafove radi generaliziranja, tumačenja i rješavanja problemskih situacija. Uočavaju nepoznanice i rješavaju jednadžbe i nejednadžbe računski provođenjem odgovarajućih algebarskih procedura, grafički i uz pomoću tehnologije kako bi otkrili njihove vrijednosti i protumačili ih u danome kontekstu. Određene algebarske procedure koriste se i za primjenu formula i provjeravanje pretpostavki.
Prepoznavanjem pravilnosti i opisivanjem ovisnosti dviju veličina jezikom algebre učenici definiraju funkcije koje proučavaju, tumače, uspoređuju, grafički prikazuju i upoznaju njihova svojstva. Modeliraju situacije opisujući ih algebarski, analiziraju i rješavaju matematičke probleme i probleme iz stvarnoga života koji uključuju pravilnosti ili funkcijske ovisnosti.
Oblik i prostor
Prostorni zor intuitivni je osjećaj za oblike i odnose među njima, a zajedno s geometrijskim rasuđivanjem razvija sposobnost misaone predodžbe objekta i prostornih odnosa.
Domena Oblik i prostor dio je geometrije koji se bavi proučavanjem oblika, njihovih položaja i odnosa.
Rastavljanjem i sastavljanjem oblika uspoređuju se njihova svojstva i uspostavljaju veze među njima. Iz uočenih svojstava i odnosa izvode se pretpostavke i tvrdnje koje se dokazuju crtežima i algebarskim izrazima.
Koristeći se geometrijskim priborom i tehnologijom učenici će izvoditi geometrijske transformacije, istraživati i primjenjivati njihova svojstva te razviti koncepte sukladnosti i sličnosti.
Interakcijom s ostalim domenama i matematičkim argumentiranjem prostornih veza koristeći prostorni zor i modeliranje učenici pronalaze primjenu matematičkih rješenja u različitim situacijama. Prepoznaju ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnome okružju te ih upotrebljavaju za opis i analizu svijeta oko sebe.
Mjerenje
Mjerenje je uspoređivanje neke veličine s istovrsnom veličinom koja je dogovorena jedinica mjere.
U domeni Mjerenje usvajaju se standardne mjerne jedinice za novac, duljinu, površinu, volumen, masu, vrijeme, temperaturu, kut i brzinu te ih se mjeri odgovarajućim mjernim uređajima i kalendarom. Procjenjivanjem, mjerenjem, preračunavanjem i izračunavanjem veličina određuju se mjeriva obilježja oblika i pojava uz razložno i učinkovito korištenje alata i tehnologije. Rezultati se interpretiraju i izražavaju u jedinici mjere koja odgovara situaciji.
Učenici će mjerenjem povezati matematiku s drugim odgojno-obrazovnim područjima, s vlastitim iskustvom, svakodnevnim životom u kući i zajednici te na radnome mjestu, prepoznati mjeriva obilježja ravninskih i prostornih oblika u umjetnosti te ih upotrebljavati za opis i analizu svijeta oko sebe.
Podatci, statistika i vjerojatnost
Domena podatci, statistika i vjerojatnost bavi se prikupljanjem, razvrstavanjem, obradom, analizom i prikazivanjem podataka u pogodnome obliku. Podatke dane grafičkim ili nekim drugim prikazom treba znati očitati te ih ispravno protumačiti i upotrijebiti. Sve se to postiže koristeći se jezikom statistike. Ona podrazumijeva uporabu matematičkoga aparata kojim se računaju mjere srednje vrijednosti, mjere raspršenja, mjere položaja i korelacije podataka.
Nakon prepoznavanja veza među podatcima i promatrajući frekvencije pojavljivanja, dolazi se do pojma vjerojatnosti. Određuje se broj povoljnih i svih mogućih ishoda, procjenjuje se i izračunava vjerojatnost što nam omogućuje predviđanje događaja.
0
Komentiraj
D. Odgojno-obrazovni ishodi, sadržaji i razine usvojenosti po razredima i organizacijskim područjima
Upute za primjenu kurikuluma
Odgojno-obrazovni ishodi razrađeni su prema godišnjem broju sati u pojedinom razredu. U svakom razredu odabiru se odgojno-obrazovni ishodi za odgovarajući godišnji broj sati. Iznimka su struke koje u 1., 2. i 3. imaju razredu 105 sati godišnje, a u 4. razredu 70 sati godišnje. Za taj slučaj postoje posebni ishodi.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 1.1
SŠ MAT. E. 1.1
Primjenjuje računanje u skupu realnih brojeva.
Uspoređuje realne brojeve rabeći različite strategije uz obrazloženje.
Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija.
Primjenjuje računanje pri rješavanju matematičkih problema i problema iz svakodnevnoga života.
Procjenjuje, smisleno zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti.
Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine.
Računa vrijednost jednostavnih izraza i primjenjuje računanje pri rješavanju jednostavnih problema.
Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer problema iz života: Plaća neke osobe iznosi 3240 kuna. Za troškove stanovanja ta osoba daje dvije petine plaće, a za prehranu daje jednu trećinu plaće. Koliko kuna daje za troškove stanovanja, a koliko za prehranu? Koliko joj kuna ostane?
SŠ MAT. A.1.2
SŠ MAT. B.1.1
Računa s potencijama racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta, računa drugi korijen.
Prepoznaje zapis potencije kao umnožak jednakih faktora.
Opisuje dijelove potencije (baza i eksponent) i njihova značenja.
Računa vrijednost potencije, po potrebi uz uporabu džepnoga računala.
Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija.
Procjenjuje i računa vrijednost drugoga korijena rabeći džepno računalo.
Uspoređuje brojeve u znanstvenome zapisu i primjenjuje ga u jednostavnim problemima.
Pretvara standardni zapis broja u znanstveni i obrnuto. Računa vrijednost jednostavnih brojevnih izraza s potencijama.
Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja. Drugi korijen.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju pojma potencije. Primjena znanstvenoga zapisa broja može se povezati s mjernim jedinicama.
SŠ MAT. B.1.2
Računa s algebarskim izrazima
Računa vrijednost algebarskoga izraza za zadane varijable.
Računa s jednostavnim algebarskim izrazima.
Faktorizira jednostavne izraze primjenom zakona distribucije.
Primjenjuje formule za kvadrat zbroja i razlike i za razliku kvadrata.
Prošireni sadržaj:
Računa s algebarskim razlomcima.
Zbraja, oduzima i množi jednostavne algebarske izraze.
Sadržaj: Algebarski izrazi. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore
Prošireni sadržaj: Algebarski razlomci
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri računanju s algebarskim izrazima ne treba inzistirati na složenim zadacima
SŠ MAT. B.1.3
Primjenjuje proporcionalnost, linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave.
Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave te ih primjenjuje pri rješavanju jednostavnih problema.
Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.
Prošireni sadržaj:
Grafički rješava sustav jednadžbi.
Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu i rješenje prikazuje na brojevnome pravcu.
Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Problemi 1. stupnja. Linearne nejednadžbe. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri rješavanju jednadžbi, nejednadžbi i sustava ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju postupka i primjeni na problemima.
SŠ MAT. B.1.4
Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.
Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički, opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti.
U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, računa vrijednosti i argumente i prikazuje ih grafički.
Analizira problem zapisan linearnom funkcijom ili grafičkim prikazom.
Interpretira koeficijente linearne funkcije i određuje nultočku.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje grafičkoga prikaza funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Primjer primjene linearne funkcije u problemskoj situaciji: Majstor za dolazak u kuću naplaćuje 70 kn, a za svaki sat rada još 120 kn.
a) Koliko treba platiti dolazak u kuću i rad majstora ako je radio: pola sata, 1 sat, 1 sat i 20 minuta, 2 sata?
b) Grafički prikaži cijenu posjeta majstora ovisno o utrošenome vremenu.
c) Koliko je sati radio majstor koji je naplatio 270 kn?
SŠ MAT. C.1.1
SŠ MAT. D.1.1
Primjenjuje sličnost trokuta.
Izriče i ilustrira poučke o sličnosti trokuta, primjenjuje ih u modeliranju problema.
Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.
Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike.
Prošireni sadržaj:
Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnim dužinama. Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta. Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.
Rješava jednostavne probleme rabeći sličnost trokuta.
Sadržaj: Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.
Prošireni sadržaj: Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Heronova formula.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Primjer zadatka koji uključuje povijest matematike: Objasni kako je Tales pomoću sjene izračunao visinu piramide. Izračunaj na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.
SŠ MAT. C.1.2
SŠ MAT. D.1.2
Primjenjuje trigonometrijske omjere
Definira trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu.
Učinkovito se koristi džepnim računalom. Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju jednostavnih problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokuti i četverokuti).
Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutnome trokutu.
Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće. Jednostavni problemi uključuju probleme koji se izravno svode na pravokutni trokut i probleme s likovima koji se rješavaju, uočavanjem pravokutnoga trokuta.
SŠ MAT. D.1.3
Preračunava mjerne jedinice i odabire pogodnu
Preračunava osnovne mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut primjenjujući ih pri rješavanju problema.
Objašnjava značenje predmetaka mjernih jedinica (od mikro do giga).
Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnih problema.
Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ovaj ishod može se ostvariti primjenom u drugim ishodima, u primjerima u kojima se pojavljuju razne mjerne jedinice.
SŠ MAT. C.1.3
SŠ MAT. D.1.4
Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova
Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova.
Računa ostale elemente likova (duljine stranica, dijagonala, polumjera i slično).
Prepoznaje i računa opseg i površinu dijelova kruga.
Primjenjuje računanje opsega i površine u situacijama iz stvarnoga života.
Prošireni sadržaj:
Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.
Prepoznaje i računa opseg i površinu u jednostavnim problemima iz svakodnevnoga života.
Sadržaj: Geometrijski likovi. Opseg i površina trokuta, četverokuta, kruga i dijelova kruga.
Prošireni sadržaj: Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
U jednostavnim situacijama opseg i površina pronalaze se izravnim uvrštavanjem u formulu.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.2.1
SŠ MAT. B.2.1
Primjenjuje postotni račun
Prepoznaje elemente postotnoga računa, postotak, postotni iznos i cjelinu u problemskoj situaciji.
Računa nepoznati podatak.
Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost kada je zadana vrijednost promijenjena za postotak. Primjenjuje postotni račun za obračun PDV-a, carine, promjene i izračuna cijena, opise udjela i druge probleme iz života.
Prošireni sadržaj:
Razlikuje i objašnjava bruto i neto plaću i primjenjuje postotni račun za izračun neto plaće.
Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost u jednostavnim situacijama.
Sadržaj: Postotni račun.
Prošireni sadržaj: Bruto i neto plaća
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti proračunske tablice za usporedbu različitih parametara.
Primjer obračuna cijene: Cijena po kojoj je trgovina nabavila robu je nabavna ili fakturna cijena. Tu cijenu trgovina uvećava za troškove. Na taj iznos dodaje još razliku u cijeni, koja predstavlja prihod trgovine. Tako dobivena cijena naziva se prodajna cijena. Prodajna cijena uvećava se za porez na dodanu vrijednost (PDV). Cijena uvećana za porez naziva se maloprodajna cijena. To je cijena koju plaća kupac u trgovini.
SŠ MAT. B.2.2
Rješava kvadratnu jednadžbu
Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s racionalnim koeficijentima.
Prepoznaje postojanje rješenja kvadratne jednadžbe kada kvadratna jednadžba nema rješenje u skupu R.
Primjenjuje diskriminantu pri određivanju postojanja rješenja kvadratne jednadžbe.
Prošireni sadržaj:
Primjenjuje imaginarnu jedinicu pri zapisu rješenja kvadratne jednadžbe.
Računa nepoznate elemente trokuta primjenjujući poučak o sinusima i poučak o kosinusu.
Primjenjuje poučke u problemskim zadatcima.
Računa nepoznate elemente trokuta izravnom primjenom određenoga poučka.
Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
SŠ MAT. C.2.2
Crta geometrijska tijela i njihove mreže
Crta geometrijska tijela (kocku, kvadar, trostranu i četverostranu prizmu i piramidu, valjak, stožac i kuglu) u kvadratnoj mreži.
Prepoznaje i crta mreže tijela i dijagonalni i osni presjek tijela ravninom.
Prošireni sadržaj:
Izrađuje modele tijela. Platonova tijela.
Određuje broj vrhova, bridova i strana geometrijskoga tijela i povezuje geometrijsko tijelo s njegovom mrežom.
Sadržaj: Geometrijska tijela. Mreže geometrijskih tijela.
Prošireni sadržaj: Modeli tijela. Platonova tijela.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Učenici sami ili u skupini mogu izrađivati modele geometrijskih tijela ili pronalaziti modele u okolini.
SŠ MAT. C.2.3
SŠ MAT. D.2.2
Računa i primjenjuje oplošje i volumen geometrijskih tijela
Razlikuje i opisuje oplošje i volumen tijela.
Računa oplošje i volumen kocke, kvadra, prizme i valjka.
Računa volumen piramide i stošca.
Računa oplošje i volumen u problemskim situacijama.
Primjenjuje odgovarajuće mjerne jedinice.
Prošireni sadržaj:
Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.
Računa oplošje i volumena kocke, kvadra, prizme i valjka u jednostavnim problemima.
Sadržaj: Oplošje i volumen geometrijskih tijela. Kocka, kvadar, prizma valjak, piramida i stožac.
Prošireni sadržaj: Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
SŠ MAT. E.2.1
Barata podacima prikazanim na različite načine
Prepoznaje obilježja skupa objekata, prikuplja podatke o njima, organizira ih tablično, određuje frekvenciju i relativnu frekvenciju podataka.
Određuje srednje vrijednosti prikupljenih podataka.
Crta linijske i stupčaste dijagrame frekvencija i relativnih frekvencija te kružni dijagram relativnih frekvencija.
Analizira rezultate i diskutira o njima.
Organizira prikupljene podatke i prikazuje ih linijskim i stupčastim dijagramom.
Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti proračunske tablice ili programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz podataka.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.3.1
SŠ MAT. B.3.1
Računa s potencijama racionalnog eksponenta
Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnoga računala.
Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer izraza koji uključuje potencije racionalnoga eksponenta: Izračunaj vrijednost izraza: .
SŠ MAT. B.3.2
Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju
Određuje domenu i crta graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Prepoznaje eksponencijalnu i logaritamsku ovisnost u problemima i računa vrijednosti.
Prošireni sadržaj:
kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast, crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice.
Korelacija s Kemijom i Biologijom.
Određuje svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Prošireni sadržaj: Kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočava „inverznu“ vezu eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac .
Primjer problema opisanoga eksponencijalnom funkcijom: Funkcija pokazuje broj bakterija u uzorku sati nakon uzimanja uzorka.
a) Koliki će biti broj bakterija nakon 2 sata?
b) Nakon koliko će sati broj bakterija biti 2 560 000?
SŠ MAT. B.3.3
Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe
Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.
Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.
Rješava jednadžbu proizašlu iz problemske situacije opisane eksponencijalnom ili logaritamskom ovisnošću.
Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe izravnom primjenom definicije.
Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Vrijednost iznosa uloženoga na štednju svakim se danom povećava po formuli: . Nakon koliko će se dana vrijednost iznosa udvostručiti?
SŠ MAT. B.3.4
SŠ MAT. C.3.1
Primjenjuje svojstva i crta graf trigonometrijske funkcije
Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici, otkriva svojstva i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Rabi džepno računalo.
Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.
Prošireni sadržaj: Osnovni trigonometrijski identiteti
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija ( i ), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s , osi kotangensa s . Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani). Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.
SŠ MAT. C.3.2
SŠ MAT. D.3.1
Primjenjuje koordinatni sustav
Imenuje elemente koordinatnoga sustava, crta točke zadane koordinatama i obrnuto.
Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine te ih primjenjuje u geometrijskim problemima.
Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine.
Sadržaj: Koordinatni sustav u ravnini. Duljina dužine. Polovište dužine.
SŠ MAT. C.3.3
SŠ MAT. D.3.2
Računa s vektorima
Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora.
Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora.
Prošireni sadržaj:
Računa mjeru kuta između vektora.
Opisuje odnose između dvaju vektora, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu. Računa duljinu vektora.
Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora.
Prošireni sadržaj: Mjera kuta između vektora.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 64 sata godišnje
Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.4.1
SŠ MAT. D.4.1
Primjenjuje kamatni račun
Objašnjava veličine koje se javljaju u kamatnome računu.
Računa jednostavne kamate za dane, mjesece i godine i primjenjuje ih u jednostavnim primjerima iz života.
Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja.
Računa konačnu i početnu vrijednost uloga i ukupne složene kamate.
Primjenjuje kamatni račun u primjerima štednje ili dugovanja.
Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja. Računa konačnu vrijednost uloga pri složenome ukamaćivanju.
Sadržaj: Kamatni račun. Jednostavno i složeno ukamaćivanje.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer primjene kamatnoga računa na primjerima iz života: Marko je u siječnju dobio račun za plin od 670 kuna. Trebao ga je platit 20. siječnja. Zakasnio je s plaćanjem i platio tek 15. veljače. Kamatna stopa, ako zakasni s plaćanjem, iznosi 15 %.
a) Koliko je dana Marko zakasnio s plaćanjem?
b) Koliku će kamatu platiti?
c) Koliko će kuna ukupno platiti za plin?
Primjer složenoga kamatnog računa: Neka osoba uloži u banku 10000 kuna. Banka primjenjuje kamatnu stopu od 3 % godišnje. Obračun je kamata složen i godišnji. Kolika će biti vrijednost toga uloga nakon
a) 3 godine
b) 4 i pol godine
c) 3 godine i 8 mjeseci? Kolike su ukupne složene kamate?
SŠ MAT. B.4.1
Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz
Nabraja svojstva i opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, nastavlja zadani niz, računa razliku/količnik i traženi član niza.
Računa zbroj prvih n članova i primjenjuje ga u problemima vezanim uz složeno ukamaćivanje.
Opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, računa razliku/količnik i traženi član niza.
Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Složeni kamatni račun.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer primjene aritmetičkoga niza na dugovanje:
Matej je uzeo kredit od 24000 kuna, uz kamatnu stopu od 9 %. Vraćat će ga u ratama od 1000 kuna krajem mjeseca i svakoga će mjeseca platiti pripadajući kamatu. Koliko će ukupno kamata platiti?
Primjer primjene geometrijskoga niza na periodičke uplate štednje: Ana je tijekom 2 godine prvoga dana u mjesecu uplaćivala 1000 kuna na štednju. Kamate su obračunate po stopi od 3 % godišnje uz složeno godišnje ukamaćivanje. Kojim će iznosom Ana raspolagati nakon isteka dvije godine?
SŠ MAT. B.4.2
SŠ MAT. C.4.1
SŠ MAT. D.4.2
Primjenjuje jednadžbu pravca
Prepoznaje, opisuje i crta pravac u koordinatnome sustavu iz njegove jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.
Računa mjeru kuta pravca s pozitivnim dijelom apscise i povezuje s koeficijentom smjera.
Crta i određuje pravce paralelne s koordinatnim osima.
Određuje pravce paralelne/okomite zadanomu.
Prošireni sadržaj:
Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.
Korelacija s Kemijom.
Interpretira koeficijente u eksplicitnome obliku jednadžbe pravca.
Sadržaj: Jednadžba pravca. Nagib pravca. Paralelni i okomiti pravci.
Prošireni sadržaj: Kut između pravaca. Udaljenost od pravca.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.4.3
SŠ MAT. C.4.2
SŠ MAT. D.4.3
Primjenjuje jednadžbu kružnice
Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz nje pronalazi duljinu polumjera i koordinate središta kružnice i obrnuto. Iz grafičkoga prikaza pronalazi jednadžbu kružnice.
Određuje grafički ili računski jednadžbu kružnice u posebnome položaju (dodiruje jednu ili obje koordinatne osi) ili koncentrične kružnice.
Prošireni sadržaj:
Opisuje odnose i određuje presjek pravca i središnje kružnice. Određuje jednadžbu tangente u točki središnje kružnice.
Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu kružnice.
Sadržaj: Jednadžba kružnice.
Prošireni sadržaj: Presjek pravca i središnje kružnice. Jednadžba tangente u točki središnje kružnice.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.4.4
Analizira svojstva funkcija
Prepoznaje i nabraja elementarne funkcije (linearnu, kvadratnu,
, i , eksponencijalnu).
Navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, rast/ pad, nultočke, ograničenost).
Povezuje graf funkcije i svojstva te objašnjava na grafu.
Prošireni sadržaj:
Logaritamska funkcija.
Grafički prikazuje funkcije i nabraja njihova svojstva.
Sadržaj: Elementarne funkcije (linearna, kvadratna, eksponencijalna), njihov graf i svojstva (domena, kodomena, rast/ pad, nultočke, ograničenost).
Prošireni sadržaj: Logaritamska funkcija.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Svojstva funkcija uočavati i objašnjavati na grafu funkcije. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz grafa istraživanje svojstava funkcija.
SŠ MAT. B.4.5
Prikazuje skupove i operacije sa skupovima
Kreira i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama.
Rabi matematičke simbole u zapisu skupova i njihovih odnosa.
Određuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima.
Samostalno povezuje različite zapise skupova i prelazi iz jednoga u drugi.
Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima.
SŠ MAT. E.4.1
Računa vjerojatnost
Opisuje slučajan pokus i elementarne događaje.
Prepoznaje siguran i nemoguć događaj i određuje njihovu vjerojatnost.
Računa vjerojatnost primjenjujući klasičnu definiciju vjerojatnosti i svojstva vjerojatnosti.
Prošireni sadržaj:
Kombinatorika.
Primjenjuje skupove za prikaz slučajnoga događaja.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred - 70 sati godišnje (za struke koje su u 1., 2. i 3. razredu imale 105 sati godišnje)
Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 4.1
Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini
Prikazuje kompleksan broj u algebarskome obliku i u Gaussovoj ravnini. Zbraja, oduzima, množi i dijeli kompleksne brojeve. Određuje i prikazuje konjugirano kompleksan broj i modul kompleksnoga broja. Interpretira geometrijsko značenje zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.
Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja
Uočava vezu modula kompleksnoga broja i konjugirano kompleksnoga broja s njegovim prikazom u Gaussovoj ravnini.
Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Modul kompleksnog broja. Gaussova ravnina.
Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja
SŠ MAT. B. 4.1
Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz
Opisuje aritmetički i geometrijski niz, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza, posebno složeni kamatni račun.
Razlikuje aritmetički i geometrijski niz te određuje član niza zadanoga rekurzivno ili općim članom.
Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati. Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina? Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?
SŠ MAT. B. 4.2
Računa limes niza
Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost. Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.
Opisuje pojam monotonosti i omeđenosti niza.
Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.
Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamičke geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan.
Jednostavni niz: , , , .
SŠ MAT. B. 4.3
Analizira svojstva funkcija
Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost funkcije), povezuje graf funkcije i svojstva i objašnjava na grafu.
Određuje neka svojstva funkcije zadane pravilom pridruživanja ili grafom.
Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost). Graf funkcije.
SŠ MAT. E. 4.1
Argumentirano računa vjerojatnost
Povezuje i prikazuje presjek, uniju i suprotni događaj pomoću skupova i operacija te Vennovim dijagramom. Crta vjerojatnosno stablo. Opisuje i računa vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju (simultani i uzastopni). Razlikuje zavisne i nezavisne događaje, računa uvjetnu vjerojatnost. Korelacija s Logikom i Kemijom.
Računa vjerojatnost simultanih događaja.
Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost. Vjerojatnosno stablo. Vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Provoditi jednostavne pokuse, primjerice bacanje kocke ili novčića. Uniju, presjek, razliku i komplement događaja ilustrirati Vennovim dijagramom. Povezati De Morganove zakone s predmetom logika. Računati uvjetne vjerojatnosti i vjerojatnost umnoška događaja. Koristiti vjerojatnosno stablo. Primjer zadatka: U vrećici je 8 bijelih i 6 crvenih kuglica. Izvlačimo jednu kuglicu, vratimo je i izvlačimo drugu.
IZBORNI ISHOD
SŠ MAT. B. 4.
Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine
Grafički prikazuje i objašnjava problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa. Objašnjava vezu derivacije i trenutne brzine (prijelaz iz prosječne u trenutnu). Navodi definiciju derivacije.
Korelacija s Kemijom.
Prikazuje vezu prirasta varijable i prirasta funkcije s derivacijom funkcije u točki.
Sadržaj: Problem tangente i brzine. Definicija derivacije funkcije.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 105 sati godišnje
Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.1.1
SŠ MAT. E.1.1
Računa s realnim brojevima
Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija. Procjenjuje, zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti. Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine.
Rješava jednostavne probleme uz procjenu rješenja.
Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Trgovina je naručila 700 kutija keksa. Dvadeset posto narudžbe je čajno pecivo, a tri sedmine narudžbe su keksi s čokoladom. Ostalo su napolitanke. Koliko je kutija pojedine vrste naručila trgovina?
SŠ MAT. A.1.2
SŠ MAT. B.1.1
Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta
Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed računskih operacija. Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija te ih primjenjuje za pojednostavljivanje izraza i povezuje ih s problemima iz drugih područja i života. Zaokružuje broj na značajne znamenke. Korelacija s Kemijom.
Računa vrijednost jednostavnih brojevnih izraza s potencijama.
Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale. Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno metara u sekundi, a godina ima 365 dana.
SŠ MAT. B.1.2
Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima
Za zadani izraz računa konkretne vrijednosti, pojednostavljuje izraz, primjenjuje formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata, faktorizira izraze, krati, množi, dijeli i zbraja jednostavne algebarske razlomke
Množi i dijeli jednostavne algebarske razlomke
Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Pri računanju s algebarskim razlomcima ne treba inzistirati na složenim zadatcima, već na razumijevanju i primjeni pravila.
Primjer jednostavnih algebarskih razlomaka: , ,
SŠ MAT. B.1.3
Primjenjuje proporcionlnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave
Primjenjuje postotni račun za obračun poreza, carine, promjene cijena, opise udjela i druge robleme iz života. Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života. Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi. Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.
Prošireni sadržaj: Diskutira postojanje rješenja jednadžbe ovisno o parametru, rješava jednostavne linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Rješava problem zapisujući ga u obliku linearne jednadžbe ili sustava jednadžbi.
Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.
Prošireni sadržaj: Jednadžbe s parametrom. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavni problemi: Povećanje/sniženje za određeni postotak, izračun postotka, primjena proporcionalnosti u jednome koraku, račun diobe, problemi koji se izravno svode na linearnu jednadžbu.
SŠ MAT. B.1.4
Primjenjuje linearne nejednadžbe
Rješava linearne nejednadžbe i sustave nejednadžbi te rješenje zapisuje pomoću intervala. Primjenjuje linearne nejednadžbe u problemskim situacijama. Prošireni sadržaj:
Rješava jednostavne linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Rješava linearne nejednadžbe zapisujući rješenje na različite načine.
Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.
Prošireni sadržaj: Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina. a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz. b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha. c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto? d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?
SŠ MAT. B.1.5
SŠ MAT. D.1.1
Povezuje različite prikaze linearne funkcije
Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički. Opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku. Iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju. Iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju.
Prošireni sadržaj: Crta graf funkcije apsolutne vrijednosti.
Prošireni sadržaj: Graf funkcije apsolutne vrijednosti.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.1.6
Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema
U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema. Analizira problem iz grafičkoga prikaza.
Iz zadanih podataka linearnu ovisnost zapisuje kao linearnu funkciju.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka otvorenoga tipa:
Osmislite zadatak koji je prikazan zadanim grafom (slika u dokumentu u prilogu). Napišite neka pitanja koja možete postaviti na osnovi podataka vidljivih s grafa, a povezano sa zadatkom. Odgovorite na ta pitanja.
SŠ MAT. B.1.7
Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi pomoću intervala.
Nejednakosti zapisuje pomoću intervala i obrnuto te prikazuje na brojevnome pravcu. Primjenjuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima.
Određuje i prikazuje presjek i uniju skupova.
Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Zadani su skupovi brojeva: A je skup realnih brojeva manjih ili jednakih 3, a B je skup realnih brojeva većih od 3 i manjih od 15. Zapišite skupove pomoću intervala i prikažite ih na brojevnome pravcu. Za svaku tvrdnju odredite je li točna ili netočna i obrazložite:
SŠ MAT. C.1.1
Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta
Definira i konstruira simetralu dužine, simetralu kuta, visinu i težišnicu te karakteristične točke trokuta. Uočava da težište dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1. Analizira položaj karakterističnih točaka ovisno o vrsti trokuta. Prošireni sadržaj: Otkriva formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane kružnice.
Definira i konstruira središte opisane kružnice.
Sadržaj: Karakteristične točke trokuta.
Prošireni sadržaj: Formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane kružnice.
SŠ MAT. C.1.2
SŠ MAT. D.1.2
Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta
Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina, primjenjuje ih u modeliranju problema. Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima. Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta. Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike.
Prošireni sadržaj: Rješava probleme rabeći Euklidov poučak o pravokutnome trokutu. Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.
Rješava jednostavne probleme rabeći Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta
Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.
Prošireni sadržaj: Euklidov poučak
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Objasnite kako je Tales pomoću sjene izmjerio visinu piramide. Izračunajte na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.
SŠ MAT. D.1.3
Primjenjuje trigonometrijske omjere
Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, romb). Prošireni sadržaj: Paralelogram, trapez, deltoid
Primjenjuje trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu za određivanje nepoznatih veličina
Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.
Prošireni sadržaj: Primjena trigonometrijskih omjera na paralelogram, trapez i deltoid.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavni problemi: problemi koji se izravno svode na pravokutan trokut, problemi s likovima koji se rješavaju izravno, uočavanjem pravokutnoga trokuta. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi.
IZBIRNI ISHOD
SŠ MAT. C.1.
SŠ MAT. D.1.
Računa s vektorima
Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora. Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu određuje duljinu vektora. Prikazuje vektor kao linearnu kombinaciju vektora. Prošireni sadržaj: Računa mjeru kuta između vektora
Opisuje odnose između dvaju vektora, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu. Računa duljinu vektora.
Sadržaj: Vektori. Operacije s vektorima. Vektori u koordinatnom sustavu. Linearna kombinacija vektora.
Prošireni sadržaj: Kut između vektora.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 105 sati godišnje
Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 2.1
Računa s drugim i trećim korijenom
Procjenjuje i računa približnu vrijednost drugoga i trećega korijena koristeći džepno računalo. Računa s izrazima s drugim i trećim korijenom poštujući redoslijed računskih operacija. Djelomično korjenuje izraz. Prošireni sadržaj: Racionalizira nazivnik razlomka
Drugi korijen negativnoga broja prikazuje pomoću imaginarne jedinice
Sadržaj: Drugi i treći korijen. Imaginarna jedinica.
Prošireni sadržaj: Racionalizacija nazivnika.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Računati približnu vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo. Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru:
Primjer izraza s drugim korijenom:
Primjer izraza s trećim korijenom:
Prošireni sadržaj: Racionalizirati nazivnik razlomka oblika .
SŠ MAT. B. 2.1
Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu
Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s racionalnim koeficijentima. Primjenjuje diskriminantu pri određivanju prirode rješenja kvadratne jednadžbe. Faktorizira trinom. Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu. Modelira problemsku situaciju te određuje rješenja. Prošireni sadržaj: Vièteove formule. Korelacija s Fizikom i Informatikom
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu: bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu i iracionalne jednadžbe oblika
Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe. Primjer: Ne rješavajući jednadžbu odredite prirodu rješenja te jednadžbe
SŠ MAT. B. 2.2
Analizira funkciju
Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja. Računski određuje domenu jednostavnih racionalnih i iracionalnih funkcija. Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju. Na primjeru skupa prepoznaje bijekciju.
Objašnjava pojam funkcije.
Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Bijekcija.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Bijekciju definirati i prepoznati na primjerima skupova (prikaz Veenovim dijagramom) Sliku funkcije odrediti računski samo za linearne i kvadratne funkcije.
Jednostavne racionalne funkcije oblika su . Jednostavne iracionalne funkcije oblika su .
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
SŠ MAT. B. 2.3
SŠ MAT. C. 2.1
Analizira grafički prikaz funkcije
Grafički prikazuje funkcije
I . Na grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije i objašnjava bijekciju. Skicira graf inverzne funkcije
Pomoću grafičkoga prikaza funkcije određuje domenu, kodomenu i sliku funkcije.
Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Grafički prikazati funkciju funkcije
i određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable x.
Graf inverzne funkcije skicirati preslikavajući funkciju preko pravca y = x.
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
SŠ MAT. B. 2.4
SŠ MAT. C. 2.2
Primjenjuje kvadratnu funkciju
Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme parabole, os simetrije, tijek funkcije. Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima. Očitava točke s grafa funkcije. Rješava jednostavne kvadratne nejednadžbe. Pri grafičkome prikazivanju kvadratne funkcije objašnjava oblik funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu. Prošireni sadržaj: Određuje funkciju iz grafa
REPUBLIKA HRVATSKA
MINISTARSTVO ZNANOSTI I OBRAZOVANJA
Na temelju članka 27. stavka 9. Zakona o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi („Narodne novine“, broj: 87/08, 86/09, 92/10, 105/10-ispravak, 90/11, 16/12, 86/12, 94/13, 152/14, 7/17 i 68/18) ministrica znanosti i obrazovanja donosi
ODLUKU O DONOŠENJU KURIKULUMA ZA NASTAVNI PREDMET MATEMATIKA ZA SREDNJE STRUKOVNE ŠKOLE NA RAZINI 4.2. U REPUBLICI HRVATSKOJ
I.
Ovom Odlukom donosi se kurikulum za nastavni predmet Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2. u Republici Hrvatskoj.
II.
Sastavni dio ove Odluke je kurikulum nastavnog predmeta Matematika.
III.
Početkom primjene ove Odluke stavljaju se izvan snage dijelovi nastavnih planova i okvirnih nastavnih programa, kao i odluke vezane uz nastavni predmet Matematika u programima obrazovanja i strukovnim kurikulumima na razini 4.2 kako bi se obuhvatili svi programi obrazovanja i strukovni kurikulumi.
Izvan snage se stavljaju sljedeći dokumenti:
◊ Nastavni planovi i okvirni nastavni programi općeobrazovnih predmeta za srednje strukovne četverogodišnje škole koji se odnose na nastavni predmet Matematika (Glasnik Ministarstva prosvjete i športa Republike Hrvatske, Posebno izdanje, broj 11, Zagreb, lipanj 1997.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije agrotehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije prehrambeni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 74/2017.)
◊ Odluka o donošenju nastavnog plana i okvirnog nastavnog programa za stjecanje srednje stručne spreme u području rada prehrana za zanimanje tehničar nutricionist u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Prosvjetni vjesnik, Glasilo Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa, Posebno izdanje, Broj 1, Godina VI., Zagreb, od 22. srpnja 2004.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije drvodjeljski tehničar dizajner u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊ Odluka o zajedničkom i posebnom stručnom dijelu nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u području rada Geologija, rudarstvo i nafta za zanimanja naftno rudarski stručni radnik i naftno rudarski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju naftno rudarski tehničar (Klasa: 602-03/07-05/00078; Urbroj:533-09-07-0002, od 27. studenog 2007.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije ekološki tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 77/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije modni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 68/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar modelar obuće i kožne galanterije u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 68/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije web dizajner u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije medijski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 89/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije strojarski računalni tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 84/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za vozila i vozna sredstva u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije zrakoplovni tehničar ZIM u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/10-10/00004; Urbroj: 533-09-10-0004, od 24. svibnja 2010.)
◊ Odluka o uvođenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije tehničar za brodostrojarstvo u obrazovnom sektoru strojarstvo, brodogradnja i metalurgija u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 113/2014.)
◊ Nastavni planovi i okvirni programi za područje strojarstva (A), Glasnik Ministarstva prosvjete i športa, broj 7, listopad 1996., u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju strojarski tehničar
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije zrakoplovni tehničar IRE u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/10-10/00004; Urbroj:533-09-10-0004, od 24. svibnja 2010.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za elektroniku u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za računalstvo u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za mehatroniku u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 71/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar geodezije i geoinformatike u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Narodne novine, broj: 79/2016.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije klesarski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika ( Narodne novine, broj: 58/2017.)
◊ Odluka o programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada ekonomija i trgovina za zanimanja komercijalist i upravni referent u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju komercijalist (Klasa: UP/I-602-03/05-05/0007, Urbroj: 533-09-05-02, od 26. travnja 2005.)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u području ekonomije i trgovine za zanimanje administrativni tajnik i promjeni naziva zanimanja u poslovni tajnik u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/04-05/05, Urbroj: 533-09-04-5, od 27. kolovoza 2004.)
◊ Odluka o programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada ekonomija i trgovina za zanimanja komercijalist i upravni referent u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika u zanimanju upravni referent (Klasa: UP/I-602-03/05-05/0007, Urbroj: 533-09-05-02, od 26. travnja 2005.)
◊ Nastavni planovi i okvirni programi za područje ugostiteljstva i turizma, Glasnik Ministarstva prosvjete i športa, Posebno izdanje, Broj 8A, lipanj 97. do rujan 98. u zanimanju hotelijersko-turistički tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika
◊ Odluka o donošenju nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme u obrazovnom sektoru Promet i logistika, zanimanje tehničar za logistiku i špediciju u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/08-05/00025; Urbroj: 533-09-08-0002, od 14. travnja 2008.)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama posebnog stručnog dijela Nastavnog plana i programa za zanimanje Tehničar cestovnog prometa u obrazovnom sektoru Promet i logistika u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/11-05/00060; Urbroj: 533-09-11-0008, od 13.lipnja 2011.)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije pomorski nautičar u obrazovnom sektoru Promet i logistika u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/13-05/00062; Urbroj: 533-21-13-0004, od 2. svibnja 2016.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za jahte i marine u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika ( Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije tehničar za poštanske i financijske usluge u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika ( Narodne novine, broj: 83/2017.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje kvalifikacije ekonomist u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika ( Narodne novine, broj: 85/2017.)
◊ Odluka o nastavnom planu i programu za stjecanje srednje stručne spreme u području rada zračni promet za zanimanje zrakoplovni prometnik u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/06-05/00045, Urbroj: 533-09-06-02, od 14. lipnja 2006.)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije medicinska sestra opće njege/medicinski tehničar opće njege u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa: 602-03/16-05/00082; Urbroj: 533-25-16-0004, od 13.lipnja 2016.)
◊ Odluka o izmjeni naziva Nastavnog plana i programa za zanimanje primalja u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa:602-03/12-05/00100; Urbroj:533-21-12-0001, od 13. studenog 2012.)
◊ Odluka o donošenju strukovnog kurikuluma za stjecanje strukovne kvalifikacije dentalna asistentica/asistent u obrazovnom sektoru Zdravstvo i socijalna skrb u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa:602-03/11-05/00099; Urbroj:533-09-11-0002, od 22. kolovoza 2011.)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama zajedničkog i posebnog stručnog dijela nastavnog plana i programa za stjecanje srednje stručne spreme za zanimanje medicinski tehničar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika , Ministarstvo prosvjete i športa (Klasa: 602-03/01-01/1026; Urbroj: 532-02-02/4-01-1)
◊ Odluka o izmjenama i dopunama posebnog stručnog dijela nastavnog plana i programa za zanimanje kozmetičar u dijelu koji se odnosi na nastavni predmet Matematika (Klasa:602-03-11-05/00060; Urbroj:533-09-11-0009, od 13.lipnja 2011)
IV.
Ova Odluka stupa na snagu osmoga dana od dana objave u „Narodnim novinama“, a primjenjuje se za učenike 1. razreda strukovne škole od školske godine 2019./2020., za učenike 2. i 3. razreda od školske godine 2020./2021., a za učenike 4. razreda od školske godine 2021./2022.
Klasa:
Urbroj:
Zagreb,
MINISTRICA
prof. dr. sc. Blaženka Divjak
Prijedlog predmetnog kurikuluma Matematika za četverogodišnje strukovne škole za stjecanje kvalifikacije razine 4.2.
Prosinac 2018.
Sadržaj
A. Svrha i opis predmeta
B. Odgojno-obrazovni ciljevi učenja i poučavanja predmeta
C. Struktura - procesi i domene predmetnog kurikuluma
Procesi u predmetnom kurikulumu
Domene u predmetnom kurikulumu
D. Odgojno-obrazovni ishodi, sadržaji i razine usvojenosti po razredima i organizacijskim područjima
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 70 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 70 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 70 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 64 sata godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred - 70 sati godišnje (za struke koje su u 1., 2. i 3. razredu imale 105 sati godišnje)
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1 . razred – 1 05 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 105 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 105 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 96 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 140 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 140 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 140 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 128 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 175 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 175 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 175 sati godišnje
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 160 sati godišnje
E. Povezanost s drugim predmetima i međupredmetnim temama
F. Učenje i poučavanje predmeta
G. Vrednovanje usvojenosti odgojno obrazovnih ishoda
A. Svrha i opis predmeta
Brzi razvoj suvremenoga društva, kojemu je uvelike pridonijela i primjena matematike u svim njegovim područjima, ukazuje na važnost učenja matematike. Ona je jedan od čimbenika tehnološkoga napretka društva, a time i važan element poboljšanja kvalitete življenja
Matematika ima vrijednost i intelektualnu ljepotu, bogata je i poticajna. Zaokuplja i privlači ljude svih dobnih skupina, raznolikih interesa i sposobnosti. Igrala je i igra važnu ulogu u napretku društva u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti. Značajna je za svakodnevni život te je neophodna za razumijevanje svijeta koji nas okružuje i za upravljanje vlastitim životom. Učenje i poučavanje matematike omogućuje razvoj matematičkih znanja i vještina kojima će se učenici koristiti u osobnome, društvenome i profesionalnome životu.
Matematička pismenost prepoznata je kao jedan od važnih preduvjeta za razvoj životnih vještina pojedinca, primjenu matematičkih strategija, cjeloživotno učenje, otvorenost za uporabu novih tehnologija te ostvarivanje vlastitih potencijala. Učenje i poučavanje predmeta Matematika potiče kreativnost, preciznost, sustavnost, apstraktno mišljenje i kritičko promišljanje koje pomaže pri uočavanju i rješavanju problema iz svakodnevice i društvenoga okruženja.
Učenje i poučavanje nastavnoga predmeta Matematika ostvaruje se povezivanjem matematičkih procesa i domena. Ta dvodimenzionalnost očituje se u ishodima i doprinosi stjecanju matematičkih kompetencija. Matematički procesi su: Prikazivanje i komunikacija, Povezivanje, Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, Rješavanje problema i matematičko modeliranje te Primjena tehnologije. Domene predmeta Matematika su: Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.
Svijest pojedinca o posjedovanju kompetencija za rješavanje, kako osobnih tako i problemskih situacija u zajednici, daje mu mogućnost za djelovanje, potiče ga da bude koristan i odgovoran za napredak osobnoga, radnoga i socijalnoga okruženja. Kako bi se kod učenika postiglo razumijevanje matematičkih pojmova, procesa i koncepata, razvila kreativnost i sposobnost apstrahiranja, potrebno je poučavati od konkretnih, njima bliskih situacija k apstraktnomu modeliranju i opisivanju. Uostalom, i začeci matematike i matematičkoga načina razmišljanja proizašli su iz proučavanja pojava u prirodi, ljudskoga djelovanja u arhitekturi, umjetnosti, tehnologiji te potrebe da se to objasni. Poučavanje matematike je tijekom školovanja strukturirano pa se velika pozornost posvećuje postupnosti u prihvaćanju i usvajanju matematičkih znanja te uspostavljanju veza među njima. Takav pristup učenju i poučavanju matematike omogućuje svakomu učeniku pronalaženje osobnoga puta prema razvoju i primjeni matematičkoga razmišljanja. Učeći matematiku, učenici postaju svjesni vrijednosti vlastitih matematičkih kompetencija te su motivirani da ih i dalje aktivno razvijaju, izgrađuju i primjenjuju, kako u matematici tako i u ostalim područjima učenja i života.
Matematičke se kompetencije neprestano razvijaju kroz domene predmeta Matematika, ali i kroz druga područja odgoja i obrazovanja te kroz sve faze školovanja. Time je matematici osigurana stalna prisutnost i važna uloga u odgoju i obrazovanju učenika, stjecanju znanja i razvoju vještina i stavova. Na učiteljima je, ali i na učenicima, velika odgovornost za ostvarivanje načela kurikuluma, koji teži razvoju vrijednosti i generičkih kompetencija učenika.
Dobro i pravodobno usvojeni matematički koncepti potiču razumijevanje i snalaženje u različitim područjima kurikuluma. Isto tako, mnogi koncepti usvojeni u drugim područjima i drukčijim pristupom obogaćuju učenje i poučavanje u predmetu Matematika. Takvim načinom, stalnim korelacijama i integracijom unutar kurikuluma kroz cijelo školovanje učenici matematiku prihvaćaju kao dio okruženja, a matematičke kompetencije primjenjuju u različitim aspektima učenja i života.
B. Odgojno-obrazovni ciljevi učenja i poučavanja predmeta
Učenici će temeljem usvojenih matematičkih znanja, vještina i procesa:
- primijeniti matematički jezik u usmenome i pisanome izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija upotrebljavajući različite načine prikazivanja matematičkih ideja, procesa i rezultata u matematičkome kontekstu i stvarnome životu
- samostalno i u suradničkome okruženju matematički rasuđivati logičkim, kreativnim i kritičkim promišljanjem i povezivanjem, argumentiranim raspravama, zaključivanjem, provjeravanjem pretpostavki i postupaka te dokazivanjem tvrdnji
- rješavati problemske situacije odabirom relevantnih podataka, analizom mogućih strategija i provođenjem optimalne strategije te preispitivanjem procesa i rezultata, po potrebi uz učinkovitu uporabu odgovarajućih alata i tehnologije
- razviti samopouzdanje i svijest o vlastitim matematičkim sposobnostima, upornost, poduzetnost, odgovornost, uvažavanje i pozitivan odnos prema matematici i radu općenito
- prepoznati povijesnu, kulturnu i estetsku vrijednost matematike njezinom primjenom u različitim disciplinama i djelatnostima kao i neizostavnu ulogu matematike u razvoju i dobrobiti društva.
C. Struktura - procesi i domene predmetnog kurikuluma
Procesi u predmetnom kurikulumu
Matematički procesi su značajni na svim razinama obrazovanja te prožimaju sve domene kurikuluma nastavnog predmeta Matematika.
Organizirani su u pet skupina:
- Prikazivanje i komunikacija
- Povezivanje
- Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje
- Rješavanje problema i matematičko modeliranje
- Primjena tehnologije.
Prikazivanje i komunikacija
Učenici smisleno prikazuju matematičke objekte, obrazlažu rezultate, objašnjavaju svoje ideje i bilježe postupke koje provode. Pri tome koriste različite prikaze: riječi, crteže, makete, dijagrame, grafove, liste, tablice, brojeve, simbole i slično. U danoj situaciji odabiru prikladan prikaz, povezuju različite prikaze i prelaze iz jednog na drugi. Prikupljaju i tumače informacije iz raznovrsnih izvora.
Razvijanjem sposobnosti komuniciranja u matematici i o matematici učenici rabe jasan matematički jezik, razumiju njegov odnos prema govornom jeziku, slušaju i razumiju matematičke opise i objašnjenja drugih te razmjenjuju i sučeljavaju svoje ideje, mišljenja i stavove. Uspješna komunikacija doprinosi lakšem i bržem usvajanju novih sadržaja kako kurikuluma nastavnog predmeta Matematika, tako i kurikuluma ostalih nastavnih predmeta.
Povezivanje
Učenici uspostavljaju i razumiju veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikuju cjeline njihovim nadovezivanjem. Uspoređuju, grupiraju i klasificiraju objekte i pojave prema zadanom ili izabranom kriteriju. Povezuju matematiku s vlastitim iskustvom, prepoznaju ju u primjerima iz okoline i primjenjuju u drugim područjima kurikuluma. Time ostvaruju jasnoću, pozitivan stav i otvorenost prema matematici te povezuju matematiku s ostalim predmetima i životom tijekom procesa cjeloživotnog učenja.
Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje
Učenje matematike karakterizira razvoj i njegovanje logičkog i apstraktnog mišljenja. Poučavanjem i učenjem nastavnog predmeta Matematika učenici se suočavaju s izazovnim problemima koji ih potiču na promišljanje, argumentiranje i dokazivanje te donošenje samostalnih zaključaka. Učenici postavljaju matematici svojstvena pitanja te stvaraju i istražuju na njima zasnovane matematičke pretpostavke, uočene pravilnosti i odnose. Stvaraju i vrednuju lance matematičkih argumenata, zaključuju indukcijom i dedukcijom, analiziraju te primjenjuju analogiju, generalizaciju i specijalizaciju. Primjenjuju poznato u nepoznatim situacijama i prenose učenje iz jednog konteksta u drugi. Razvijaju kritičko mišljenje te prepoznaju utjecaj ljudskih čimbenika i vlastitih uvjerenja na zaključivanje. Proces mišljenja razvijen nastavom matematike učinkovito koriste u svom svakodnevnom životu.
Rješavanje problema i matematičko modeliranje
Učenici analiziraju problemsku situaciju, prepoznaju elemente koji se mogu matematički prikazati i planiraju pristup za njezino rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka. Biraju, osmišljavaju i primjenjuju razne strategije, rješavaju problem, promišljaju i vrednuju rješenje te ga prikazuju na prikladan način. Razvojem ovog procesa, osim primjene matematičkih znanja, učenici razvijaju upornost, hrabrost i otvorenost u suočavanju s novim i nepoznatim situacijama.
Primjena tehnologije
Korištenje alata i tehnologije pomaže učenicima u matematičkim aktivnostima u kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, pri provjeravanju pretpostavki, pri obradi i razmjeni podataka i informacija te za rješavanje problema i modeliranje. Učenici uočavaju i razumiju prednosti i nedostatke tehnologije. Na taj se način prirodno otvaraju mogućnosti za nove ideje, za dublja i drugačija matematička promišljanja, kao i za nove oblike učenja i poučavanja.
Domene u predmetnom kurikulumu
Početak i razvoj matematike temelji se na velikim matematičkim idejama, kao što su broj, oblik, struktura i promjena. Oko tih ideja grade se matematički koncepti i razvijaju grane matematike. Usvajanje tih koncepata važno je za razumijevanje informacija, procesa i pojava u svijetu koji nas okružuje. Srodni koncepti grupirani su u domene Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje i Podatci, statistika i vjerojatnost, koje proizlaze iz domena matematičkoga područja kurikuluma.
Domene se postupno razvijaju i nadograđuju cijelom vertikalom učenja i poučavanja matematike, a udio pojedine domene u ciklusu prilagođen je razvojnim mogućnostima učenika i potrebi sustavne izgradnje cjelovitoga matematičkog obrazovanja. Domene koje obuhvaćaju pojmove poput broja i oblika istaknutije su u nižim ciklusima, dok su u višim odgojno-obrazovnim ciklusima zastupljenije domene složenijih matematičkih koncepata, poput funkcija ili vjerojatnosti. Na razini pojedine godine učenja i poučavanja za svaku su domenu iskazani odgojno-obrazovni ishodi, jasni i nedvosmisleni iskazi očekivanja od učenika.
Premda domene povezuju srodne koncepte, njihova se nedjeljivost stalno primjećuje jer je usvojenost koncepata jedne domene često pretpostavka usvajanju koncepata u drugim domenama. Tom povezanošću matematika se spoznaje kao logična i zaokružena cjelina. Cjelovitim pristupom usvajanju koncepata svih domena stječu se matematička znanja i vještine i razvijaju matematičke kompetencije koje podrazumijevaju prikazivanje i komuniciranje matematičkim jezikom, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, matematičko modeliranje i rješavanje problema te uporabu tehnologije.
Važno je naglasiti da se odabirom primjerenih strategija poučavanja te kreativnim načinima izvedbe nastavnoga procesa može uvelike utjecati na razinu usvojenosti znanja i stjecanje vještina i stavova. U svim domenama matematika se povezuje sa stvarnim situacijama, a njezina svakodnevna primjena čini je važnom i nezamjenjivom za razvoj društva u cjelini.
Brojevi
U domeni Brojevi učenici postupno usvajaju apstraktne pojmove kao što su broj, brojevni sustav i skup te razvijaju vještinu izvođenja aritmetičkih postupaka.
Brojiti i računati započinje se u skupu prirodnih brojeva s nulom. Postupno se upoznaju skupovi cijelih, racionalnih, iracionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Razvija se predodžba o brojevima, povezuju njihove različite interpretacije te se uporabom osnovnih svojstava i međusobnih veza računskih operacija usvaja vještina učinkovitoga i sigurnoga računanja.
Tijekom svakoga ciklusa, odabirom prikladnoga načina računanja, procjenjujući i preispitujući smislenost rezultata, rješavaju se matematički problemi i problemi iz svakodnevnoga života, uz mogućnost uporabe različitih metoda i tehnologije u svrhu efikasnosti i točnosti.
Koncepti iz domene Brojevi osnova su svim ostalim matematičkim konceptima i na njima se gradi daljnje učenje matematike, a učenici će te koncepte u budućnosti svakodnevno upotrebljavati u osobnome, radnome i društvenome okruženju.
Algebra i funkcije
Algebra je jezik za opisivanje pravilnosti u kojemu slova i simboli predstavljaju brojeve, količine i operacije, a varijable se koriste pri rješavanju matematičkih problema.
U domeni Algebra i funkcije učenici se služe različitim vrstama prikaza; grade algebarske izraze, tablice i grafove radi generaliziranja, tumačenja i rješavanja problemskih situacija. Uočavaju nepoznanice i rješavaju jednadžbe i nejednadžbe računski provođenjem odgovarajućih algebarskih procedura, grafički i uz pomoću tehnologije kako bi otkrili njihove vrijednosti i protumačili ih u danome kontekstu. Određene algebarske procedure koriste se i za primjenu formula i provjeravanje pretpostavki.
Prepoznavanjem pravilnosti i opisivanjem ovisnosti dviju veličina jezikom algebre učenici definiraju funkcije koje proučavaju, tumače, uspoređuju, grafički prikazuju i upoznaju njihova svojstva. Modeliraju situacije opisujući ih algebarski, analiziraju i rješavaju matematičke probleme i probleme iz stvarnoga života koji uključuju pravilnosti ili funkcijske ovisnosti.
Oblik i prostor
Prostorni zor intuitivni je osjećaj za oblike i odnose među njima, a zajedno s geometrijskim rasuđivanjem razvija sposobnost misaone predodžbe objekta i prostornih odnosa.
Domena Oblik i prostor dio je geometrije koji se bavi proučavanjem oblika, njihovih položaja i odnosa.
Rastavljanjem i sastavljanjem oblika uspoređuju se njihova svojstva i uspostavljaju veze među njima. Iz uočenih svojstava i odnosa izvode se pretpostavke i tvrdnje koje se dokazuju crtežima i algebarskim izrazima.
Koristeći se geometrijskim priborom i tehnologijom učenici će izvoditi geometrijske transformacije, istraživati i primjenjivati njihova svojstva te razviti koncepte sukladnosti i sličnosti.
Interakcijom s ostalim domenama i matematičkim argumentiranjem prostornih veza koristeći prostorni zor i modeliranje učenici pronalaze primjenu matematičkih rješenja u različitim situacijama. Prepoznaju ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnome okružju te ih upotrebljavaju za opis i analizu svijeta oko sebe.
Mjerenje
Mjerenje je uspoređivanje neke veličine s istovrsnom veličinom koja je dogovorena jedinica mjere.
U domeni Mjerenje usvajaju se standardne mjerne jedinice za novac, duljinu, površinu, volumen, masu, vrijeme, temperaturu, kut i brzinu te ih se mjeri odgovarajućim mjernim uređajima i kalendarom. Procjenjivanjem, mjerenjem, preračunavanjem i izračunavanjem veličina određuju se mjeriva obilježja oblika i pojava uz razložno i učinkovito korištenje alata i tehnologije. Rezultati se interpretiraju i izražavaju u jedinici mjere koja odgovara situaciji.
Učenici će mjerenjem povezati matematiku s drugim odgojno-obrazovnim područjima, s vlastitim iskustvom, svakodnevnim životom u kući i zajednici te na radnome mjestu, prepoznati mjeriva obilježja ravninskih i prostornih oblika u umjetnosti te ih upotrebljavati za opis i analizu svijeta oko sebe.
Podatci, statistika i vjerojatnost
Domena podatci, statistika i vjerojatnost bavi se prikupljanjem, razvrstavanjem, obradom, analizom i prikazivanjem podataka u pogodnome obliku. Podatke dane grafičkim ili nekim drugim prikazom treba znati očitati te ih ispravno protumačiti i upotrijebiti. Sve se to postiže koristeći se jezikom statistike. Ona podrazumijeva uporabu matematičkoga aparata kojim se računaju mjere srednje vrijednosti, mjere raspršenja, mjere položaja i korelacije podataka.
Nakon prepoznavanja veza među podatcima i promatrajući frekvencije pojavljivanja, dolazi se do pojma vjerojatnosti. Određuje se broj povoljnih i svih mogućih ishoda, procjenjuje se i izračunava vjerojatnost što nam omogućuje predviđanje događaja.
D. Odgojno-obrazovni ishodi, sadržaji i razine usvojenosti po razredima i organizacijskim područjima
Upute za primjenu kurikuluma
Odgojno-obrazovni ishodi razrađeni su prema godišnjem broju sati u pojedinom razredu. U svakom razredu odabiru se odgojno-obrazovni ishodi za odgovarajući godišnji broj sati. Iznimka su struke koje u 1., 2. i 3. imaju razredu 105 sati godišnje, a u 4. razredu 70 sati godišnje. Za taj slučaj postoje posebni ishodi.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 1.1
SŠ MAT. E. 1.1
Primjenjuje računanje u skupu realnih brojeva.
Uspoređuje realne brojeve rabeći različite strategije uz obrazloženje.
Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija.
Primjenjuje računanje pri rješavanju matematičkih problema i problema iz svakodnevnoga života.
Procjenjuje, smisleno zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti.
Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine.
Računa vrijednost jednostavnih izraza i primjenjuje računanje pri rješavanju jednostavnih problema.
Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer problema iz života: Plaća neke osobe iznosi 3240 kuna. Za troškove stanovanja ta osoba daje dvije petine plaće, a za prehranu daje jednu trećinu plaće. Koliko kuna daje za troškove stanovanja, a koliko za prehranu? Koliko joj kuna ostane?
SŠ MAT. A.1.2
SŠ MAT. B.1.1
Računa s potencijama racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta, računa drugi korijen.
Prepoznaje zapis potencije kao umnožak jednakih faktora.
Opisuje dijelove potencije (baza i eksponent) i njihova značenja.
Računa vrijednost potencije, po potrebi uz uporabu džepnoga računala.
Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija.
Procjenjuje i računa vrijednost drugoga korijena rabeći džepno računalo.
Uspoređuje brojeve u znanstvenome zapisu i primjenjuje ga u jednostavnim problemima.
Pretvara standardni zapis broja u znanstveni i obrnuto. Računa vrijednost jednostavnih brojevnih izraza s potencijama.
Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja. Drugi korijen.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju pojma potencije. Primjena znanstvenoga zapisa broja može se povezati s mjernim jedinicama.
SŠ MAT. B.1.2
Računa s algebarskim izrazima
Računa vrijednost algebarskoga izraza za zadane varijable.
Računa s jednostavnim algebarskim izrazima.
Faktorizira jednostavne izraze primjenom zakona distribucije.
Primjenjuje formule za kvadrat zbroja i razlike i za razliku kvadrata.
Prošireni sadržaj:
Računa s algebarskim razlomcima.
Zbraja, oduzima i množi jednostavne algebarske izraze.
Sadržaj: Algebarski izrazi. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore
Prošireni sadržaj: Algebarski razlomci
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri računanju s algebarskim izrazima ne treba inzistirati na složenim zadacima
SŠ MAT. B.1.3
Primjenjuje proporcionalnost, linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave.
Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave te ih primjenjuje pri rješavanju jednostavnih problema.
Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.
Prošireni sadržaj:
Grafički rješava sustav jednadžbi.
Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu i rješenje prikazuje na brojevnome pravcu.
Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Problemi 1. stupnja. Linearne nejednadžbe. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri rješavanju jednadžbi, nejednadžbi i sustava ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju postupka i primjeni na problemima.
SŠ MAT. B.1.4
Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.
Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički, opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti.
U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, računa vrijednosti i argumente i prikazuje ih grafički.
Analizira problem zapisan linearnom funkcijom ili grafičkim prikazom.
Interpretira koeficijente linearne funkcije i određuje nultočku.
Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje grafičkoga prikaza funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Primjer primjene linearne funkcije u problemskoj situaciji: Majstor za dolazak u kuću naplaćuje 70 kn, a za svaki sat rada još 120 kn.
a) Koliko treba platiti dolazak u kuću i rad majstora ako je radio: pola sata, 1 sat, 1 sat i 20 minuta, 2 sata?
b) Grafički prikaži cijenu posjeta majstora ovisno o utrošenome vremenu.
c) Koliko je sati radio majstor koji je naplatio 270 kn?
SŠ MAT. C.1.1
SŠ MAT. D.1.1
Primjenjuje sličnost trokuta.
Izriče i ilustrira poučke o sličnosti trokuta, primjenjuje ih u modeliranju problema.
Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.
Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike.
Prošireni sadržaj:
Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnim dužinama. Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta. Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.
Rješava jednostavne probleme rabeći sličnost trokuta.
Sadržaj: Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.
Prošireni sadržaj: Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Heronova formula.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Primjer zadatka koji uključuje povijest matematike: Objasni kako je Tales pomoću sjene izračunao visinu piramide. Izračunaj na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.
SŠ MAT. C.1.2
SŠ MAT. D.1.2
Primjenjuje trigonometrijske omjere
Definira trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu.
Učinkovito se koristi džepnim računalom. Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju jednostavnih problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokuti i četverokuti).
Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutnome trokutu.
Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće. Jednostavni problemi uključuju probleme koji se izravno svode na pravokutni trokut i probleme s likovima koji se rješavaju, uočavanjem pravokutnoga trokuta.
SŠ MAT. D.1.3
Preračunava mjerne jedinice i odabire pogodnu
Preračunava osnovne mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut primjenjujući ih pri rješavanju problema.
Objašnjava značenje predmetaka mjernih jedinica (od mikro do giga).
Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnih problema.
Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ovaj ishod može se ostvariti primjenom u drugim ishodima, u primjerima u kojima se pojavljuju razne mjerne jedinice.
SŠ MAT. C.1.3
SŠ MAT. D.1.4
Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova
Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova.
Računa ostale elemente likova (duljine stranica, dijagonala, polumjera i slično).
Prepoznaje i računa opseg i površinu dijelova kruga.
Primjenjuje računanje opsega i površine u situacijama iz stvarnoga života.
Prošireni sadržaj:
Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.
Prepoznaje i računa opseg i površinu u jednostavnim problemima iz svakodnevnoga života.
Sadržaj: Geometrijski likovi. Opseg i površina trokuta, četverokuta, kruga i dijelova kruga.
Prošireni sadržaj: Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
U jednostavnim situacijama opseg i površina pronalaze se izravnim uvrštavanjem u formulu.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.2.1
SŠ MAT. B.2.1
Primjenjuje postotni račun
Prepoznaje elemente postotnoga računa, postotak, postotni iznos i cjelinu u problemskoj situaciji.
Računa nepoznati podatak.
Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost kada je zadana vrijednost promijenjena za postotak. Primjenjuje postotni račun za obračun PDV-a, carine, promjene i izračuna cijena, opise udjela i druge probleme iz života.
Prošireni sadržaj:
Razlikuje i objašnjava bruto i neto plaću i primjenjuje postotni račun za izračun neto plaće.
Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost u jednostavnim situacijama.
Sadržaj: Postotni račun.
Prošireni sadržaj: Bruto i neto plaća
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti proračunske tablice za usporedbu različitih parametara.
Primjer obračuna cijene: Cijena po kojoj je trgovina nabavila robu je nabavna ili fakturna cijena. Tu cijenu trgovina uvećava za troškove. Na taj iznos dodaje još razliku u cijeni, koja predstavlja prihod trgovine. Tako dobivena cijena naziva se prodajna cijena. Prodajna cijena uvećava se za porez na dodanu vrijednost (PDV). Cijena uvećana za porez naziva se maloprodajna cijena. To je cijena koju plaća kupac u trgovini.
SŠ MAT. B.2.2
Rješava kvadratnu jednadžbu
Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s racionalnim koeficijentima.
Prepoznaje postojanje rješenja kvadratne jednadžbe kada kvadratna jednadžba nema rješenje u skupu R.
Primjenjuje diskriminantu pri određivanju postojanja rješenja kvadratne jednadžbe.
Prošireni sadržaj:
Primjenjuje imaginarnu jedinicu pri zapisu rješenja kvadratne jednadžbe.
Faktorizira trinom.
Rješava kvadratnu jednadžbu primjenom formule.
Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.
Prošireni sadržaj:
Imaginarna jedinica. Faktorizacija trinoma.
SŠ MAT. B.2.3
Grafički prikazuje i primjenjuje kvadratnu funkciju
Grafički prikazuje kvadratnu funkciju. Iz grafa procjenjuje i određuje tjeme i nultočke kvadratne funkcije te ih primjenjuje pri grafičkome prikazu.
Kvadratnom funkcijom modelira jednostavnu problemsku situaciju.
Prošireni sadržaj:
Rješava jednostavnu kvadratnu nejednadžbu.
Grafički prikazuje funkciju f(x)=ax 2 +c
uz objašnjenje.
Sadržaj: Kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije.
Prošireni sadržaj: Kvadratna nejednadžba
SŠ MAT. C.2.1
SŠ MAT. D.2.1
Primjenjuje poučak o sinusima i počak o kosinusu
Računa nepoznate elemente trokuta primjenjujući poučak o sinusima i poučak o kosinusu.
Primjenjuje poučke u problemskim zadatcima.
Računa nepoznate elemente trokuta izravnom primjenom određenoga poučka.
Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
SŠ MAT. C.2.2
Crta geometrijska tijela i njihove mreže
Crta geometrijska tijela (kocku, kvadar, trostranu i četverostranu prizmu i piramidu, valjak, stožac i kuglu) u kvadratnoj mreži.
Prepoznaje i crta mreže tijela i dijagonalni i osni presjek tijela ravninom.
Prošireni sadržaj:
Izrađuje modele tijela. Platonova tijela.
Određuje broj vrhova, bridova i strana geometrijskoga tijela i povezuje geometrijsko tijelo s njegovom mrežom.
Sadržaj: Geometrijska tijela. Mreže geometrijskih tijela.
Prošireni sadržaj: Modeli tijela. Platonova tijela.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Učenici sami ili u skupini mogu izrađivati modele geometrijskih tijela ili pronalaziti modele u okolini.
SŠ MAT. C.2.3
SŠ MAT. D.2.2
Računa i primjenjuje oplošje i volumen geometrijskih tijela
Razlikuje i opisuje oplošje i volumen tijela.
Računa oplošje i volumen kocke, kvadra, prizme i valjka.
Računa volumen piramide i stošca.
Računa oplošje i volumen u problemskim situacijama.
Primjenjuje odgovarajuće mjerne jedinice.
Prošireni sadržaj:
Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.
Računa oplošje i volumena kocke, kvadra, prizme i valjka u jednostavnim problemima.
Sadržaj: Oplošje i volumen geometrijskih tijela. Kocka, kvadar, prizma valjak, piramida i stožac.
Prošireni sadržaj: Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.
SŠ MAT. E.2.1
Barata podacima prikazanim na različite načine
Prepoznaje obilježja skupa objekata, prikuplja podatke o njima, organizira ih tablično, određuje frekvenciju i relativnu frekvenciju podataka.
Određuje srednje vrijednosti prikupljenih podataka.
Crta linijske i stupčaste dijagrame frekvencija i relativnih frekvencija te kružni dijagram relativnih frekvencija.
Analizira rezultate i diskutira o njima.
Organizira prikupljene podatke i prikazuje ih linijskim i stupčastim dijagramom.
Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti proračunske tablice ili programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz podataka.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 3. razred – 70 sati godišnje
Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.3.1
SŠ MAT. B.3.1
Računa s potencijama racionalnog eksponenta
Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnoga računala.
Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto.
Navodi pravila za računanje s potencijama.
Računa s potencijama racionalnoga eksponenta.
Računa vrijednost korijena.
Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer izraza koji uključuje potencije racionalnoga eksponenta: Izračunaj vrijednost izraza: .
SŠ MAT. B.3.2
Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju
Određuje domenu i crta graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Prepoznaje eksponencijalnu i logaritamsku ovisnost u problemima i računa vrijednosti.
Prošireni sadržaj:
kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast, crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice.
Korelacija s Kemijom i Biologijom.
Određuje svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Prošireni sadržaj: Kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočava „inverznu“ vezu eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac .
Primjer problema opisanoga eksponencijalnom funkcijom: Funkcija pokazuje broj bakterija u uzorku sati nakon uzimanja uzorka.
a) Koliki će biti broj bakterija nakon 2 sata?
b) Nakon koliko će sati broj bakterija biti 2 560 000?
SŠ MAT. B.3.3
Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe
Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.
Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.
Rješava jednadžbu proizašlu iz problemske situacije opisane eksponencijalnom ili logaritamskom ovisnošću.
Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe izravnom primjenom definicije.
Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Vrijednost iznosa uloženoga na štednju svakim se danom povećava po formuli: . Nakon koliko će se dana vrijednost iznosa udvostručiti?
SŠ MAT. B.3.4
SŠ MAT. C.3.1
Primjenjuje svojstva i crta graf trigonometrijske funkcije
Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici, otkriva svojstva i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Rabi džepno računalo.
Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.
Grafički prikazuje trigonometrijske funkcije:
f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=Asin(bx), f(x)=Acos(bx)
Prošireni sadržaj:
Osnovni trigonometrijski identiteti. Crtice iz povijesti: podrijetlo imena trigonometrijskih funkcija.
Korelacija s Fizikom.
Uočava svojstva trigonometrijskih funkcija. Skicira grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.
Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija. Graf trigonometrijskih funkcija.
Prošireni sadržaj: Osnovni trigonometrijski identiteti
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija ( i ), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s , osi kotangensa s . Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani). Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.
SŠ MAT. C.3.2
SŠ MAT. D.3.1
Primjenjuje koordinatni sustav
Imenuje elemente koordinatnoga sustava, crta točke zadane koordinatama i obrnuto.
Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine te ih primjenjuje u geometrijskim problemima.
Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine.
Sadržaj: Koordinatni sustav u ravnini. Duljina dužine. Polovište dužine.
SŠ MAT. C.3.3
SŠ MAT. D.3.2
Računa s vektorima
Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora.
Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora.
Prošireni sadržaj:
Računa mjeru kuta između vektora.
Opisuje odnose između dvaju vektora, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu. Računa duljinu vektora.
Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora.
Prošireni sadržaj: Mjera kuta između vektora.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred – 64 sata godišnje
Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.4.1
SŠ MAT. D.4.1
Primjenjuje kamatni račun
Objašnjava veličine koje se javljaju u kamatnome računu.
Računa jednostavne kamate za dane, mjesece i godine i primjenjuje ih u jednostavnim primjerima iz života.
Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja.
Računa konačnu i početnu vrijednost uloga i ukupne složene kamate.
Primjenjuje kamatni račun u primjerima štednje ili dugovanja.
Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja. Računa konačnu vrijednost uloga pri složenome ukamaćivanju.
Sadržaj: Kamatni račun. Jednostavno i složeno ukamaćivanje.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer primjene kamatnoga računa na primjerima iz života: Marko je u siječnju dobio račun za plin od 670 kuna. Trebao ga je platit 20. siječnja. Zakasnio je s plaćanjem i platio tek 15. veljače. Kamatna stopa, ako zakasni s plaćanjem, iznosi 15 %.
a) Koliko je dana Marko zakasnio s plaćanjem?
b) Koliku će kamatu platiti?
c) Koliko će kuna ukupno platiti za plin?
Primjer složenoga kamatnog računa: Neka osoba uloži u banku 10000 kuna. Banka primjenjuje kamatnu stopu od 3 % godišnje. Obračun je kamata složen i godišnji. Kolika će biti vrijednost toga uloga nakon
a) 3 godine
b) 4 i pol godine
c) 3 godine i 8 mjeseci? Kolike su ukupne složene kamate?
SŠ MAT. B.4.1
Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz
Nabraja svojstva i opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, nastavlja zadani niz, računa razliku/količnik i traženi član niza.
Računa zbroj prvih n članova i primjenjuje ga u problemima vezanim uz složeno ukamaćivanje.
Opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, računa razliku/količnik i traženi član niza.
Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Složeni kamatni račun.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer primjene aritmetičkoga niza na dugovanje:
Matej je uzeo kredit od 24000 kuna, uz kamatnu stopu od 9 %. Vraćat će ga u ratama od 1000 kuna krajem mjeseca i svakoga će mjeseca platiti pripadajući kamatu. Koliko će ukupno kamata platiti?
Primjer primjene geometrijskoga niza na periodičke uplate štednje: Ana je tijekom 2 godine prvoga dana u mjesecu uplaćivala 1000 kuna na štednju. Kamate su obračunate po stopi od 3 % godišnje uz složeno godišnje ukamaćivanje. Kojim će iznosom Ana raspolagati nakon isteka dvije godine?
SŠ MAT. B.4.2
SŠ MAT. C.4.1
SŠ MAT. D.4.2
Primjenjuje jednadžbu pravca
Prepoznaje, opisuje i crta pravac u koordinatnome sustavu iz njegove jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.
Računa mjeru kuta pravca s pozitivnim dijelom apscise i povezuje s koeficijentom smjera.
Crta i određuje pravce paralelne s koordinatnim osima.
Određuje pravce paralelne/okomite zadanomu.
Prošireni sadržaj:
Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.
Korelacija s Kemijom.
Interpretira koeficijente u eksplicitnome obliku jednadžbe pravca.
Sadržaj: Jednadžba pravca. Nagib pravca. Paralelni i okomiti pravci.
Prošireni sadržaj: Kut između pravaca. Udaljenost od pravca.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.4.3
SŠ MAT. C.4.2
SŠ MAT. D.4.3
Primjenjuje jednadžbu kružnice
Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz nje pronalazi duljinu polumjera i koordinate središta kružnice i obrnuto. Iz grafičkoga prikaza pronalazi jednadžbu kružnice.
Određuje grafički ili računski jednadžbu kružnice u posebnome položaju (dodiruje jednu ili obje koordinatne osi) ili koncentrične kružnice.
Prošireni sadržaj:
Opisuje odnose i određuje presjek pravca i središnje kružnice. Određuje jednadžbu tangente u točki središnje kružnice.
Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu kružnice.
Sadržaj: Jednadžba kružnice.
Prošireni sadržaj: Presjek pravca i središnje kružnice. Jednadžba tangente u točki središnje kružnice.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.4.4
Analizira svojstva funkcija
Prepoznaje i nabraja elementarne funkcije (linearnu, kvadratnu,
, i , eksponencijalnu).
Navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, rast/ pad, nultočke, ograničenost).
Povezuje graf funkcije i svojstva te objašnjava na grafu.
Prošireni sadržaj:
Logaritamska funkcija.
Grafički prikazuje funkcije i nabraja njihova svojstva.
Sadržaj: Elementarne funkcije (linearna, kvadratna, eksponencijalna), njihov graf i svojstva (domena, kodomena, rast/ pad, nultočke, ograničenost).
Prošireni sadržaj: Logaritamska funkcija.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Svojstva funkcija uočavati i objašnjavati na grafu funkcije. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz grafa istraživanje svojstava funkcija.
SŠ MAT. B.4.5
Prikazuje skupove i operacije sa skupovima
Kreira i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama.
Rabi matematičke simbole u zapisu skupova i njihovih odnosa.
Određuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima.
Samostalno povezuje različite zapise skupova i prelazi iz jednoga u drugi.
Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima.
SŠ MAT. E.4.1
Računa vjerojatnost
Opisuje slučajan pokus i elementarne događaje.
Prepoznaje siguran i nemoguć događaj i određuje njihovu vjerojatnost.
Računa vjerojatnost primjenjujući klasičnu definiciju vjerojatnosti i svojstva vjerojatnosti.
Prošireni sadržaj:
Kombinatorika.
Primjenjuje skupove za prikaz slučajnoga događaja.
Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost događaja. Klasična definicija vjerojatnosti.
Prošireni sadržaj: Kombinatorika
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 4. razred - 70 sati godišnje (za struke koje su u 1., 2. i 3. razredu imale 105 sati godišnje)
Matematika – na kraju 4. razreda č etverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 4.1
Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini
Prikazuje kompleksan broj u
algebarskome obliku i u Gaussovoj
ravnini.
Zbraja, oduzima, množi i dijeli
kompleksne brojeve.
Određuje i prikazuje konjugirano
kompleksan broj i modul
kompleksnoga broja.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.
Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja
Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini.
Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Modul kompleksnog broja. Gaussova ravnina.
Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja
SŠ MAT. B. 4.1
Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz
Opisuje aritmetički i geometrijski niz, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza, posebno složeni kamatni račun.
Razlikuje aritmetički i
geometrijski niz te
određuje član niza
zadanoga rekurzivno ili
općim članom.
Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati.
Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina?
Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?
SŠ MAT. B. 4.2
Računa limes niza
Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.
Prošireni sadržaj:
Neprekidno ukamaćivanje.
Opisuje pojam
monotonosti i
omeđenosti niza.
Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.
Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamičke geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan.
Jednostavni niz: , , , .
SŠ MAT. B. 4.3
Analizira svojstva funkcija
Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost funkcije), povezuje graf funkcije i svojstva i objašnjava na grafu.
Određuje neka svojstva
funkcije zadane
pravilom pridruživanja
ili grafom.
Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost). Graf funkcije.
SŠ MAT. E. 4.1
Argumentirano računa vjerojatnost
Povezuje i prikazuje presjek, uniju i
suprotni događaj pomoću skupova i
operacija te Vennovim dijagramom.
Crta vjerojatnosno stablo.
Opisuje i računa vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju (simultani i uzastopni).
Razlikuje zavisne i nezavisne
događaje, računa uvjetnu vjerojatnost.
Korelacija s Logikom i Kemijom.
Računa vjerojatnost
simultanih događaja.
Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost. Vjerojatnosno stablo. Vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Provoditi jednostavne pokuse, primjerice bacanje kocke ili novčića. Uniju, presjek, razliku i komplement događaja ilustrirati Vennovim dijagramom. Povezati De Morganove zakone s predmetom logika. Računati uvjetne vjerojatnosti i vjerojatnost umnoška događaja.
Koristiti vjerojatnosno stablo.
Primjer zadatka: U vrećici je 8 bijelih i 6 crvenih kuglica. Izvlačimo jednu kuglicu, vratimo je i izvlačimo drugu.
IZBORNI ISHOD
SŠ MAT. B. 4.
Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine
Grafički prikazuje i objašnjava
problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa.
Objašnjava vezu derivacije i trenutne brzine (prijelaz iz prosječne u trenutnu).
Navodi definiciju derivacije.
Korelacija s Kemijom.
Prikazuje vezu prirasta
varijable i prirasta funkcije s derivacijom
funkcije u točki.
Sadržaj: Problem tangente i brzine. Definicija derivacije funkcije.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 1 . razred – 1 05 sati godišnje
Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A.1.1
SŠ MAT. E.1.1
Računa s realnim brojevima
Računa vrijednosti brojevnih izraza
poštujući redoslijed računskih
operacija.
Procjenjuje, zaokružuje i računa u
problemskim situacijama različitih
razina složenosti.
Računa aritmetičku sredinu
statističkih podataka prikazanih na
različite načine.
Rješava jednostavne
probleme uz procjenu
rješenja.
Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Trgovina je naručila 700 kutija keksa. Dvadeset posto narudžbe je čajno pecivo, a tri sedmine narudžbe su keksi s čokoladom. Ostalo su napolitanke. Koliko je kutija pojedine vrste naručila trgovina?
SŠ MAT. A.1.2
SŠ MAT. B.1.1
Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta
Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed
računskih operacija.
Navodi i objašnjava pravila za
zbrajanje, množenje, dijeljenje i
potenciranje potencija te ih
primjenjuje za pojednostavljivanje
izraza i povezuje ih s problemima iz
drugih područja i života.
Zaokružuje broj na značajne
znamenke.
Korelacija s Kemijom.
Računa vrijednost
jednostavnih brojevnih
izraza s potencijama.
Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale.
Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno metara u sekundi, a godina ima 365 dana.
SŠ MAT. B.1.2
Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima
Za zadani izraz računa konkretne
vrijednosti, pojednostavljuje izraz,
primjenjuje formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata, faktorizira
izraze, krati, množi, dijeli i zbraja
jednostavne algebarske razlomke
Množi i dijeli
jednostavne algebarske
razlomke
Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri računanju s algebarskim razlomcima ne treba inzistirati na složenim zadatcima, već na razumijevanju i primjeni pravila.
Primjer jednostavnih algebarskih razlomaka: , ,
SŠ MAT. B.1.3
Primjenjuje proporcionlnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave
Primjenjuje postotni račun za
obračun poreza, carine, promjene
cijena, opise udjela i druge robleme
iz života. Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života. Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi. Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.
Prošireni sadržaj:
Diskutira postojanje rješenja
jednadžbe ovisno o parametru,
rješava jednostavne linearne
jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Rješava problem
zapisujući ga u obliku
linearne jednadžbe ili
sustava jednadžbi.
Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.
Prošireni sadržaj: Jednadžbe s parametrom. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavni problemi: Povećanje/sniženje za određeni postotak, izračun postotka, primjena proporcionalnosti u jednome koraku, račun diobe, problemi koji se izravno svode na linearnu jednadžbu.
SŠ MAT. B.1.4
Primjenjuje linearne nejednadžbe
Rješava linearne nejednadžbe i
sustave nejednadžbi te rješenje
zapisuje pomoću intervala.
Primjenjuje linearne nejednadžbe u
problemskim situacijama.
Prošireni sadržaj:
Rješava jednostavne linearne
nejednadžbe s apsolutnom
vrijednošću.
Rješava linearne
nejednadžbe zapisujući
rješenje na različite
načine.
Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.
Prošireni sadržaj: Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina.
a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz.
b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte
lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha.
c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto?
d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?
SŠ MAT. B.1.5
SŠ MAT. D.1.1
Povezuje različite prikaze linearne funkcije
Zadanu linearnu funkciju prikazuje
tablično i grafički. Opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku. Iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju. Iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju.
Prošireni sadržaj:
Crta graf funkcije apsolutne
vrijednosti.
Interpretira koeficijente
linearne funkcije.
Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.
Prošireni sadržaj: Graf funkcije apsolutne vrijednosti.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.
SŠ MAT. B.1.6
Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema
U problemskim situacijama
prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema.
Analizira problem iz grafičkoga
prikaza.
Iz zadanih podataka
linearnu ovisnost
zapisuje kao linearnu
funkciju.
Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka otvorenoga tipa:
Osmislite zadatak koji je prikazan zadanim grafom (slika u dokumentu u prilogu). Napišite neka pitanja koja možete postaviti na osnovi podataka vidljivih s grafa, a povezano sa zadatkom. Odgovorite na ta pitanja.
SŠ MAT. B.1.7
Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi pomoću intervala.
Nejednakosti zapisuje pomoću
intervala i obrnuto te prikazuje na
brojevnome pravcu.
Primjenjuje i prikazuje podskup,
uniju, presjek i razliku skupova
realnih brojeva zapisujući ih
matematičkim simbolima.
Određuje i prikazuje
presjek i uniju skupova.
Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Zadani su skupovi brojeva: A je skup realnih brojeva manjih ili jednakih 3, a B je skup realnih brojeva većih od 3 i manjih od 15.
Zapišite skupove pomoću intervala i prikažite ih na brojevnome pravcu.
Za svaku tvrdnju odredite je li točna ili netočna i obrazložite:
SŠ MAT. C.1.1
Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta
Definira i konstruira simetralu dužine, simetralu kuta, visinu i težišnicu te karakteristične točke trokuta. Uočava da težište dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1.
Analizira položaj karakterističnih
točaka ovisno o vrsti trokuta.
Prošireni sadržaj:
Otkriva formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.
Definira i konstruira
središte opisane
kružnice.
Sadržaj: Karakteristične točke trokuta.
Prošireni sadržaj: Formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.
SŠ MAT. C.1.2
SŠ MAT. D.1.2
Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta
Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti
i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina, primjenjuje ih u modeliranju problema.
Određuje, obrazlaže i primjenjuje
odnose površina, opsega i drugih
veličina u sličnim trokutima.
Primjenjuje Heronovu formulu pri
računanju površine trokuta.
Kroz primjere zadataka upoznaje
povijest matematike.
Prošireni sadržaj:
Rješava probleme rabeći Euklidov
poučak o pravokutnome trokutu.
Crtice iz povijesti: Tales, Euler,
Heron, Pitagora.
Rješava jednostavne
probleme rabeći Talesov
poučak o
proporcionalnosti dužina
i sličnost trokuta
Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.
Prošireni sadržaj: Euklidov poučak
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Objasnite kako je Tales pomoću sjene izmjerio visinu piramide. Izračunajte na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.
SŠ MAT. D.1.3
Primjenjuje trigonometrijske omjere
Primjenjuje trigonometrijske omjere
pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u
planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, romb).
Prošireni sadržaj:
Paralelogram, trapez, deltoid
Primjenjuje
trigonometrijske omjere
u pravokutnome trokutu
za određivanje
nepoznatih veličina
Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.
Prošireni sadržaj: Primjena trigonometrijskih omjera na paralelogram, trapez i deltoid.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednostavni problemi: problemi koji se izravno svode na pravokutan trokut, problemi s likovima koji se rješavaju izravno, uočavanjem pravokutnoga trokuta.
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi.
IZBIRNI ISHOD
SŠ MAT. C.1.
SŠ MAT. D.1.
Računa s vektorima
Prepoznaje, opisuje i rabi elemente
vektora. Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu određuje duljinu vektora. Prikazuje vektor kao linearnu kombinaciju vektora.
Prošireni sadržaj:
Računa mjeru kuta između vektora
Opisuje odnose između
dvaju vektora, određuje
koordinate vektora
zadanoga točkama u koordinatnome sustavu.
Računa duljinu vektora.
Sadržaj: Vektori. Operacije s vektorima. Vektori u koordinatnom sustavu. Linearna kombinacija vektora.
Prošireni sadržaj: Kut između vektora.
Četverogodišnje strukovne škole Matematika 2. razred – 105 sati godišnje
Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:
Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost
odgojno-obrazovni ishodi
razrada ishoda
odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda
SŠ MAT. A. 2.1
Računa s drugim i trećim korijenom
Procjenjuje i računa približnu
vrijednost drugoga i trećega korijena
koristeći džepno računalo.
Računa s izrazima s drugim i trećim
korijenom poštujući redoslijed
računskih operacija.
Djelomično korjenuje izraz.
Prošireni sadržaj:
Racionalizira nazivnik razlomka
Drugi korijen
negativnoga broja
prikazuje pomoću
imaginarne jedinice
Sadržaj: Drugi i treći korijen. Imaginarna jedinica.
Prošireni sadržaj: Racionalizacija nazivnika.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Računati približnu vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo.
Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru:
Primjer izraza s drugim korijenom:
Primjer izraza s trećim korijenom:
Prošireni sadržaj: Racionalizirati nazivnik razlomka oblika .
SŠ MAT. B. 2.1
Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu
Bira metodu i rješava kvadratne
jednadžbe s racionalnim koeficijentima.
Primjenjuje diskriminantu pri
određivanju prirode rješenja kvadratne jednadžbe.
Faktorizira trinom.
Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu.
Modelira problemsku situaciju te
određuje rješenja.
Prošireni sadržaj:
Vièteove formule.
Korelacija s Fizikom i Informatikom
Učinkovito rješava
kvadratnu jednadžbu.
Argumentira prirodu
rješenja kvadratne
jednadžbe
Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.
Prošireni sadržaj: Vièteove formule.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu: bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu i iracionalne jednadžbe oblika
Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.
Primjer: Ne rješavajući jednadžbu odredite prirodu rješenja te jednadžbe
SŠ MAT. B. 2.2
Analizira funkciju
Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja.
Računski određuje domenu
jednostavnih racionalnih i iracionalnih funkcija. Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju. Na primjeru skupa prepoznaje bijekciju.
Objašnjava pojam
funkcije.
Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Bijekcija.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Bijekciju definirati i prepoznati na primjerima skupova (prikaz Veenovim dijagramom)
Sliku funkcije odrediti računski samo za linearne i kvadratne funkcije.
Jednostavne racionalne funkcije oblika su .
Jednostavne iracionalne funkcije oblika su .
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
SŠ MAT. B. 2.3
SŠ MAT. C. 2.1
Analizira grafički prikaz funkcije
Grafički prikazuje funkcije
I . Na grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije i objašnjava bijekciju.
Skicira graf inverzne funkcije
Pomoću grafičkoga
prikaza funkcije
određuje domenu,
kodomenu i sliku
funkcije.
Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije.
Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Grafički prikazati funkciju funkcije
i određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable x.
Graf inverzne funkcije skicirati preslikavajući funkciju preko pravca y = x.
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
SŠ MAT. B. 2.4
SŠ MAT. C. 2.2
Primjenjuje kvadratnu funkciju
Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme parabole, os simetrije, tijek funkcije.
Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima.
Očitava točke s grafa funkcije. Rješava jednostavne kvadratne nejednadžbe.
Pri grafičkome prikazivanju kvadratne funkcije objašnjava oblik funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.
Prošireni sadržaj:
Određuje funkciju iz grafa
Grafički prikazuje
kvadratnu funkciju.
Sadržaj: Kvadratna funkcija. Gra