Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 1.1

SŠ MAT. E. 1.1

Primjenjuje računanje u skupu realnih brojeva.

Uspoređuje realne brojeve rabeći različite strategije uz obrazloženje.

Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija.

Primjenjuje računanje pri rješavanju matematičkih problema i problema iz svakodnevnoga života.

Procjenjuje, smisleno zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti.

Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine.

Računa vrijednost jednostavnih izraza i primjenjuje računanje pri rješavanju jednostavnih problema.

Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Primjer problema iz života: Plaća neke osobe iznosi 3240 kuna. Za troškove stanovanja ta osoba daje dvije petine plaće, a za prehranu daje jednu trećinu plaće. Koliko kuna daje za troškove stanovanja, a koliko za prehranu? Koliko joj kuna ostane?

SŠ MAT. A.1.2

SŠ MAT. B.1.1

Računa s potencijama racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta, računa drugi korijen.

Prepoznaje zapis potencije kao umnožak jednakih faktora.

Opisuje dijelove potencije (baza i eksponent) i njihova značenja.

Računa vrijednost potencije, po potrebi uz uporabu džepnoga računala.

Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija.

Procjenjuje i računa vrijednost drugoga korijena rabeći džepno računalo.

Uspoređuje brojeve u znanstvenome zapisu i primjenjuje ga u jednostavnim problemima.

Pretvara standardni zapis broja u znanstveni i obrnuto. Računa vrijednost jednostavnih brojevnih izraza s potencijama.

Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja. Drugi korijen.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju pojma potencije. Primjena znanstvenoga zapisa broja može se povezati s mjernim jedinicama.

SŠ MAT. B.1.2

Računa s algebarskim izrazima

Računa vrijednost algebarskoga izraza za zadane varijable.

Računa s jednostavnim algebarskim izrazima.

Faktorizira jednostavne izraze primjenom zakona distribucije.

Primjenjuje formule za kvadrat zbroja i razlike i za razliku kvadrata.

Prošireni sadržaj:

Računa s algebarskim razlomcima.

Zbraja, oduzima i množi jednostavne algebarske izraze.

Sadržaj: Algebarski izrazi. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore

Prošireni sadržaj: Algebarski razlomci

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Pri računanju s algebarskim izrazima ne treba inzistirati na složenim zadacima

SŠ MAT. B.1.3

Primjenjuje proporcionalnost, linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave.

Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave te ih primjenjuje pri rješavanju jednostavnih problema.

Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.

Prošireni sadržaj:

Grafički rješava sustav jednadžbi.

Rješava jednostavnu linearnu nejednadžbu i rješenje prikazuje na brojevnome pravcu.

Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Problemi 1. stupnja. Linearne nejednadžbe. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Pri rješavanju jednadžbi, nejednadžbi i sustava ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju postupka i primjeni na problemima.

SŠ MAT. B.1.4

Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.

Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički, opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti.

U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, računa vrijednosti i argumente i prikazuje ih grafički.

Analizira problem zapisan linearnom funkcijom ili grafičkim prikazom.

Interpretira koeficijente  linearne funkcije i određuje nultočku.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje grafičkoga prikaza funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.  

Primjer primjene linearne funkcije u problemskoj situaciji: Majstor za dolazak u kuću naplaćuje 70 kn, a za svaki sat rada još 120 kn.

a) Koliko treba platiti dolazak u kuću i rad majstora ako je radio: pola sata, 1 sat, 1 sat i 20 minuta, 2 sata?

b) Grafički prikaži cijenu posjeta majstora ovisno o utrošenome vremenu.

c) Koliko je sati radio majstor koji je naplatio 270 kn?

SŠ MAT. C.1.1

SŠ MAT. D.1.1

Primjenjuje sličnost trokuta.

Izriče i ilustrira poučke o sličnosti trokuta, primjenjuje ih u modeliranju problema.

Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.

Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike.

Prošireni sadržaj:

Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnim dužinama. Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta. Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.

Rješava jednostavne probleme rabeći sličnost trokuta.

Sadržaj: Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.

Prošireni sadržaj: Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Heronova formula.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne   programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

Primjer zadatka koji uključuje povijest matematike: Objasni kako je Tales pomoću sjene izračunao visinu piramide. Izračunaj na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.

SŠ MAT. C.1.2

SŠ MAT. D.1.2

Primjenjuje trigonometrijske omjere

Definira trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu.

Učinkovito se koristi džepnim računalom. Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju jednostavnih problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokuti i četverokuti).

Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutnome trokutu.

Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće. Jednostavni problemi uključuju probleme koji se izravno svode na pravokutni trokut i probleme s likovima koji se rješavaju, uočavanjem pravokutnoga trokuta.

SŠ MAT. D.1.3

Preračunava mjerne jedinice i odabire pogodnu

Preračunava osnovne mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut primjenjujući ih pri rješavanju problema.

Objašnjava značenje predmetaka mjernih jedinica (od mikro do giga).

Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnih problema.

Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Ovaj ishod može se ostvariti primjenom u drugim ishodima, u primjerima u kojima se pojavljuju razne mjerne jedinice.

SŠ MAT. C.1.3

SŠ MAT. D.1.4

Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova

Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova.

Računa ostale elemente likova (duljine stranica, dijagonala, polumjera i slično).

Prepoznaje i računa opseg i površinu dijelova kruga.

Primjenjuje računanje opsega i površine u situacijama iz stvarnoga života.

Prošireni sadržaj:

Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.

Prepoznaje i računa opseg i površinu u jednostavnim problemima iz svakodnevnoga života.

Sadržaj: Geometrijski likovi. Opseg i površina trokuta, četverokuta, kruga i dijelova kruga.

Prošireni sadržaj: Površina likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.

U jednostavnim situacijama opseg i površina pronalaze se izravnim uvrštavanjem u formulu.

Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.2.1

SŠ MAT. B.2.1

Primjenjuje postotni račun

Prepoznaje elemente postotnoga računa, postotak, postotni iznos i cjelinu u problemskoj situaciji.

Računa nepoznati podatak.

Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost kada je zadana vrijednost promijenjena za postotak. Primjenjuje postotni račun za  obračun PDV-a, carine, promjene i izračuna cijena, opise udjela i druge probleme iz života.

Prošireni sadržaj:

Razlikuje i objašnjava bruto i neto plaću i primjenjuje postotni račun za izračun neto plaće.

Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost u jednostavnim situacijama.

Sadržaj: Postotni račun.

Prošireni sadržaj: Bruto i neto plaća

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti proračunske tablice za usporedbu različitih parametara.

Primjer obračuna cijene: Cijena po kojoj je trgovina nabavila robu je nabavna ili fakturna cijena. Tu cijenu trgovina uvećava za troškove. Na taj iznos dodaje još razliku u cijeni, koja predstavlja prihod trgovine. Tako dobivena cijena naziva se prodajna cijena. Prodajna cijena uvećava se za porez na dodanu vrijednost (PDV). Cijena uvećana za porez naziva se maloprodajna cijena. To je cijena koju plaća kupac u trgovini.

SŠ MAT. B.2.2

Rješava kvadratnu jednadžbu

Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s racionalnim koeficijentima.

Prepoznaje postojanje rješenja kvadratne jednadžbe kada kvadratna jednadžba nema rješenje u skupu R.

Primjenjuje diskriminantu pri određivanju postojanja rješenja kvadratne jednadžbe.

Prošireni sadržaj:

Primjenjuje imaginarnu jedinicu pri zapisu rješenja kvadratne jednadžbe.

Faktorizira trinom.

Rješava kvadratnu jednadžbu primjenom formule.

Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.

Prošireni sadržaj:

Imaginarna jedinica. Faktorizacija trinoma.

SŠ MAT. B.2.3

Grafički prikazuje i primjenjuje kvadratnu funkciju

Grafički prikazuje kvadratnu funkciju. Iz grafa procjenjuje i određuje tjeme i nultočke kvadratne funkcije te ih primjenjuje pri grafičkome prikazu.

Kvadratnom funkcijom modelira jednostavnu problemsku situaciju.

Prošireni sadržaj:

Rješava jednostavnu kvadratnu nejednadžbu.

Grafički prikazuje funkciju   f(x)=ax ² +c

uz objašnjenje.

Sadržaj: Kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije.

Prošireni sadržaj: Kvadratna nejednadžba

SŠ MAT. C.2.1

SŠ MAT. D.2.1

Primjenjuje poučak o sinusima i počak o kosinusu

Računa nepoznate elemente trokuta primjenjujući poučak o sinusima i poučak o kosinusu.

Primjenjuje poučke u problemskim zadatcima.

Računa nepoznate elemente trokuta izravnom primjenom određenoga poučka.

Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.

SŠ MAT. C.2.2

Crta geometrijska tijela i njihove mreže

Crta geometrijska tijela (kocku, kvadar, trostranu i četverostranu prizmu i piramidu, valjak, stožac i kuglu) u kvadratnoj mreži.

Prepoznaje i crta mreže tijela i dijagonalni i osni presjek tijela ravninom.

Prošireni sadržaj:

Izrađuje modele tijela. Platonova tijela.

Određuje broj vrhova, bridova i strana geometrijskoga tijela i povezuje geometrijsko tijelo s njegovom mrežom.

Sadržaj: Geometrijska tijela. Mreže geometrijskih tijela.

Prošireni sadržaj: Modeli tijela. Platonova tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Učenici sami ili u skupini mogu izrađivati modele geometrijskih tijela ili pronalaziti modele u okolini.

SŠ MAT. C.2.3

SŠ MAT. D.2.2

Računa i primjenjuje oplošje i volumen geometrijskih tijela

Razlikuje i opisuje oplošje i volumen tijela.

Računa oplošje i volumen kocke, kvadra, prizme i valjka.

Računa volumen piramide i stošca.

Računa oplošje i volumen u problemskim situacijama.

Primjenjuje odgovarajuće mjerne jedinice.

Prošireni sadržaj:

Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.

Računa oplošje i volumena kocke, kvadra, prizme i valjka u jednostavnim problemima.

Sadržaj: Oplošje i volumen geometrijskih tijela. Kocka, kvadar, prizma valjak, piramida i stožac.

Prošireni sadržaj: Oplošje piramide i stošca, volumen i oplošje kugle.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Rabiti modele tijela. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.

SŠ MAT. E.2.1

Barata podacima prikazanim na različite načine

Prepoznaje obilježja skupa objekata, prikuplja podatke o njima, organizira ih tablično, određuje frekvenciju i relativnu frekvenciju podataka.

Određuje srednje vrijednosti prikupljenih podataka.

Crta linijske i stupčaste dijagrame frekvencija i relativnih frekvencija te kružni dijagram relativnih frekvencija.

Analizira rezultate i diskutira o njima.

Organizira prikupljene podatke i prikazuje ih linijskim i stupčastim dijagramom.

Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti proračunske tablice ili programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz podataka.

Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.3.1

SŠ MAT. B.3.1

Računa s potencijama racionalnog eksponenta

Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez  džepnoga računala.

Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto.

Navodi pravila za računanje s potencijama.

Računa s potencijama racionalnoga eksponenta.

Računa vrijednost korijena.

Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer izraza koji uključuje potencije racionalnoga eksponenta: Izračunaj vrijednost izraza: .

SŠ MAT. B.3.2

Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju

Određuje domenu i crta graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prepoznaje eksponencijalnu i logaritamsku ovisnost u problemima i računa vrijednosti.

Prošireni sadržaj:

kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast, crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice.

Korelacija s Kemijom i Biologijom.

Određuje svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prošireni sadržaj: Kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočava „inverznu“ vezu eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac .

Primjer problema opisanoga eksponencijalnom funkcijom: Funkcija  pokazuje broj bakterija u uzorku sati nakon uzimanja uzorka.

a) Koliki će biti broj bakterija nakon 2 sata?

b) Nakon koliko će sati broj bakterija biti 2 560 000?

SŠ MAT. B.3.3

Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe

Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.

Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.

Rješava jednadžbu proizašlu iz  problemske situacije opisane eksponencijalnom ili logaritamskom ovisnošću.

Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe izravnom primjenom definicije.

Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Vrijednost iznosa uloženoga na štednju svakim se danom povećava po formuli: . Nakon koliko će se dana vrijednost iznosa udvostručiti?

SŠ MAT. B.3.4

SŠ MAT. C.3.1

Primjenjuje svojstva i crta graf trigonometrijske funkcije

Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici, otkriva svojstva i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Rabi džepno računalo.

Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.

Grafički prikazuje trigonometrijske funkcije:

f(x)=sinx,  f(x)=cosx, f(x)=Asin(bx), f(x)=Acos(bx)

Prošireni sadržaj:

Osnovni trigonometrijski identiteti. Crtice iz povijesti: podrijetlo imena trigonometrijskih funkcija.

Korelacija s Fizikom.

Uočava svojstva trigonometrijskih funkcija. Skicira grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.

Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija. Graf trigonometrijskih funkcija.

Prošireni sadržaj: Osnovni trigonometrijski identiteti

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija ( i ), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s , osi kotangensa s . Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani). Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.

SŠ MAT. C.3.2

SŠ MAT. D.3.1

Primjenjuje koordinatni sustav

Imenuje elemente koordinatnoga sustava, crta točke zadane koordinatama i obrnuto.

Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine te ih primjenjuje u geometrijskim problemima.

Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine.

Sadržaj: Koordinatni sustav u ravnini. Duljina dužine. Polovište dužine.

SŠ MAT. C.3.3

SŠ MAT. D.3.2

Računa s vektorima

Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora.

Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora.

Prošireni sadržaj:

Računa mjeru kuta između vektora.

Opisuje odnose između dvaju vektora, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu. Računa duljinu vektora.

Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora.

Prošireni sadržaj: Mjera  kuta između vektora.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.4.1

SŠ MAT. D.4.1

Primjenjuje kamatni račun

Objašnjava veličine koje se javljaju u kamatnome računu.

Računa jednostavne kamate za dane, mjesece i godine i primjenjuje ih u jednostavnim primjerima iz života.

Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja.

Računa konačnu i početnu vrijednost uloga i ukupne složene kamate.

Primjenjuje kamatni račun u primjerima štednje ili dugovanja.

Opisuje razliku između jednostavnoga i složenoga ukamaćivanja. Računa konačnu vrijednost uloga pri složenome ukamaćivanju.

Sadržaj: Kamatni račun. Jednostavno i složeno ukamaćivanje.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Primjer primjene kamatnoga računa na primjerima iz života: Marko je u siječnju dobio račun za plin od 670 kuna. Trebao ga je platit 20. siječnja. Zakasnio je s plaćanjem i platio tek 15. veljače. Kamatna stopa, ako zakasni s plaćanjem, iznosi 15 %.

a) Koliko je dana Marko zakasnio s plaćanjem?

b) Koliku će kamatu platiti?

c) Koliko će kuna ukupno platiti za plin?

Primjer složenoga kamatnog računa: Neka osoba uloži u banku 10000 kuna. Banka primjenjuje kamatnu stopu od 3 % godišnje. Obračun je kamata složen i godišnji. Kolika će biti vrijednost toga uloga nakon

a) 3 godine    

b) 4 i pol godine    

c)  3 godine i 8 mjeseci?  Kolike su ukupne složene kamate?

SŠ MAT. B.4.1

Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz

Nabraja svojstva i opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, nastavlja zadani niz, računa razliku/količnik i traženi član niza.

Računa zbroj prvih n članova i primjenjuje ga u problemima vezanim uz složeno ukamaćivanje.

Opisuje razliku između aritmetičkoga i geometrijskoga niza, računa razliku/količnik i traženi član niza.

Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Složeni kamatni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Primjer primjene aritmetičkoga niza na dugovanje:

Matej je uzeo kredit od 24000 kuna, uz kamatnu stopu od 9 %. Vraćat će ga u ratama od 1000 kuna krajem mjeseca i svakoga će mjeseca platiti pripadajući kamatu. Koliko će ukupno kamata platiti?

Primjer primjene geometrijskoga niza na periodičke uplate štednje: Ana je tijekom 2 godine prvoga dana u mjesecu uplaćivala 1000 kuna na štednju. Kamate su obračunate po stopi od 3 % godišnje uz složeno godišnje ukamaćivanje. Kojim će iznosom Ana raspolagati nakon isteka dvije godine?

SŠ MAT. B.4.2

SŠ MAT. C.4.1

SŠ MAT. D.4.2

Primjenjuje jednadžbu pravca

Prepoznaje, opisuje i crta pravac u koordinatnome sustavu iz njegove jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.

Računa mjeru kuta pravca s pozitivnim dijelom apscise i povezuje s koeficijentom smjera.

Crta i određuje pravce paralelne s koordinatnim osima.

Određuje pravce paralelne/okomite zadanomu.

Prošireni sadržaj:

Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.

Korelacija s Kemijom.

Interpretira koeficijente u eksplicitnome obliku jednadžbe pravca.

Sadržaj: Jednadžba pravca. Nagib pravca. Paralelni i okomiti pravci.

Prošireni sadržaj: Kut između pravaca. Udaljenost   od pravca.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

SŠ MAT. B.4.3

SŠ MAT. C.4.2

SŠ MAT. D.4.3

Primjenjuje jednadžbu kružnice

Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz nje pronalazi duljinu polumjera i koordinate središta kružnice i obrnuto. Iz grafičkoga prikaza pronalazi jednadžbu kružnice.

Određuje grafički ili računski jednadžbu kružnice u posebnome položaju (dodiruje jednu ili obje koordinatne osi) ili koncentrične kružnice.

Prošireni sadržaj:

Opisuje odnose i određuje presjek pravca i središnje kružnice. Određuje jednadžbu tangente u točki središnje kružnice.

Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu kružnice.

Sadržaj: Jednadžba kružnice.

Prošireni sadržaj: Presjek pravca i središnje kružnice. Jednadžba tangente u točki središnje kružnice.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

SŠ MAT. B.4.4

Analizira svojstva funkcija

Prepoznaje i nabraja elementarne funkcije (linearnu, kvadratnu,  

,  i   , eksponencijalnu).

Navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu,  rast/ pad, nultočke, ograničenost).

Povezuje graf funkcije i svojstva te objašnjava na grafu.

Prošireni sadržaj:

Logaritamska funkcija.

Grafički prikazuje funkcije i nabraja njihova svojstva.

Sadržaj: Elementarne funkcije (linearna, kvadratna, eksponencijalna), njihov graf i svojstva (domena, kodomena,  rast/ pad, nultočke, ograničenost).

Prošireni sadržaj: Logaritamska funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Svojstva funkcija uočavati i objašnjavati na grafu funkcije. Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za prikaz grafa istraživanje svojstava funkcija.  

SŠ MAT. B.4.5

Prikazuje skupove i operacije sa skupovima

Kreira i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama.

Rabi matematičke simbole u zapisu skupova i njihovih odnosa.

Određuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima.

Samostalno povezuje različite zapise skupova i prelazi iz jednoga u drugi.

Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima.

SŠ MAT. E.4.1

Računa vjerojatnost

Opisuje slučajan pokus i elementarne događaje.

Prepoznaje siguran i nemoguć događaj i određuje njihovu vjerojatnost.

Računa vjerojatnost primjenjujući klasičnu definiciju vjerojatnosti i svojstva vjerojatnosti.

Prošireni sadržaj:

Kombinatorika.

Primjenjuje skupove za prikaz slučajnoga događaja.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost događaja. Klasična definicija vjerojatnosti.

Prošireni sadržaj: Kombinatorika

Matematika – na kraju 4. razreda č etverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 4.1

Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

Prikazuje kompleksan broj u
algebarskome obliku i u Gaussovoj
ravnini.
Zbraja, oduzima, množi i dijeli
kompleksne brojeve.
Određuje i prikazuje konjugirano
kompleksan broj i modul
kompleksnoga broja.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja

Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Modul kompleksnog broja. Gaussova ravnina.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski zapis kompleksnog broja

SŠ MAT. B. 4.1

Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz

Opisuje aritmetički i geometrijski niz, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza, posebno složeni kamatni račun.

Razlikuje aritmetički i
geometrijski niz te
određuje član niza
zadanoga rekurzivno ili
općim članom.

Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati.
Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina?
Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?

SŠ MAT. B. 4.2

Računa limes niza

Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.
Prošireni sadržaj:
Neprekidno ukamaćivanje.

Opisuje pojam
monotonosti i
omeđenosti niza.

Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.

Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamičke geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan.

Jednostavni niz: , , , .

SŠ MAT. B. 4.3

Analizira svojstva funkcija

Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost funkcije), povezuje graf funkcije i svojstva i objašnjava na grafu.

Određuje neka svojstva
funkcije zadane
pravilom pridruživanja
ili grafom.

Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost,  monotonost i ograničenost). Graf funkcije.

SŠ MAT. E. 4.1

Argumentirano računa vjerojatnost

Povezuje i prikazuje presjek, uniju i
suprotni događaj pomoću skupova i
operacija te Vennovim dijagramom.
Crta vjerojatnosno stablo.
Opisuje i računa vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju (simultani i uzastopni).
Razlikuje zavisne i nezavisne
događaje, računa uvjetnu vjerojatnost.
Korelacija s Logikom i Kemijom.

Računa vjerojatnost
simultanih događaja.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost. Vjerojatnosno stablo. Vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Provoditi jednostavne pokuse, primjerice bacanje kocke ili novčića. Uniju, presjek, razliku i komplement događaja ilustrirati Vennovim dijagramom. Povezati De Morganove zakone s predmetom logika. Računati uvjetne vjerojatnosti i vjerojatnost umnoška događaja.
Koristiti vjerojatnosno stablo.
Primjer zadatka: U vrećici je 8 bijelih i 6 crvenih kuglica. Izvlačimo jednu kuglicu, vratimo je i izvlačimo drugu.

IZBORNI ISHOD

SŠ MAT. B. 4.

Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine

Grafički prikazuje i objašnjava
problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa.
Objašnjava vezu derivacije i trenutne brzine (prijelaz iz prosječne u trenutnu).
Navodi definiciju derivacije.

Korelacija s Kemijom.

Prikazuje vezu prirasta
varijable i prirasta funkcije s derivacijom
funkcije u točki.

Sadržaj: Problem tangente i brzine. Definicija derivacije funkcije.

Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.1.1

SŠ MAT. E.1.1

Računa s realnim brojevima

Računa vrijednosti brojevnih izraza
poštujući redoslijed računskih
operacija.
Procjenjuje, zaokružuje i računa u
problemskim situacijama različitih
razina složenosti.
Računa aritmetičku sredinu
statističkih podataka prikazanih na
različite načine.

Rješava jednostavne
probleme uz procjenu
rješenja.

Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Trgovina je naručila 700 kutija keksa. Dvadeset posto narudžbe je čajno pecivo, a tri sedmine narudžbe su keksi s čokoladom. Ostalo su napolitanke. Koliko je kutija pojedine vrste naručila trgovina?

SŠ MAT. A.1.2

SŠ MAT. B.1.1

Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta

Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed
računskih operacija.
Navodi i objašnjava pravila za
zbrajanje, množenje, dijeljenje i
potenciranje potencija te ih
primjenjuje za pojednostavljivanje
izraza i povezuje ih s problemima iz
drugih područja i života.
Zaokružuje broj na značajne
znamenke.
Korelacija s Kemijom.

Računa vrijednost
jednostavnih brojevnih
izraza s potencijama.

Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale.
Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno metara u sekundi, a godina ima 365 dana.

SŠ MAT. B.1.2

Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima

Za zadani izraz računa konkretne
vrijednosti, pojednostavljuje izraz,
primjenjuje formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata, faktorizira
izraze, krati, množi, dijeli i zbraja
jednostavne algebarske razlomke

Množi i dijeli
jednostavne algebarske
razlomke

Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Pri računanju s algebarskim razlomcima ne treba inzistirati na složenim zadatcima, već na razumijevanju i primjeni pravila.

Primjer jednostavnih algebarskih razlomaka: , ,

SŠ MAT. B.1.3

Primjenjuje proporcionlnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave

Primjenjuje postotni račun za
obračun poreza, carine, promjene
cijena, opise udjela i druge  robleme
iz života. Primjenjuje  proporcionalnost u primjerima iz života. Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života. Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi. Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.

Prošireni sadržaj:
Diskutira postojanje rješenja
jednadžbe ovisno o parametru,
rješava jednostavne linearne
jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Rješava problem
zapisujući ga u obliku
linearne jednadžbe ili
sustava jednadžbi.

Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Prošireni sadržaj: Jednadžbe s parametrom. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavni problemi: Povećanje/sniženje za određeni postotak, izračun postotka, primjena proporcionalnosti u jednome koraku, račun diobe, problemi koji se izravno svode na linearnu jednadžbu.

SŠ MAT. B.1.4

Primjenjuje linearne nejednadžbe

Rješava linearne nejednadžbe i
sustave nejednadžbi te rješenje
zapisuje pomoću intervala.
Primjenjuje linearne nejednadžbe u
problemskim situacijama.
Prošireni sadržaj:

Rješava jednostavne linearne
nejednadžbe s apsolutnom
vrijednošću.

Rješava linearne
nejednadžbe zapisujući
rješenje na različite
načine.

Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.

Prošireni sadržaj: Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina.
a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz.
b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte
lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha.
c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto?
d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?

SŠ MAT. B.1.5

SŠ MAT. D.1.1

Povezuje različite prikaze linearne funkcije

Zadanu linearnu funkciju prikazuje
tablično i grafički. Opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku. Iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju. Iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju.

Prošireni sadržaj:
Crta graf funkcije apsolutne
vrijednosti.

Interpretira koeficijente
linearne funkcije.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Prošireni sadržaj: Graf funkcije apsolutne vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.

SŠ MAT. B.1.6

Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema

U problemskim situacijama
prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema.
Analizira problem iz grafičkoga
prikaza.

Iz zadanih podataka
linearnu ovisnost
zapisuje kao linearnu
funkciju.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka otvorenoga tipa:

Osmislite zadatak koji je prikazan zadanim grafom (slika u dokumentu u prilogu). Napišite neka pitanja koja možete postaviti na osnovi podataka vidljivih s grafa, a povezano sa zadatkom. Odgovorite na ta pitanja.

SŠ MAT. B.1.7

Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi pomoću intervala.

Nejednakosti zapisuje pomoću
intervala i obrnuto te prikazuje na
brojevnome pravcu.
Primjenjuje i prikazuje podskup,
uniju, presjek i razliku skupova
realnih brojeva zapisujući ih
matematičkim simbolima.

Određuje i prikazuje
presjek i uniju skupova.

Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: Zadani su skupovi brojeva: A je skup realnih brojeva manjih ili jednakih 3, a B je skup realnih brojeva većih od 3 i manjih od 15.
Zapišite skupove pomoću intervala i prikažite ih na brojevnome pravcu.
Za svaku tvrdnju odredite je li točna ili netočna i obrazložite:

SŠ MAT. C.1.1

Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta

Definira i konstruira simetralu dužine, simetralu kuta, visinu i težišnicu te karakteristične točke trokuta. Uočava da težište dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1.
Analizira položaj karakterističnih
točaka ovisno o vrsti trokuta.
Prošireni sadržaj:
Otkriva formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.

Definira i konstruira
središte opisane
kružnice.

Sadržaj: Karakteristične točke trokuta.

Prošireni sadržaj: Formule za površinu trokuta s polumjerom upisane i opisane
kružnice.

SŠ MAT. C.1.2

SŠ MAT. D.1.2

Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta

Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti
i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina, primjenjuje ih u modeliranju problema.
Određuje, obrazlaže i primjenjuje
odnose površina, opsega i drugih
veličina u sličnim trokutima.
Primjenjuje Heronovu formulu pri
računanju površine trokuta.
Kroz primjere zadataka upoznaje
povijest matematike.

Prošireni sadržaj:
Rješava probleme rabeći Euklidov
poučak o pravokutnome trokutu.
Crtice iz povijesti: Tales, Euler,
Heron, Pitagora.

Rješava jednostavne
probleme rabeći Talesov
poučak o
proporcionalnosti dužina
i sličnost trokuta

Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.

Prošireni sadržaj: Euklidov poučak

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Objasnite kako je Tales pomoću sjene izmjerio visinu piramide. Izračunajte na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini.

SŠ MAT. D.1.3

Primjenjuje trigonometrijske omjere

Primjenjuje trigonometrijske omjere
pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u
planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, romb).
Prošireni sadržaj:
Paralelogram, trapez, deltoid

Primjenjuje
trigonometrijske omjere
u pravokutnome trokutu
za određivanje
nepoznatih veličina

Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.

Prošireni sadržaj: Primjena trigonometrijskih omjera na paralelogram, trapez i deltoid.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednostavni problemi: problemi koji se izravno svode na pravokutan trokut, problemi s likovima koji se rješavaju izravno, uočavanjem pravokutnoga trokuta.
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi.

IZBIRNI ISHOD

SŠ MAT. C.1.

SŠ MAT. D.1.

Računa s vektorima

Prepoznaje, opisuje i rabi elemente
vektora. Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu određuje duljinu vektora. Prikazuje vektor kao linearnu kombinaciju vektora.
Prošireni sadržaj:
Računa mjeru kuta između vektora

Opisuje odnose između
dvaju vektora, određuje
koordinate vektora
zadanoga točkama u koordinatnome sustavu.
Računa duljinu vektora.

Sadržaj: Vektori. Operacije s vektorima. Vektori u koordinatnom sustavu. Linearna kombinacija vektora.

Prošireni sadržaj: Kut između vektora.

Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 2.1

Računa s drugim i trećim korijenom

Procjenjuje i računa približnu
vrijednost drugoga i trećega korijena
koristeći džepno računalo.
Računa s izrazima s drugim i trećim
korijenom poštujući redoslijed
računskih operacija.
Djelomično korjenuje izraz.
Prošireni sadržaj:
Racionalizira nazivnik razlomka

Drugi korijen
negativnoga broja
prikazuje pomoću
imaginarne jedinice

Sadržaj: Drugi i treći korijen. Imaginarna jedinica.

Prošireni sadržaj: Racionalizacija nazivnika.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Računati približnu vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo.
Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru:

Primjer izraza s drugim korijenom:

Primjer izraza s trećim korijenom:

Prošireni sadržaj: Racionalizirati nazivnik razlomka oblika .

SŠ MAT. B. 2.1

Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu

Bira metodu i rješava kvadratne
jednadžbe s racionalnim koeficijentima.
Primjenjuje diskriminantu pri
određivanju prirode rješenja kvadratne jednadžbe.
Faktorizira trinom.
Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu.
Modelira problemsku situaciju te
određuje rješenja.
Prošireni sadržaj:
Vièteove formule.
Korelacija s Fizikom i Informatikom

Učinkovito rješava
kvadratnu jednadžbu.
Argumentira prirodu
rješenja kvadratne
jednadžbe

Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.

Prošireni sadržaj: Vièteove formule.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu: bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu i iracionalne jednadžbe oblika

Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.
Primjer: Ne rješavajući jednadžbu odredite prirodu rješenja te jednadžbe

SŠ MAT. B. 2.2

Analizira funkciju

Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja.
Računski određuje domenu
jednostavnih racionalnih i iracionalnih funkcija. Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju. Na primjeru skupa prepoznaje bijekciju.

Objašnjava pojam
funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Bijekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Bijekciju definirati i prepoznati na primjerima skupova (prikaz Veenovim dijagramom)
Sliku funkcije odrediti računski samo za linearne i kvadratne funkcije.

Jednostavne racionalne funkcije oblika su .
Jednostavne iracionalne funkcije oblika su .

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2.3

SŠ MAT. C. 2.1

Analizira grafički prikaz funkcije

Grafički prikazuje funkcije

I . Na grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije i objašnjava bijekciju.
Skicira graf inverzne funkcije

Pomoću grafičkoga
prikaza funkcije
određuje domenu,
kodomenu i sliku
funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Grafički prikazati funkciju funkcije

i određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable x.

Graf inverzne funkcije skicirati preslikavajući funkciju preko pravca y = x.

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2.4

SŠ MAT. C. 2.2

Primjenjuje kvadratnu funkciju

Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme parabole, os simetrije, tijek funkcije.
Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima.
Očitava točke s grafa funkcije. Rješava jednostavne kvadratne nejednadžbe.
Pri grafičkome prikazivanju kvadratne funkcije objašnjava oblik funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.
Prošireni sadržaj:
Određuje funkciju iz grafa

Grafički prikazuje
kvadratnu funkciju.

Sadržaj: Kvadratna funkcija. Grafički prikaz kvadratne funkcije. Tjeme i nultočke. Kvadratna nejednadžba.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.
Učenik će grafički prikazati funkciju oblika translacijom i funkciju oblika metodom pet točaka (nultočke, tjeme parabole, sjecište s ordinatom, preslikavanje sjecišta s ordinatom preko osi simetrije).
Problemska situacija uključuje probleme s ekstremima te određivanje sjecišta kvadratne i linearne funkcije.

Primjer:

Praćenjem prodaje nekoga proizvoda ustanovljeno je da se prodaja može opisati kvadratnom funkcijom gdje je x cijena proizvoda a f(x) broj prodanih komada proizvoda po cijeni x.

Koliko će se proizvoda prodati ako je cijena 30 kuna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?
Za koju je cijenu prodaja toga proizvoda isplativa?
Kolika mora biti cijena ako trgovac želi prodati više od 45 komada toga proizvoda?
Za koju će cijenu prodaja toga proizvoda biti maksimalna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?
Isplati li se taj proizvod prodavati po cijeni od 15 kuna?

Jednostavne kvadratne nejednadžbe oblika , , .

SŠ MAT. C. 2.3

SŠ MAT. D. 2.1

Primjenjuje kružnicu i krug

Primjenjuje poučak o obodnome i
središnjem kutu pri dokazu Talesovog poučka.
Konstruira tangentu na kružnicu.
Uz pomoć proporcionalnosti izvodi
formule za duljinu kružnoga luka i
površinu kružnoga isječka.
Povezuje duljinu kružnoga luka s
radijanskom mjerom kuta.
Prošireni sadržaj:
Površina kružnoga odsječka.

Konstruira tangentu na
kružnicu.

Sadržaj: Kružnica i krug. Kružni luk i kružni isječak. Poučak o obodnom i središnjem kutu.

Prošireni sadržaj: Površina kružnoga odsječka.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Otkrivati i obrazlagati formule.

SŠ MAT. C. 2.4

SŠ MAT. D. 2.2

Primjenjuje poučak o sinusima i poučak o kosinusu

Povezuje trigonometrijske omjere u
pravokutnome trokutu s koordinatama točke na kružnici.
Računa površinu trokuta.
Primjenjuje poučke u problemskim
zadatcima.
Prošireni sadržaj:
Primjena u stereometriji.

Rabi odgovarajući
poučak i argumentira
svoj izbor za računanje
elemenata trokuta.

Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu. Primjena u planimetriji.

Prošireni sadržaj: Primjena u stereometriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Izostaviti zadatke u kojima se primjenjuju adicijske formule. Izostaviti slučaj s dva moguća rješenja.
Vrijednosti sinusa i kosinusa za kutove od 90° do 180° uvode se na sljedeći način: (slika u dokumentu u prilogu)

SŠ MAT. C. 2.5

SŠ MAT. D. 2.3

Analizira položaj pravaca i ravnina u prostoru i računa udaljenost

Razlikuje točku, pravac, ravninu te
analizira i objašnjava međusobne
položaje.
Određuje ortogonalnu projekciju
geometrijskoga objekta.
Računa udaljenosti točaka, pravaca, ravnina.

Određuje ortogonalnu
projekciju

Sadržaj: Geometrija prostora. Ortogonalna projekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Koristiti se modelima, mrežama ili skicama geometrijskih tijela.
Pri određivanju udaljenosti koristiti se dosad stečenim znanjima (Pitagorin poučak, trigonometrijski omjeri…).

SŠ MAT. C. 2.6

SŠ MAT. D. 2.4

Računa volumen i oplošje geometrijskih tijela

Prepoznaje i opisuje uspravnu prizmu (četverostrana, pravilna šesterostrana), piramidu (četverostrana, pravilna
šesterostrana), valjak, stožac i kuglu.
Računa elemente (duljine bridova,
volumen, oplošje, polumjer baze…)
prizme, valjka, piramide, stošca, kugle te rotacijskih tijela.
Prošireni sadržaj:
Platonova tijela.

Računa volumen i
oplošje prizme i valjka

Sadržaj: Geometrijska tijela. Oplošje i volumen geometrijskih tijela.

Prošireni sadržaj: Platonova tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ovaj ishod treba obraditi nakon poučka o sinusima.
Otkrivati formule za volumen prebacujući vodu (ili rižu, pijesak…) iz šuplje piramide/stošca u šuplju prizmu/valjak sukladnih baza i visine.

SŠ MAT. E. 2.1

Barata podatcima prikazanim na različite načine. Crta brkatu kutiju

Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom, histogramom, dijagramom stablo – list, linijskim dijagramom itd.
Određuje srednje vrijednosti (mod,
medijan, donji i gornji kvartil) te
standardnu devijaciju.
Crta brkatu kutiju.
Korelacija s Geografijom,
Informatikom, Kemijom i Biologijom.

Iščitava podatke iz
grafičkoga prikaza.

Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Prikazivanje mjera dijagramom brkate kutije omogućava lakšu interpretaciju tih mjera i lakšu usporedbu više skupova istovrsnih podataka.
Primjer: Mjerenjem mase petnaest bjeloglavih supova dobiveni su sljedeći podatci o masama jedinki:
7.5, 7.8, 9.1, 9.3, 9.1, 8.2, 7.5, 7.5, 7.3, 8.2, 8.3, 8.8, 9.8, 7.3, 9.7.
Odredite statističke parametre (aritmetička sredina, mod, medijan, donji i gornji kvartil, standardnu devijaciju).
Objasnite značenje standardne devijacije na primjeru toga uzorka bjeloglavih supova.
Prikažite statističke parametre toga uzorka dijagramom brkate kutije.

SŠ MAT. E. 2.2

Primjenjuje vjerojatnost

Opisuje siguran i nemoguć događaj.
Rabi algebru događaja (unija, presjek,komplement) za određivanje
vjerojatnosti.
Određuje geometrijsku vjerojatnost.

Primjenjuje klasičnu
definiciju vjerojatnosti.

Sadržaj: Vjerojatnost. Klasična definicija vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost.

IZBORNI ISHOD

SŠ MAT. A. 2.

Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

Prikazuje kompleksan broj u
algebarskome obliku i u Gaussovoj
ravnini.
Zbraja, oduzima, množi i dijeli
kompleksne brojeve.
Određuje i prikazuje konjugirano
kompleksan broj i modul
kompleksnoga broja.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.

Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Modul kompleksnog broja. Gaussova ravnina.

Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 3.1

SŠ MAT. B. 3.1

Primjenjuje pravila za računanje s potencijama racionalnog eksponenta

Prelazi iz prikaza potencije
racionalnoga eksponenta u prikaz
korijenom i obrnuto.
Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnoga računala.
Računa s potencijama racionalnoga
eksponenta.

Računa vrijednost
potencija racionalnoga
eksponenta.

Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta.

SŠ MAT. B. 3.2

SŠ MAT. C. 3.1

Analizira eksponencijalnu i logaritamsku funkciju

Određuje domenu, kodomenu, sliku,
rast i pad, inverznu funkciju
eksponencijalne i logaritamske
funkcije ( , , ) i crta graf.

Prošireni sadržaj:
Baza prirodnoga logaritma (e),

Crtice iz povijesti: Euler, Napier.

Grafički prikazuje
logaritamsku i
eksponencijalnu
funkciju.

Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prošireni sadržaj: Baza prirodnoga logaritma (e).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočava „inverznu“ vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac y = x.

SŠ MAT. B. 3.3

SŠ MAT. C. 3.2

Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju

Modelira problemsku situaciju,
određuje i provjerava rješenja te im
utvrđuje smislenost.
Prošireni sadržaj:
Crtice iz povijesti: Briggsove i
Napierove logaritamske tablice,
Korelacija s Kemijom i Biologijom.

U problemu opisanome
eksponencijalnom i
logaritamskom
funkcijom računa
vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena eksponencijalne i logaritamske funkcije.

SŠ MAT. B. 3.4

Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom

Navodi i primjenjuje svojstva
potencija i logaritama, računa
vrijednosti jednostavnih logaritamskih izraza, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.
Rješava jednostavne eksponencijalne i
logaritamske jednadžbe.
Modelira problemsku situaciju,
određuje i provjerava rješenja te im
utvrđuje smislenost.

Rješava eksponencijalne
i logaritamske jednadžbe
izravnom primjenom
definicije

Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

SŠ MAT. B. 3.5

SŠ MAT. C. 3.3

Primjenjuje svojstva trigonometrijskih funkcija

Definira trigonometrijske funkcije
broja na brojevnoj kružnici, otkriva
svojstva i koristi ih za računanje
vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Rabi džepno računalo.
Prošireni sadržaj:
Trigonometrijski identiteti. Crtice iz
povijesti: podrijetlo imena
trigonometrijskih funkcija

Uočava svojstva
trigonometrijskih
funkcija.

Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski identiteti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija (sinx i cosx), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s tgx , osi kotangensa s  ctgx. Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani).

SŠ MAT. B. 3.6

SŠ MAT. C. 3.4

Analizira graf trigonometrijske funkcije

Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih
trigonometrijskih funkcija.
Grafički prikazuje trigonometrijske
funkcije: , , , ,

,

Korelacija s Fizikom.

Određuje svojstva
trigonometrijskih
funkcija ,

Sadržaj: Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.

SŠ MAT. B. 3.7

SŠ MAT. C. 3.5

Primjenjuje trigonometrijske funkcije

Analizira probleme opisane
trigonometrijskom funkcijom i
primjenjuje trigonometrijske funkcije
za modeliranje.

U problemu opisanome
trigonometrijskom
funkcijom računa
vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer problema opisanoga trigonometrijskom funkcijom: Duljina dana opisana je formulom:

, pri čemu je t dan u godini (t=0 je 1. siječnja), Konstanta K određena je geografskom širinom mjesta.

a) Kolika je duljina dna 22. 2. u Dubrovniku (K=6)

b) Koji dan u veljači traje 11 sati?

c) Koji je dan najkraći, a koji najdulji?

SŠ MAT. B. 3.8

Primjenjuje trigonometrijske jednadžbe

Osnovne trigonometrijske jednadžbe
rješava grafički ili na brojevnoj
kružnici

Rješava trigonometrijske
jednadžbe

,

Sadržaj: Trigonometrijske jednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer: U nekome mjestu na moru određenoga dana plima je u ponoć i podne, a oseka u 6 i 18 sati. Razina mora, u odnosu na uobičajenu, za vrijeme plime je 5.11 m, a za vrijeme oseke (-0.17). Odredite:
a) Koja će razina mora biti u 10 sati?
b) U koliko će sati poslije podne razina mora biti 0?

SŠ MAT. C. 3.6

SŠ MAT. D. 3.1

Primjenjuje računanje s vektorima

Prepoznaje, opisuje i koristi elemente vektora.
Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu,
određuje duljinu vektora, računa
skalarni umnožak vektora i primjenjuje ga za uvjet okomitosti vektora.
Primjenjuje svojstva vektora u
problemskim zadatcima.
Prošireni sadržaji:
Rastavlja vektore koristeći linearnu
kombinaciju vektora (računski ili
grafički).

Računa s vektorima
(zbraja, oduzima i množi
skalarom) prikazanima
na razne načine.

Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora. Okomiti vektori. Linearna kombinacija vektora.

SŠ MAT. B. 3.9

SŠ MAT. C. 3.7

SŠ MAT. D. 3.2

Primjenjuje jednadžbu pravca

Prepoznaje, opisuje i crta pravac u
koordinatnome sustavu iz njegove
jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.
Računa mjeru kuta pravca s
pozitivnim dijelom apscise i povezuje ga s koeficijentom smjera.
Crta i određuje pravce paralelne s
koordinatnim osima.
Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.
Prošireni sadržaj: Pravac regresije.

Korelacija s Kemijom.

Interpretira koeficijente
u jednadžbi pravca.

Sadržaj: Jednadžba pravca. Kut između pravaca. Udaljenost točke od pravca.

SŠ MAT. B. 3.10

SŠ MAT. C. 3.8

SŠ MAT. D. 3.3

Primjenjuje jednadžbu kružnice

Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz
nje pronalazi duljinu polumjera i
koordinate središta kružnice i obrnuto.
Iz grafičkoga prikaza pronalazi
jednadžbu kružnice.
Određuje grafički ili računski
jednadžbu kružnice u posebnome
položaju (dodiruje jednu ili obje
koordinatne osi) ili koncentrične
kružnice.

Iz općega oblika jednadžbe kružnice određuje središte i polumjer kružnice.

Prošireni sadržaji:
Ispituje međusobni položaj pravca i
kružnice. Tangenta na kružnicu.

Iz zadanih uvjeta
određuje jednadžbu
kružnice.

Sadržaj: Jednadžba kružnice.

Prošireni sadržaji: Međusobni položaj pravca i kružnice. Tangenta na kružnicu.

SŠ MAT. E. 3.1

Rješava problem i bira strategiju rabeći kombinatoriku

Prepoznaje i opisuje osnovne principe prebrojavanja, permutacije,
kombinacije i varijacije.
Objašnjava, računa i daje primjer
permutacija, kombinacija i varijacija.
Ilustrira i rješava problem rabeći
kombinatoriku.

Rješava probleme rabeći
kombinacije i varijacije
bez ponavljanja i
permutacije.

Sadržaj: Kombinatorika. Osnovni princip prebrojavanja. Permutacije, kombinacije i varijacije.

IZBORNI ISHOD

SŠ MAT. B. 3.

SŠ MAT. C. 3.

Primjenjuje jednadžbe elipse, hiperbole i parabole

Prepoznaje jednadžbu elipse,
hiperbole i parabole i iz nje pronalazi nepoznate elemente krivulje i obrnuto.
Iz grafičkoga prikaza ili zadanih
uvjeta pronalazi jednadžbu elipse,
hiperbole i parabole.

Prošireni sadržaji:
Konstrukcija elipse, hiperbole i
parabole. Crtice iz povijesti:
čunjosječice.

Iz zadanih uvjeta
određuje jednadžbu
elipse, hiperbole,
parabole.

Sadržaj: Jednadžba elipse, hiperbole i parabole.

Prošireni sadržaji: Konstrukcija elipse, hiperbole i parabole.

Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 4.1

Računa s kompleksnim brojevima

Zapisuje kompleksan broj u
algebarskome i trigonometrijskome
obliku.
Zbraja, oduzima, množi i potencira u
odgovarajućemu obliku, po potrebi
koristeći De Moivreovu formulu.
Prošireni sadržaj:
Korjenuje kompleksne brojeve.

Prikazuje kompleksan
broj u
trigonometrijskome
obliku.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Računske operacije s kompleksnim brojevima. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. De Moivreova formula.

Prošireni sadržaj: Korijen kompleksnog broja.

SŠ MAT. A. 4.2

SŠ MAT. C. 4.1

Interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

Prikazuje kompleksan broj u
Gaussovoj ravnini, određuje i
prikazuje konjugirano kompleksan
broj i modul kompleksnoga broja.
Rješenja jednostavnih jednadžbi i
nejednadžbi grafički prikazuje u
Gaussovoj ravnini.
Interpretira geometrijsko značenje
zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.
Prošireni sadržaj:
Rješenja jednadžbe, primjerice

prikazuje u Gaussovoj ravnini.

Uočava vezu modula
kompleksnoga broja i
konjugirano
kompleksnoga broja s
njegovim prikazom u
Gaussovoj ravnini

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Gaussova ravnina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Jednostavne jednadžbe i nejednadžbe: , , , .

SŠ MAT. B. 4.1

Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz

Opisuje aritmetički i geometrijski niz, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza, posebno složeni kamatni račun.

Razlikuje aritmetički i
geometrijski niz te
određuje član niza
zadanoga rekurzivno ili
općim članom.

Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati.
Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina?
Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?

SŠ MAT. B. 4.2

Računa limes niza

Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.
Prošireni sadržaj:
Neprekidno ukamaćivanje.

Opisuje pojam
monotonosti i
omeđenosti niza.

Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.

Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamičke geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan.

Jednostavni niz: , , , .

SŠ MAT. B. 4.3

Analizira svojstva funkcija

Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost funkcije), povezuje graf funkcije i svojstva i objašnjava na grafu.

Određuje neka svojstva
funkcije zadane
pravilom pridruživanja
ili grafom.

Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost,  monotonost i ograničenost). Graf funkcije.

SŠ MAT. B. 4.4

Tumači značenje limesa funkcije u točki

Opisuje i grafom prikazuje funkciju
koja je neprekidna, odnosno koja nije, objašnjava pojam limesa funkcije. Određuje limes funkcije.

Određuje limes
jednostavne funkcije te
navodi primjere
neprekidnih funkcija i
onih koje nisu
neprekidne.

Sadržaj: Limes funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Određuje limese funkcija, primjerice , , .

SŠ MAT. B. 4.5

Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine

Grafički prikazuje i objašnjava
problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa.
Objašnjava vezu derivacije i trenutne brzine (prijelaz iz prosječne u trenutnu).
Navodi definiciju derivacije.

Korelacija s Kemijom.

Prikazuje vezu prirasta
varijable i prirasta funkcije s derivacijom
funkcije u točki.

Sadržaj: Problem tangente i brzine. Definicija derivacije funkcije.

SŠ MAT. B. 4.6

Primjenjuje derivaciju funkcije u problemskim situacijama

Izvodi derivaciju po definiciji za
jednostavne funkcije (linearnu,
kvadratnu), navodi pravila deriviranja zbroja, umnoška i kvocijenta, određuje tangentu na graf jednostavne funkcije.
Rješava problemske zadatke rabeći
derivaciju.

Računa derivacije
jednostavnih funkcija
koristeći pravila.

Sadržaj: Derivacija funkcije. Pravila deriviranja. Tangenta na graf funkcije. Primjena derivacija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Primjer zadatka: Voda istječe iz bazena. Volumen vode nakon t minuta iznosi   . Odredite: prosječnu brzinu istjecanja vode u prvih 5 minuta; trenutnu brzinu istjecanja vode u t = 5 minuta.

SŠ MAT. B. 4.7

Povezuje derivaciju funkcije i crtanje grafa funkcije

U zadatcima s polinomima i
racionalnim funkcijama (polinomi
najviše 2. stupnja u brojniku i
nazivniku), određuje domenu, nultočke (po mogućnosti), stacionarne točke,
intervale pada i rasta funkcije
(polinoma), ispituje postojanje
ekstrema.
Određuje tijek funkcije i crta graf.
Prošireni sadržaj:
Određivanje asimptota.

Skicira graf funkcije
prema određenim
svojstvima.

Sadržaj: Svojstva funkcije (domena, kodomena, nultočke, pad/rast, ekstremi). Tijek funkcije. Primjena derivacije.

Prošireni sadržaj: Asimptote.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Istraživanjem veze predznaka derivacije i rasta/pada funkcije pomoću programa dinamične geometrije uočiti uvjet kada je stacionarna točka lokalni ekstrem funkcije.

SŠ MAT. B. 4.8

SŠ MAT. D. 4.1

Primjenjuje računanje površine ispod grafa funkcije.

Izračunava površinu ispod grafa
linearne funkcije, složene funkcije
(linearna, zadana po dijelovima).
Povezuje pojam površine ispod grafa s prijeđenim putom u v-t dijagramu.

Prošireni sadržaj: Površina ispod grafa kvadratne funkcije.

Računa površinu ispod
grafa funkcije u
jednostavnim
situacijama.

Sadržaj: Sadržaj: Površina ispod grafa funkcije.

Prošireni sadržaj: Površina ispod grafa kvadratne funkcije.

SŠ MAT. E. 4.1

Argumentirano računa vjerojatnost

Povezuje i prikazuje presjek, uniju i
suprotni događaj pomoću skupova i
operacija te Vennovim dijagramom.
Crta vjerojatnosno stablo.
Opisuje i računa vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju (simultani i uzastopni).
Razlikuje zavisne i nezavisne
događaje, računa uvjetnu vjerojatnost.
Korelacija s Logikom i Kemijom.

Računa vjerojatnost
simultanih događaja.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost. Vjerojatnosno stablo. Vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:
Provoditi jednostavne pokuse, primjerice bacanje kocke ili novčića. Uniju, presjek, razliku i komplement događaja ilustrirati Vennovim dijagramom. Povezati De Morganove zakone s predmetom logika. Računati uvjetne vjerojatnosti i vjerojatnost umnoška događaja.
Koristiti vjerojatnosno stablo.
Primjer zadatka: U vrećici je 8 bijelih i 6 crvenih kuglica. Izvlačimo jednu kuglicu, vratimo je i izvlačimo drugu.

Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A.1.1.

SŠ MAT. B.1.1.

Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnoga eksponenta.

Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed računskih operacija.

Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija, primjenjuje ih za pojednostavljivanje izraza te povezuje s problemima iz drugih područja i života.

Zaokružuje na značajne znamenke.

Korelacija s Kemijom.

Primjenjuje potencije za prikaz broja u znanstvenom zapisu.

Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama, znanstveni zapis broja.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale.

Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno  metara u sekundi, a godina ima 365 dana.

SŠ MAT. B. 1. 2

Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima.

Za zadani izraz računa konkretne vrijednosti, pojednostavljuje izraz, primjenjuje formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova, faktorizira izraze, krati, množi, dijeli i zbraja algebarske razlomke.

Množi i dijeli algebarske razlomke.

Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova. Rastav na faktore.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Pri računanju s algebarskim razlomcima ne treba inzistirati na složenim zadatcima, već na razumijevanju i primjeni pravila.

Primjer jednostavnih algebarskih razlomaka:   .

SŠ MAT. B. 1. 3

Primjenjuje proporcionalnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave.

Primjenjuje postotni račun za  obračun poreza, carine, promjene cijena, opise udjela i druge probleme iz života.

Primjenjuje omjere, račun diobe i proporcionalnost u primjerima iz života.  

Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života.

Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi određujući postojanje rješenja.

Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.

Diskutira  postojanje rješenja jednadžbe ovisno o parametru. Rješava jednostavne linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Prepoznaje i obrazlaže nemoguće i neodređene jednadžbe i sustave jednadžbi, u jednakosti  izražava jednu veličinu pomoću drugih.

Sadržaj: Linearne jednadžbe. Jednadžbe s parametrom. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

SŠ MAT. B. 1. 4

Primjenjuje linearne nejednadžbe.

Rješava linearne nejednadžbe i sustave nejednadžbi te rješenje zapisuje pomoću intervala.

Primjenjuje linearne nejednadžbe u problemskim situacijama.

Rješava jednostavne linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Rješava linearne nejednadžbe zapisujući rješenje na različite načine.

Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina.

a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz.

b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha.

c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto?

d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?

SŠ MAT. B. 1. 5

SŠ MAT. D. 1. 1

Povezuje različite prikaze linearne funkcije.

Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički, opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju, iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju. Crta graf funkcije apsolutne vrijednosti.

Interpretira koeficijente linearne funkcije.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije. Graf funkcije apsolutno.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Za istraživanje svojstava funkcija, crtanje grafova i provjeru rješenja rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 1. 6

Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.

U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema.

Analizira problem iz grafičkoga prikaza.

Iz zadanih podataka linearnu ovisnost zapisuje kao linearnu funkciju.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

SŠ MAT. B. 1. 7

Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi  pomoću intervala.

Nejednakosti zapisuje pomoću intervala i obrnuto te prikazuje na brojevnome pravcu.

Primjenjuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima.

Određuje i prikazuje presjek i uniju skupova.

Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.

SŠ MAT. C. 1. 1

Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta.

Definira i konstruira simetralu dužine, simetralu kuta, visinu, težišnicu te karakteristične točke trokuta.

Uočava svojstva težišta.

Analizira položaj karakterističnih točaka ovisno o vrsti trokuta.

Otkriva formule za površinu trokuta sa zadanim polumjerom upisane i opisane kružnice.

Crtice iz povijesti: Euler.

Prošireni sadržaj:

Eulerov pravac.

Definira i konstruira središte opisane kružnice.

Sadržaj: Karakteristične točke trokuta. Površina trokuta.

Prošireni sadržaj:  Eulerov pravac.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Za konstrukcije, istraživanje svojstava i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod se može ostvariti seminarskim radom.

SŠ MAT. C. 1. 2

SŠ MAT. D. 1. 2

Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta.

Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina, primjenjuje ih u modeliranju problema.

Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.

Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta.

Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike.

Rješava probleme rabeći Euklidov poučak o pravokutnome trokutu.

Dokazuje tvrdnje rabeći poučke o sukladnosti i sličnosti.

Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.

Rješava jednostavne probleme rabeći Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta.

Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti. Euklidov poučak o pravokutnom trokutu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Za konstrukcije, istraživanje svojstava i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. D. 1. 3

Primjenjuje trigonometrijske omjere.

Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, paralelogram, romb, trapez, pravilni mnogokut, deltoid).

Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutniku, jednakokračnom i jednakostraničnom trokutu.

Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Za istraživanje i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod se može ostvariti seminarskim radom.

Kao primjenu uvesti trigonometriju u navigaciji i mjeriteljstvu – kut azimut: kružno i kvadrantalno.

Primjer zadatka: Avion je poletio brzinom od 215 km na sat u smjeru 65° 24'. U istome je trenutku iz iste zračne luke poletio drugi avion brzinom od 480 km na sat u smjeru 335° 24'. Odredite udaljenost aviona nakon 2 sata leta.

SŠ MAT. E. 1. 1

Barata podatcima prikazanim na različite načina.

Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom, histogramom, dijagramom stablo – list, linijskim dijagramom itd.

Određuje srednje vrijednosti: mod, medijan, donji i gornji kvartil te standardnu devijaciju.

Crta brkatu kutiju.

Određuje i interpretira srednje vrijednosti.

Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  

Prikazivanje mjera dijagramom brkate kutije omogućava lakšu interpretaciju tih mjera i lakšu usporedbu više skupova istovrsnih podataka.

Primjer: Mjerenjem mase petnaest bjeloglavih supova, dobiveni su sljedeći podatci o masama jedinki:

7.5, 7.8, 9.1, 9.3, 9.1, 8.2, 7.5, 7.5, 7.3, 8.2, 8.3, 8.8, 9.8, 7.3, 9.7.

Odredite statističke parametre (aritmetička sredina, mod, medijan, donji i gornji kvartil, standardnu devijaciju).

Objasnite značenje standardne devijacije na primjeru toga uzorka bjeloglavih supova.

SŠ MAT. A. 1

Računa  s realnim brojevima.

IZBORNI ISHOD

Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija.

Procjenjuje, zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti.

Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine.

Rješava jednostavne probleme uz procjenu rješenja.

Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina.

SŠ MAT. C. 1

SŠ MAT. D. 1

Računa  s vektorima.

IZBORNI ISHOD

Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora. Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora. Prikazuje vektor kao linearnu kombinaciju vektora. Prošireni sadržaj: Računa mjeru kuta između vektora.  

Opisuje odnose između dvaju vektora, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu. Računa duljinu vektora.

Sadržaj: Vektori. Operacije s vektorima. Vektori u koordinatnom sustavu. Linearna kombinacija vektora.

Prošireni sadržaj: Mjera kuta između vektora.

Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 2. 1

Računa s drugim i trećim korijenom.

Procjenjuje i računa vrijednost drugoga i trećega korijena rabeći džepno računalo.

Računa s izrazima s drugim i trećeg korijenom poštujući redoslijed računskih operacija.

Kvadrira binom s drugim i trećim korijenom.

Djelomično korjenuje izraz.

Racionalizira nazivnik razlomka

Drugi korijen negativnoga broja prikazuje pomoću imaginarne jedinice.

Sadržaj: Drugi i treći korijen. Djelomično korjenovanje. Racionalizacija nazivnika. Imaginarna jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Računati vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo.
Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru

Primjer izraza s drugim korijenom:   , , .

Primjer izraza s trećim korijenom:   , , .

Prošireni sadržaj: Racionalizirati nazivnik razlomka oblika .

SŠ MAT. B. 2. 1

Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu.

Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s realnim koeficijentima.

Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu.

Faktorizira trinom.
Modelira problemsku situaciju te određuje rješenja.

Korelacija s Fizikom i Informatikom.

Učinkovito rješava kvadratnu jednadžbu.

Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Jednadžbe koje se svode na kvadratnu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu: bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu, jednostavne jednadžbe s algebarskim razlomcima i iracionalne jednadžbe oblika   .

Primjer: Riješite jednadžbu   .

SŠ MAT. A. 2. 2

SŠ MAT. B. 2. 2

Primjenjuje diskriminantu kvadratne jednadžbe i Vièteove formule.

Određuje diskriminantu kvadratne jednadžbe. Argumentira prirodu rješenja. Primjenjuje Vièteove formule i diskriminantu u složenijim zadatcima određivanja koeficijentata.

Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.

Sadržaj: Diskriminanta kvadratne jednadžbe. Vièteove formule.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Zadovoljavajuća razina: Ne rješavajući jednadžbu , komentiraj prirodu rješenja.

Dobra razina: Za koje vrijednosti realnoga parametra m jednadžba ima realna rješenja?

Primjenjuje Vièteove formule.

Primjer: Bez određivanja rješenja kvadratne jednadžbe , odredite:

a)

b) jednadžbu čija su rješenja recipročne vrijednosti rješenja zadane jednadžbe.

Primjena diskriminante u složenijim zadatcima: Za koje vrijednosti realnoga parametra m jednadžba nema realna rješenja?

SŠ MAT. B. 2. 3

Analizira funkciju.

Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja.

Računski određuje domenu jednostavnih racionalnih i iracionalnih funkcija.

Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju.

Na primjeru skupa prepoznaje bijekciju.

Objašnjava pojam funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Bijekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Bijekciju definirati i prepoznati na primjerima skupova:

Sliku funkcije odrediti računski samo za linearne i kvadratne funkcije.

Racionalne funkcije u brojniku i nazivniku imaju polinom maksimalno drugoga stupnja. Iracionalne funkcije pod korijenom imaju polinom maksimalno drugoga stupnja.

SŠ MAT. B. 2. 4

SŠ MAT. C. 2. 1

Analizira grafički prikaz funkcije.

Grafički prikazuje funkcije       i

Na grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije i objašnjava bijekciju.

Skicira inverznu funkciju.

Pomoću grafičkoga prikaza funkcije određuje domenu, kodomenu i sliku funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Grafički prikazati funkciju   i    određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable .

Inverznu funkciju skicirati preslikavajući funkciju preko pravca .

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2. 5

SŠ MAT. C. 2. 2

Primjenjuje kvadratnu funkciju.

Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme, os simetrije, tijek funkcije.

Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima.

Očitava točke s grafa funkcije. Objašnjava oblik kvadratne funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.

Određuje funkcije iz grafa.

Rješava kvadratne nejednadžbe.

Objašnjava oblik kvadratne funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.

Sadržaj: Kvadratna funkcija. Grafički prikaz kvadratne funkcije. Tjeme i nultočke. Kvadratne nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Grafički prikazati funkciju oblika translacijom i funkciju oblika metodom pet točaka (nultočke, tjeme, sjecište s ordinatom, preslikavanje sjecišta s ordinatom preko osi simetrije).

Problemska situacija uključuje probleme s ekstremima te određivanje sjecišta kvadratne i linearne funkcije.

Primjer: Praćenjem prodaje nekoga proizvoda, ustanovljeno je da se prodaja može opisati kvadratnom funkcijom , gdje je cijena proizvoda, a broj prodanih komada proizvoda po cijeni .

Koliko će proizvoda trgovac prodati ako je cijena 30 kuna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?

Za koju je cijenu prodaja toga proizvoda isplativa?

Kolika mora biti cijena ako trgovac želi prodati više od 45 komada toga proizvoda?

Za koju će cijenu prodaja toga proizvoda biti maksimalna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?

Isplati li se taj proizvod prodavati po cijeni od 15 kuna?

SŠ MAT. C. 2. 3

SŠ MAT. D. 2. 1

Primjenjuje krug i kružnicu.

Primjenjuje poučak o obodnom i središnjem kutu pri dokazu Talesovog poučka.

Konstruira tangentu na kružnicu.

Uz pomoć proporcionalnosti izvodi formule za duljinu kružnoga luka, površinu kružnoga isječka i površinu kružnoga odsječka.

Povezuje duljinu kružnoga luka s radijanskom mjerom kuta.

Konstruira tangentu na kružnicu.

Sadržaj: Kružnica i krug. Kružni luk, kružni isječak i odsječak. Poučak o obodnom i središnjem kutu. Radijanska mjera kuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Otkrivati i obrazložiti formule.

SŠ MAT. C. 2. 4

SŠ MAT. D. 2. 2

Primjenjuje poučak o sinusima i poučak o kosinusu.

Povezuje trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu s koordinatama točke na kružnici.

Primjenjuje poučak o sinusima, uočava mogućnost i nalazi dva rješenja.

Primjenjuje poučak o kosinusu. Računa površinu proizvoljnoga trokuta.

Primjenjuje poučke u planimetriji i problemskim zadatcima.

Prošireni sadržaji:

Primjena u stereometriji.

Rabi odgovarajući poučak i argumentira svoj izbor za računanje elemenata trokuta.

Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu. Primjena u planimetriji.

Prošireni sadržaji: Primjena u stereometriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Izostaviti zadatke u kojima se primjenjuju adicijske formule.  

SŠ MAT. C. 2. 5

SŠ MAT. D. 2. 3

Analizira položaj pravaca i ravnina u prostoru i računa udaljenost.

Razlikuje točku, pravac, ravninu te analizira i objašnjava međusobne položaje.

Određuje ortogonalnu projekciju geometrijskoga objekta.

Računa udaljenosti točaka, pravaca, ravnina.

Određuje ortogonalnu projekciju.

Sadržaj: Geometrija prostora. Ortogonalna projekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Ovaj ishod treba obraditi nakon poučka o sinusima.

Koristiti  se modelima, mrežama ili skicama geometrijskih tijela.

Pri određivanju udaljenosti koristiti se dosad stečenim znanjima (Pitagorin poučak, trigonometrijski omjeri…).

SŠ MAT. C. 2. 6

SŠ MAT. D. 2. 4

Računa volumen i oplošje geometrijskih tijela.

Prepoznaje i opisuje uspravnu prizmu, piramidu, valjak, stožac i kuglu.

Računa elemente (duljine bridova, volumen, oplošje, polumjer baze…) prizme, valjka, piramide, stošca, kugle te rotacijskih tijela.

Prošireni sadržaj:

Arhimedova tijela, Platonova tijela, krnja tijela.

Računa volumen i oplošje prizme, valjka i kugle rabeći zadane elemente i obrnuto.

Sadržaj: Geometrijska tijela. Oplošje i volumen uspravnih geometrijskih tijela. Rotacijska tijela.

Prošireni sadržaj: Arhimedova tijela. Platonova tijela. Krnja tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Otkrivati formule za volumen prebacujući vodu (ili rižu, pijesak…) iz šuplje piramide/stošca u šuplju prizmu/valjak sukladnih baza i jednake visine.

SŠ MAT. E. 2. 1

Primjenjuje vjerojatnost.

Opisuje siguran i nemoguć događaj.
Rabi algebru događaja (unija, presjek, komplement) za određivanje vjerojatnosti.

Određuje geometrijsku vjerojatnost.

Primjenjuje klasičnu definiciju vjerojatnosti.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost događaja. Klasična definicija vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost.

SŠ MAT. A. 2

Računa i interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini.

IZBORNI ISHOD

Prikazuje kompleksan broj u algebarskome obliku i u Gaussovoj ravnini.

Zbraja, oduzima, množi i dijeli kompleksne brojeve.  

Određuje i prikazuje konjugirano kompleksan broj i modul kompleksnoga broja.

Interpretira geometrijsko značenje zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.  

Uočava vezu modula kompleksnoga broja i konjugirano kompleksnoga broja s njegovim prikazom u Gaussovoj ravnini.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Računske operacije s kompleksnim brojevima. Gaussova ravnina.

Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 3. 1

SŠ MAT. B. 3. 1 Računa s potencijama racionalnoga eksponenta.

Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto. Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnog računala. Računa s potencijama racionalnoga eksponenta.

Računa vrijednost potencija racionalnoga eksponenta.

Sadržaj: Pojam korijena. Potencije racionalnog eksponenta.

SŠ MAT. B. 3. 2

SŠ MAT. C. 3. 1

Analizira eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Određuje domenu, kodomenu, sliku, rast i pad, inverznu funkciju  eksponencijalne i logaritamske funkcije ( ,           ) i crta graf.

Prošireni sadržaj:

Baza prirodnoga logaritma ( ),  crtice iz povijesti: Euler, Napier.

Grafički prikazuje logaritamsku i eksponencijalnu funkciju.

Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prošireni sadržaj: Baza prirodnoga logaritma (e).

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate  za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočavanje „inverznu“ vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći pravac .

SŠ MAT. B. 3. 3

C. 3. 2

Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

Prošireni sadržaj:

Crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice

Korelacija s Kemijom i Biologijom.

U problemu opisanome eksponencijalnom i logaritamskom funkcijom računa vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Prošireni sadržaj: Crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice

SŠ MAT. B. 3. 4

Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom i nejednadžbom.

Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, računa vrijednosti logaritamskih izraza, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik i obrnuto. Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe. Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe izravnom primjenom definicije.

Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

SŠ MAT. B. 3. 5

SŠ MAT. C. 3. 3

Primjenjuje svojstva trigonometrijskih funkcija.

Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici, otkriva svojstva i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Rabi džepno računalo.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski identiteti. Crtice iz povijesti: podrijetlo imena trigonometrijskih funkcija.

Korelacija s Fizikom.

Uočava svojstva trigonometrijskih funkcija.

Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija.

Prošireni sadržaj: Trigonometrijski identiteti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija ( i ), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s , osi kotangensa s . Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani).

SŠ MAT. B. 3. 6

SŠ MAT. C. 3. 4

Analizira graf trigonometrijske funkcije.

Prepoznaje i opisuje  grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.

Grafički prikazuje trigonometrijske funkcije :

Korelacija s Fizikom.

Određuje svojstva

trigonometrijskih funkcija

Sadržaj: Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.

SŠ MAT. B. 3. 7

SŠ MAT. C. 3. 5

Primjenjuje trigonometrijske funkcije.

Analizira probleme opisane trigonometrijskom funkcijom i primjenjuje trigonometrijske funkcije za modeliranje.

U problemu opisanome trigonometrijskom funkcijom računa vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate  za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

Primjer problema opisanoga trigonometrijskom funkcijom: Duljina dana opisana je formulom: , pri čemu je t dan u godini (t = 0 je 1. siječnja). Konstanta K određena je geografskom širinom mjesta.

a) Kolika je duljina dana 22.2. u Dubrovniku (K = 6)?

b) Koji dan u veljači traje 11 sati?

c) Koji je dan najkraći, a koji najdulji?

d) Od kojega je dana u veljači dan dulji od 10 sati?

SŠ MAT. B. 3. 8

Primjenjuje trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe  rješava grafički ili na brojevnoj kružnici

Rješava trigonometrijske jednadžbe

i nejednadžbe

.

Sadržaj: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Primjer primjene trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe: U nekome mjestu na moru određenoga dana plima je u ponoć i podne, a oseka u 6 i 18 sati. Razina mora, u odnosu na uobičajenu, za vrijeme plime je 5.11 m, a za vrijeme oseke (-0.17). Odredite:

a) Koja će razina mora biti u 10 sati?

b) U koliko će sati poslije podne razina mora biti 0?

c) U kojemu će vremenu razina mora biti veća od 4 metra?

SŠ MAT. C. 3. 6

SŠ MAT. D. 3. 1

Primjenjuje računanje s vektorima.

Prepoznaje, opisuje i koristi elemente vektora.

Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora i primjenjuje ga za uvjet okomitosti vektora.

Primjenjuje svojstva vektora u problemskim zadatcima.

Rastavlja vektore koristeći linearnu kombinaciju vektora (računski ili grafički).

Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) prikazanima na razne načine.

Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora. Okomiti vektori. Linearna kombinacija vektora.

SŠ MAT. B. 3. 9

SŠ MAT. C. 3. 7

SŠ MAT. D. 3. 2

Primjenjuje jednadžbu pravca.

Prepoznaje, opisuje i crta pravac u koordinatnome sustavu iz njegove jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.

Računa mjeru kuta pravca s pozitivnim dijelom apscise i povezuje ga s koeficijentom smjera.

Crta i određuje pravce paralelne s koordinatnim osima.

Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca.

Prošireni sadržaj:

Pravac regresije.

Korelacija s Kemijom.

Interpretira koeficijente u jednadžbi pravca.

Sadržaj: Jednadžba pravca. Kut između pravaca. Udaljenost točke od pravca.

Prošireni sadržaj: Pravac regresije.

SŠ MAT. B. 3. 10

C. 3. 8

D. 3. 3

Primjenjuje jednadžbu kružnice.

Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz nje pronalazi duljinu polumjera i koordinate središta kružnice i obrnuto. Iz grafičkoga prikaza pronalazi jednadžbu kružnice.

Određuje grafički ili računski jednadžbu kružnice u posebnome položaju (dodiruje jednu ili obje koordinatne osi) ili koncentrične kružnice.

Iz općega oblika jednadžbe kružnice prelazi u kanonski oblik i obrnuto.

Ispituje međusobni položaj kružnice i pravca.

Prošireni sadržaj: Tangenta na kružnicu.

Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu kružnice.

Sadržaj: Jednadžba kružnice. Pravac i kružnica.

Prošireni sadržaji: Tangenta na kružnicu.

SŠ MAT. B. 3. 11

SŠ MAT. C. 3. 9

Primjenjuje jednadžbe elipse, hiperbole i parabole.

Prepoznaje jednadžbu elipse, hiperbole i parabole i iz nje pronalazi nepoznate elemente krivulje i obrnuto. Iz grafičkoga prikaza ili zadanih uvjeta pronalazi jednadžbu elipse, hiperbole i parabole .

Prošireni sadržaji: Konstrukcija elipse, hiperbole i parabole. Crtice iz povijesti: čunjosječice.

Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu elipse, hiperbole, parabole.

Sadržaj: Jednadžba elipse, hiperbole i parabole.

Prošireni sadržaji: Konstrukcija elipse, hiperbole i parabole.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer primjene svojstava elipse: Prvi umjetni satelit u orbiti Zemlje bio je Sputnik I. Njegova najveća udaljenost od Zemlje bila je 1080 km, a najmanja 245 km. Uz pretpostavku da je središte Zemlje fokus eliptične orbite satelita odredite numerički ekscentricitet.

SŠ MAT. E. 3. 1

Rješava problem i bira strategiju rabeći  kombinatoriku.

Prepoznaje i opisuje osnovne principe prebrojavanja, permutacije, kombinacije i varijacije.

Objašnjava, računa i daje primjer permutacija, kombinacija i varijacija.

Ilustrira i rješava problem rabeći  kombinatoriku.

Rješava probleme rabeći kombinacije i varijacije bez ponavljanja i permutacije.

Sadržaj: Kombinatorika. Osnovni princip prebrojavanja. Permutacije, kombinacije i varijacije.

Matematika – na kraju 4. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 4. 1

B. 4. 1

Dokazuje tvrdnje matematičkom indukcijom.

Razlikuje induktivni i deduktivni način zaključivanja.

Matematičke tvrdnje (jednakosti, djeljivost)  dokazuje matematičkom indukcijom.

Korelacija s Logikom.

Nabraja korake matematičke indukcije te dokazuje jednostavne jednakosti.

Sadržaj: Matematička indukcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Dobra razina: Dokažite .

Vrlo dobra razina: Dokažite .

Iznimna razina: Dokažite .

SŠ MAT. A. 4. 2

Računa s kompleksnim brojevima.

Uočava potrebu proširenja skupova brojeva (N, Z, Q, R) skupom kompleksnih brojeva.  

Zapisuje kompleksan broj u algebarskome i trigonometrijskome obliku. Zbraja, oduzima, množi, potencira i korjenuje kompleksne brojeve u odgovarajućem obliku, koristeći De Moivreovu formulu.

Prikazuje kompleksan broj u trigonometrijskome obliku.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Računske operacije s kompleksnim brojevima. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. De Moivreova formula.

SŠ MAT. A. 4. 3

C. 4. 1

Interpretira računske operacije s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini.

Prikazuje kompleksan broj u Gaussovoj ravnini, određuje i prikazuje konjugirano kompleksan broj i modul kompleksnoga broja.

Rješenja jednadžbi i nejednadžbi grafički prikazuje u Gaussovoj ravnini.

Interpretira geometrijsko značenje zbroja, razlike ili modula razlike dvaju kompleksnih brojeva.

Rješenja jednadžbe, primjerice , prikazuje u Gaussovoj ravnini.

Uočava povezanost modula kompleksnog broja i konjugirano kompleksnog broja s  njegovim prikazom u Gaussovoj ravnini.

Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Gaussova ravnina.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Jednostavne jednadžbe i nejednadžbe: .

SŠ MAT. B. 4. 2

Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz i red.

Opisuje aritmetički i geometrijski niz i geometrijski red, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom, računa zbroj prvih n članova niza, računa zbroj geometrijskoga reda, rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza i geometrijskoga reda, posebno složeni kamatni račun.

Razlikuje aritmetički i geometrijski niz te određuje član niza zadanoga rekurzivno ili općim članom.

Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka složenoga kamatnog računa: Jedna je obitelj odlučila štedjeti u banci koja nudi 3.5 % godišnjih kamata. Dogovorili su se da će na početku svake godine na račun stavljati 4000 kn i da ušteđevinu neće podizati.

Koliko će iznositi njihova ušteđevina nakon 10 godina?

Koliko bi vremena trebali štedjeti ako žele uštedjeti 100000 kn?

SŠ MAT. B. 4. 3

Računa limes niza.

Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.

Prošireni sadržaj:

Neprekidno ukamaćivanje.

Opisuje pojam monotonosti i omeđenosti niza.

Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza.

Prošireni sadržaj: Neprekidno ukamaćivanje.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamične geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan.

Jednostavni niz: .

SŠ MAT. B. 4. 4

Analizira svojstva funkcija.

Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost,  monotonost i ograničenost) funkcije, asimptote.

Povezuje graf funkcije i svojstva i objašnjava na grafu proizvoljne funkcije zadane različitim zapisima.

Određuje svojstva funkcije zadane pravilom pridruživanja ili grafom.

Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, rast/ pad, parnost/neparnost, periodičnost,  monotonost i ograničenost). Graf funkcije.

SŠ MAT. B. 4. 5

Tumači značenje limesa funkcije u točki.

Opisuje i grafom prikazuje funkciju koja je neprekidna, odnosno koja nije, objašnjava pojam limesa funkcije.

Određuje limes funkcije.

Određuje limes jednostavne funkcije te navodi primjere neprekidnih funkcija i onih koje nisu neprekidne.

Sadržaj: Limes funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Određuje limese funkcija primjerice   .

SŠ MAT. B. 4. 6.

Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine.

Grafički prikazuje i objašnjava problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa.

Objašnjava vezu derivacije i trenutne brzine (prijelaz iz prosječne u trenutnu).

Navodi definiciju derivacije.

Korelacija s Kemijom.

Prikazuje vezu prirasta varijable i prirasta funkcije s derivacijom funkcije u točki.

Sadržaj: Problem tangente i brzine. Definicija derivacije funkcije

SŠ MAT. B. 4. 7

Primjenjuje derivaciju funkcije u problemskim zadatcima.

Izvodi derivaciju po definiciji, navodi pravila deriviranja zbroja, umnoška i kvocijenta.

Određuje derivaciju složene funkcije.

Određuje tangentu na graf funkcije.

Rješava problemske zadatke koristeći derivaciju.

Računa derivacije jednostavnih funkcija koristeći pravila.

Sadržaj: Derivacija funkcije. Pravila deriviranja. Derivacija složene funkcije. Primjena derivacija

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Primjer zadatka: Voda istječe iz bazena. Volumen vode nakon t minuta iznosi . Odredite:

a) prosječnu brzinu istjecanja vode u prvih 5 minuta,

b) trenutnu brzinu istjecanja vode u t = 5 minuta.

SŠ MAT. B. 4. 8

Povezuje derivaciju funkcije i crtanje grafa funkcije.

Određuje domenu, nultočke, stacionarne točke, intervale pada i rasta funkcije, konveksnost/konkavnost, ekstreme, asimptote.

Određuje tijek funkcije i crta graf.

Skicira graf funkcije prema određenim svojstvima.

Sadržaj: Svojstva funkcije (domena, kodomena, nultočke, pad/rast, ekstremi, zakrivljenost). Asimptote. Tijek funkcije. Primjena derivacije funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Istraživanjem veze predznaka derivacije i rasta/pada funkcije pomoću programa dinamične geometrije uočiti uvjet kada je stacionarna točka lokalni ekstrem funkcije.

SŠ MAT. B. 4. 9

SŠ MAT. D. 4. 1

Primjenjuje računanje površine ispod grafa funkcije.

Izračunava površinu ispod grafa linearne funkcije, složene funkcije (linearna, zadana po dijelovima). Povezuje pojam površine ispod grafa s prijeđenim putom u v-t dijagramu.

Prošireni sadržaj: Površina ispod grafa kvadratne funkcije.

Računa površinu ispod grafa funkcije u jednostavnim situacijama.

Sadržaj: Površina ispod grafa funkcije.

Prošireni sadržaj: Površina ispod grafa kvadratne funkcije.

SŠ MAT. E. 4. 1 .

Argumentirano računa vjerojatnost.

Povezuje i prikazuje presjek, uniju i suprotni događaj pomoću skupova i operacija te Vennovim dijagramom.

Crta vjerojatnosno stablo.

Opisuje i računa vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju (simultani i uzastopni).

Razlikuje zavisne i nezavisne događaje, računa uvjetnu vjerojatnost.

Korelacija s Logikom i Kemijom.

Računa vjerojatnost simultanih događaja.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost. Vjerojatnosno stablo. Vjerojatnost složenih događaja i događaja koji se ponavljaju. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost.

Matematika – na kraju 1. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 1. 1

SŠ MAT. B. 1. 1

Primjenjuje potencije racionalne baze i cjelobrojnoga eksponenta .

Računa vrijednosti brojevnih izraza s potencijama poštujući redoslijed računskih operacija.

Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija, primjenjuje ih za pojednostavljivanje izraza te povezuje s problemima iz drugih područja i života.

Zaokružuje na značajne znamenke.

Korelacija s Kemijom.

Primjenjuje potencije za prikaz broja u znanstvenom zapisu.

Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama, znanstveni zapis broja.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka: Zemlji najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 4.3 svjetlosne godine. Koliko iznosi ta udaljenost u kilometrima? Rezultat zapišite u znanstvenome obliku i zaokružite na tri decimale.

Napomena: Svjetlosna godina je udaljenost koju svjetlost prođe u godini dana. Brzina svjetlosti je približno  metara u sekundi, a godina ima 365 dana.

SŠ MAT. B. 1. 2

Računa s algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima.

Za zadani izraz računa konkretne vrijednosti, pojednostavljuje izraz, primjenjuje formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova, faktorizira izraze, krati, množi, dijeli i zbraja algebarske  razlomke.

Množi i dijeli algebarske razlomke.  

Sadržaj: Algebarski izrazi i algebarski razlomci. Formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova. Rastav na faktore.

SŠ MAT. B. 1. 3

Primjenjuje proporcionalnost, postotke, linearne jednadžbe i sustave.

Primjenjuje postotni račun za  obračun poreza, carine, promjene cijena, opise udjela i druge probleme iz života.

Primjenjuje omjere, račun diobe i proporcionalnost u primjerima iz života.  

Rješava tekstualne zadatke iz matematike, drugih područja i života.

Rješava linearne jednadžbe i sustave jednadžbi određujući postojanje rješenja.

Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.

Diskutira  postojanje rješenja jednadžbe ovisno o parametru.

Rješava jednostavne linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Prepoznaje i obrazlaže nemoguće i neodređene jednadžbe i sustave jednadžbi, u jednakosti  izražava jednu veličinu pomoću drugih.

Sadržaj: Linearne jednadžbe. Jednadžbe s parametrom. Proporcionalne veličine. Postoci. Problemi 1. stupnja. Sustav dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Jednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

SŠ MAT. B. 1. 4

Primjenjuje Diofantske jednadžbe.

Rješava homogene i linearne Diofantske jednadžbe.

Rješava nelinearnu Diofantsku jednadžbu prikladnom metodom (umnoška, kvocijenta, parnosti…)

Probleme iz matematike i stvarnoga konteksta zapisuje i rješava Diofantskim jednadžbama.

Rješava linearne Diofantske jednadžbe.

Sadržaj: Diofantske jednadžbe.

NAPOMENA:

Primjer zadatka: Odredite koeficijente pojedinih kemijskih tvari koje sudjeluju u reakciji:   .

SŠ MAT. B. 1. 5

Primjenjuje linearne nejednadžbe.

Rješava linearne nejednadžbe i sustave nejednadžbi te rješenje zapisuje pomoću intervala.

Primjenjuje linearne nejednadžbe u problemskim situacijama.

Rješava jednostavne linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Rješava linearne nejednadžbe zapisujući rješenje na različite načine.

Sadržaj: Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer: Antropolozi i forenzičari klasificiraju lubanju koristeći se izrazom: , u kojemu je d duljina lubanje, a š širina.

a) Izrazite klasifikaciju kao jedan racionalni izraz.

b) Ako je vrijednost racionalnoga izraza (a) manja od 75, po klasifikaciji lubanja je dugačka. Srednja lubanja je između 75 i 80. Koristeći se racionalnim izrazom iz a), klasificirajte lubanju širine 5 incha i duljine 6 incha.

c) Ovisi li vrijednost izraza o mjernim jedinicama u kojima je izražena duljina i širina lubanje? Zašto?

d) Kolika je širina lubanje duge 16 cm ako je klasificirana kao srednja?

SŠ MAT. B. 1. 6

SŠ MAT. D. 1. 1

Povezuje različite prikaze linearne funkcije.

Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički, opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, definira i određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti te određuje koeficijente i funkciju, iz zadanih elemenata (argumenta i vrijednosti, točke grafa, koeficijenta) određuje funkciju.

Crta graf funkcije apsolutne vrijednosti.

Interpretira koeficijente  linearne funkcije.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije. Graf funkcije apsolutno.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Za istraživanje svojstava funkcija, crtanje grafova i provjeru rješenja rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 1. 7

Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.

U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, zapisuje ju kao funkciju te primjenjuje za analizu problema.

Analizira problem iz grafičkoga prikaza.

Iz zadanih podataka linearnu ovisnost zapisuje kao linearnu funkciju.

Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer zadatka otvorenoga tipa:

Osmislite zadatak koji je prikazan zadanim grafom (slika u dokumentu u prilogu). Napišite neka pitanja koja možete postaviti na osnovi podataka vidljivih s grafa, a povezano sa zadatkom. Odgovorite na ta pitanja.

SŠ MAT. B. 1. 8

Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi  pomoću intervala.

Nejednakosti zapisuje pomoću
intervala i obrnuto te prikazuje na
brojevnome pravcu.
Primjenjuje i prikazuje podskup,
uniju, presjek i razliku skupova
realnih brojeva, zapisujući ih
matematičkim simbolima

Određuje i prikazuje presjek i uniju skupova.

Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. Brojevni pravac. Intervali.

SŠ MAT. C. 1. 1

Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta.

Definira i konstruira simetralu
dužine, simetralu kuta, visinu i
težišnicu te karakteristične točke
trokuta. Uočava svojstva težišta.
Analizira položaj karakterističnih
točaka ovisno o vrsti trokuta.
Otkriva formule za površinu trokuta
sa zadanim polumjerom upisane i
opisane kružnice.
Crtice iz povijesti: Euler.
Prošireni sadržaj:
Eulerov pravac.

Definira i konstruira  središte opisane kružnice.

Sadržaj: Karakteristične točke trokuta. Površina trokuta.

Prošireni sadržaj:  Eulerov pravac.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Za konstrukcije, istraživanje svojstava i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod se može ostvariti seminarskim radom.

SŠ MAT. C. 1. 2

SŠ MAT. D. 1. 2

Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta .

Izriče i ilustrira poučke o sukladnosti i sličnosti trokuta te Talesov poučak o proporcionalnosti dužina,  primjenjuje ih u modeliranju problema.

Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.

Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta.

Kroz primjere zadataka upoznaje povijest matematike .

Rješava probleme rabeći Euklidov poučak o pravokutnome trokutu.

Dokazuje tvrdnje rabeći poučke o sukladnosti i sličnosti.

Crtice iz povijesti: Tales, Euler, Heron, Pitagora.

Rješava jednostavne probleme rabeći Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta..

Sadržaj: Sukladnost trokuta. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti. Euklidov poučak o pravokutnom trokutu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Za konstrukcije, istraživanje svojstava i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. D. 1. 3

Primjenjuje trigonometrijske omjere.  

Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokut, kvadrat, pravokutnik, paralelogram, romb, trapez, mnogokut,  deltoid).

Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutniku, jednakokračnom i jednakostraničnom trokutu.

Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Za istraživanje i crtanje rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate. Ishod se može ostvariti seminarskim radom.

Kao primjenu uvesti trigonometriju u navigaciji i mjeriteljstvu – kut azimut: kružno i kvadrantalno.

Primjer zadatka: Avion je poletio brzinom od 215 km na sat u smjeru 65° 24'. U istome je trenutku iz iste zračne luke poletio drugi avion brzinom od 480 km na sat u smjeru 335° 24'. Odredite udaljenost aviona nakon 2 sata leta.

SŠ MAT. E. 1. 1

Barata podatcima prikazanim na različite načine.

Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom, histogramom, dijagramom stablo – list, linijskim dijagramom itd.

Određuje srednje vrijednosti: mod, medijan, donji i gornji kvartil te standardnu devijaciju.

Crta brkatu kutiju.

.

Određuje i interpretira srednje vrijednosti

Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Prikazivanje mjera dijagramom brkate kutije omogućava lakšu interpretaciju tih mjera i lakšu usporedbu više skupova istovrsnih podataka.

Primjer: Mjerenjem mase petnaest bjeloglavih supova, dobiveni su sljedeći podatci o masama jedinki:

7.5, 7.8, 9.1, 9.3, 9.1, 8.2, 7.5, 7.5, 7.3, 8.2, 8.3, 8.8, 9.8, 7.3, 9.7.

Odredite statističke parametre (aritmetička sredina, mod, medijan, donji i gornji kvartil, standardnu devijaciju).

Objasnite značenje standardne devijacije na primjeru toga uzorka bjeloglavih supova.

Prikažite statističke parametre toga uzorka dijagramom brkate kutije.

SŠ MAT. E. 1. 2

Primjenjuje normalnu razdiobu.

Crta krivulju normalne razdiobe, opisuje razdiobu podataka ispod krivulje, rješava probleme s

normalnom razdiobom.

.

Rješava zadatak uz zadanu aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju.

Sadržaj: Krivulja normalne razdiobe.

Matematika – na kraju 2. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 2. 1

Računa s drugim i trećim korijenom.

Procjenjuje i računa približnu vrijednost drugoga i trećega korijena rabeći džepno računalo.

Računa s izrazima s drugim i trećim korijenom poštujući redoslijed računskih operacija.

Kvadrira i kubira binom s drugim i trećim korijenom.

Djelomično korjenuje izraz.

Racionalizira nazivnik razlomka.

Korijen negativnoga broja prikazuje pomoću imaginarne jedinice.

Sadržaj: Drugi i treći korijen. Djelomično korjenovanje. Racionalizacija nazivnika. Imaginarna jedinica.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Računati vrijednost nenegativnoga korijena rabeći džepno računalo.
Uvodi se imaginarna jedinica i primjenjuje kao u primjeru

Primjer racionalizacije nazivnika:

a) s drugim korijenima   ,

b) s trećim korijenom: .

SŠ MAT. A. 2. 2

SŠ MAT. B. 2. 1

Primjenjuje matrice i determinante.

Opisuje matricu te navodi primjere matrica, uključujući nulmatricu, jediničnu matricu, kvadratnu matricu, gornjotrokutastu i donjotrokutastu matricu.

Sustav linarnih jednadžbi rješava Cramerovom metodom.

Utvrđuje i objašnjava postojanje rješenja sustava linearnih jednadžbi.

Prošireni sadržaj:

Gauss-Jordanova metoda eliminacije.

Množi matrice.

Računa determinantu matrice drugoga i trećeg reda.

Sadržaj. Matrice i determinante. Primjena na sustave jednadžbi.

Prošireni sadržaj: Gauss-Jordanova metoda eliminacije.

SŠ MAT. B. 2. 2

Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu.

Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s realnim ili općim koeficijentima.

Rješava kvadratne jednadžbe s općim koeficijentima.

Faktorizira trinom.

Rješava jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu.

Modelira problemsku situaciju te određuje rješenja.

Korelacija s Fizikom i Informatikom.

Učinkovito rješava kvadratnu jednadžbu.

Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Jednadžbe koje se svode na kvadratnu.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rješavati kvadratnu jednadžbu s općim koeficijentima.

Primjer: Riješite jednadžbu .

Jednadžbe koje se svode na kvadratnu jednadžbu su bikvadratne jednadžbe, sustavi koji se svode na kvadratnu jednadžbu, jednadžbe s algebarskim razlomcima i iracionalne jednadžbe oblika .

SŠ MAT. A. 2. 3

SŠ MAT. B. 2. 3

Primjenjuje diskriminantu kvadratne jednadžbe i Vièteove formule.

Određuje diskriminantu kvadratne jednadžbe.

Argumentira prirodu rješenja.

Koristi se Vièteovim formulama.

Prošireni sadržaj:
Povijesna crtica.

Argumentira prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.

Sadržaj: Diskriminanta kvadratne jednadžbe. Vièteove formule.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Zadovoljavajuća razina: Ne rješavajući jednadžbu , komentirajte prirodu rješenja.

Dobra razina: Za koje vrijednosti realnoga parametra m jednadžba ima realna rješenja?

Primijeniti Vièteove formule.

Primjer: Bez određivanja rješenja kvadratne jednadžbe odredite:

a)  

b)  

c) jednadžbu čija su rješenja recipročne vrijednosti rješenja zadane jednadžbe

d) koliki bi trebao biti linearni koeficijent da bi rješenja bila suprotnoga predznaka?

Primjena diskriminante u složenijim zadatcima:

Za koje vrijednosti realnoga parametra m jednadžba nema realna rješenja?

SŠ MAT. B. 2. 4

Analizira funkciju.

Računa funkcijsku vrijednost zadane funkcije uvrštavanjem broja ili algebarskoga izraza.

Određuje funkciju iz zadane funkcijske vrijednosti algebarskoga izraza.

Određuje kompoziciju funkcija.

Računski određuje domenu racionalnih i iracionalnih funkcija.

Određuje sliku funkcije za linearnu i kvadratnu funkciju.

Daje primjere bijekcije.

Definira pojam funkcije.

Određuje kompoziciju funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Domena, kodomena, i slika funkcije. Kompozicija funkcija. Bijekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Odrediti funkcijsku vrijednost funkcije uvrštavanjem brojčanoga ili algebarskoga izraza. Odrediti kompoziciju funkcija.

Primjer: Odredite , i , ako je i .

Odrediti funkciju iz zadane funkcijske vrijednosti algebarskoga izraza.

Primjer: Odredite ako je .

Definirati bijekciju i dati primjer koristeći Vennov dijagram.

Sliku funkcije određivati računski samo za linearne i kvadratne funkcije.

Racionalne funkcije u brojniku i nazivniku imaju polinom maksimalno drugoga stupnja.

Iracionalne funkcije pod korijenom imaju polinom maksimalno drugoga stupnja.

Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

SŠ MAT. B. 2. 5

SŠ MAT. C. 2. 1

Analizira grafički prikaz funkcije.

Grafički prikazuje funkcije

i

Na danome grafu funkcije određuje domenu, kodomenu, sliku funkcije te utvrđuje i  objašnjava bijektivnost.

Skicira graf inverzne funkcije.

Pomoću grafičkoga prikaza funkcije određuje domenu, kodomenu i sliku funkcije.

Sadržaj: Pojam funkcije. Grafički prikaz funkcije. Graf inverzne funkcije.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Grafički prikazati funkciju  i    određujući funkcijsku vrijednost za neke vrijednosti varijable .

Graf inverzne funkcije skicirati preslikavajući funkciju preko pravca .

Na grafu kvadratne funkcije tražiti od učenika da odrede domenu, sliku funkciju, te je li funkcija injektivna, surjektivna ili bijektivna.

SŠ MAT. B. 2. 6

SŠ MAT. C. 2. 2

Primjenjuje kvadratnu funkciju.

Određuje nultočke, sjecište s ordinatom, tjeme parabole, os simetrije, tijek funkcije.

Određuje funkcije iz grafa.

Grafički prikazuje kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima.

Očitava točke s grafa funkcije. Objašnjava oblik grafa kvadratne funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.

Rješava kvadratne i racionalne  nejednadžbe.

Objašnjava oblik grafa kvadratne funkcije u ovisnosti o diskriminanti i vodećemu koeficijentu.

Sadržaj: Kvadratna funkcija. Grafički prikaz kvadratne funkcije. Tjeme i nultočke. Kvadratne i iracionalne nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate.

Grafički prikazati funkciju oblika translacijom i funkciju oblika metodom pet točaka (nultočke, tjeme parabole, sjecište s ordinatom, preslikavanje sjecišta s ordinatom preko osi simetrije).

Problemska situacija uključuje probleme s ekstremima te određivanje sjecišta kvadratne i linearne funkcije.

Primjer: Praćenjem prodaje nekoga proizvoda ustanovljeno je da se prodaja može opisati kvadratnom funkcijom , gdje je cijena proizvoda, a broj prodanih komada proizvoda po cijeni .

Koliko će proizvoda trgovac prodati ako je cijena 30 kuna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?

Za koju je cijenu prodaja toga proizvoda isplativa?

Kolika mora biti cijena ako trgovac želi prodati više od 45 komada toga proizvoda?

Za koju će cijenu prodaja toga proizvoda biti maksimalna? Koliko će pritom trgovac zaraditi?

Isplati li se taj proizvod prodavati po cijeni od 15 kuna?

Primjer racionalne nejednadžbe:   .

SŠ MAT. C. 2. 3

SŠ MAT. D. 2. 1

Primjenjuje kružnicu i krug

Opisuje elemente kružnice i kruga te ih prikazuje u ravnini. Konstruira tangentu na kružnicu.

Primjenjuje poučak o obodnom i središnjem kutu pri dokazu Talesovog poučka.

Uz pomoć proporcionalnosti izvodi formule za duljinu kružnoga luka, površinu kružnoga isječka i površinu kružnoga odsječka.

Povezuje duljinu kružnoga luka s radijanskom mjerom kuta.

Iz zadanih elemenata računa elemente kružnice i kruga.

Sadržaj: Kružnica i krug. Kružni luk, kružni isječak i odsječak. Poučak o obodnom i središnjem kutu. Radijanska mjera kuta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Otkrivati i obrazložiti formule.

SŠ MAT. C. 2. 4

SŠ MAT. D. 2. 2

Primjenjuje poučak o sinusu i poučak o kosinusu.

Povezuje trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu s koordinatama točke na kružnici.

Primjenjuje poučak o sinusima, uočava mogućnost i nalazi dva rješenja.

Primjenjuje poučak o kosinusu. Računa površinu trokuta.

Primjenjuje poučke u planimetriji, stereometriji i problemskim

zadatcima.

Primjenjuje poučak o sinusima i poučak o kosinusu u planimetriji.

Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu. Primjena u planimetriji.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Vrijednosti sinusa i kosinusa za kutove od 90° do 180° uvode se na način kako je prikazano na slici u prilogu.

ZADOVOLJAVAJUĆA RAZINA: Odredite nepoznate stranice i kutove trokuta te površinu trokuta ako je a = 5cm, b = 8.2 cm, γ = 57°.

Izostaviti zadatke u kojima se primjenjuju adicijske formule.

SŠ MAT. C. 2. 5

SŠ MAT. D. 2. 3

Analizira položaj pravaca i ravnina u prostoru, računa udaljenost i mjeru kuta.

Razlikuje točku, pravac, ravninu te analizira i objašnjava međusobne položaje.

Određuje ortogonalnu projekciju geometrijskoga objekta.

Računa udaljenosti točaka, pravaca, ravnina.

Računa mjeru kuta između dvaju pravca, pravca i ravnine, dviju ravnina.

Određuje ortogonalnu projekciju..

Sadržaj: Geometrija prostora. Ortogonalna projekcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Koristiti se modelima, mrežama ili skicama geometrijskih tijela.

Pri određivanju udaljenosti koristiti se dosad stečenim znanjima (Pitagorin poučak, trigonometrijski omjeri…).

Ovaj ishod treba obraditi nakon poučka o sinusima i poučka o kosinusu.

SŠ MAT. C. 2. 6

SŠ MAT. D. 2. 4

Računa volumen i oplošje geometrijskih tijela.

Prepoznaje, opisuje i skicira prizmu, piramidu, valjak, stožac i kuglu.

Računa elemente (duljine bridova, volumen, oplošje, polumjer baze…) uspravnih i krnjih prizmi, valjaka, piramida, stožaca te kugle i rotacijskih tijela.

Prošireni sadržaj:

Arhimedova tijela, Platonova tijela, kosa tijela.

Računa volumen i oplošje piramide, stošca i dijelova kugle rabeći zadane elemente i obrnuto.

Sadržaj: Geometrijska tijela. Oplošje i volumen uspravnih i krnjih geometrijskih tijela. Rotacijska tijela.

Prošireni sadržaj: Arhimedova tijela. Platonova tijela. Kosa tijela.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Otkrivati formule za volumen prebacujući vodu (ili rižu, pijesak…) iz šuplje piramide/stošca u šuplju prizmu/valjak sukladnih baza i jednake visine.

SŠ MAT. E. 2. 1

Primjenjuje vjerojatnost.

Opisuje siguran i nemoguć događaj.
Rabi algebru događaja (unija, presjek, komplement) za određivanje vjerojatnosti.

Određuje geometrijsku vjerojatnost.

Primjenjuje klasičnu definiciju vjerojatnosti.

Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost događaja. Klasična definicija vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost.

Matematika – na kraju 3. razreda četverogodišnje strukovne škole učenik:

Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost

odgojno-obrazovni ishodi

razrada ishoda

odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti „dobar“ na kraju razreda

SŠ MAT. A. 3. 1

SŠ MAT. B. 3. 1

Primjenjuje pravila za računanje potencijama racionalnoga eksponenta.

Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto.

Računa približne vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta sa ili bez džepnog računala.

Računa s potencijama racionalnoga eksponenta.

Računa vrijednost brojevnog izraza rabeći pravila za računanje s potencijama.

Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Primjer problema opisanoga potencijom racionalnoga eksponenta: Životinje u divljini imaju područja ograničena njihovim kretanjem, nazivamo ih njihovim teritorijalnim područjima. Teritorijalno područje, u kvadratnim miljama, povezano je s tjelesnom masom životinje. Ako je masa neke životinje T  funti, teritorijalno područje zauzima kvadratnih milja.

a) Kako možemo interpretirati informaciju danu ovim algebarskim izrazom?

b) Odredite teritorijalno područje životinje mase 25, 50, 150, 200 i 300 funti.

c) Na kakvu promjenu ukazuju vrijednosti veze između tjelesne mase i teritorijalnoga područja životinje?

d) Koliko je teritorijalno područje, izraženo u km2,  medvjeda mase 400 kg?

e) Kolika je masa životinje čije je teritorijalno područje 25 km2?

SŠ MAT. B. 3. 2

SŠ MAT. C. 3. 1

Analizira eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Određuje domenu, kodomenu, sliku, rast i pad, inverznu funkciju  eksponencijalne i logaritamske funkcije (

) i crta graf.

Baza prirodnoga logaritma ( ).

Prošireni sadržaj:

Crtice iz povijesti: Euler, Napier.

Povezuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju određujući inverznu funkciju.

Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije. Baza prirodnoga logaritma (e).

Prošireni sadržaj: Crtice iz povijesti: Euler, Napier.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Otkrivati osnovna svojstva funkcija preko njihovih grafova. Uočavati inverznu vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije koristeći se pravcem .

SŠ MAT. B. 3. 3

SŠ MAT. C. 3. 2

Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

Prošireni sadržaj:

Crtice iz povijesti: Briggsove i Napierove logaritamske tablice

Korelacija s Kemijom i Biologijom.

U problemu opisanome eksponencijalnom i logaritamskom funkcijom računa vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena eksponencijalne i logaritamske funkcije.

SŠ MAT. B. 3. 4

Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom i nejednadžbom.

Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, računa vrijednosti logaritamskih izraza, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik i obrnuto.

Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe.

Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe izravnom primjenom definicije.

Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

SŠ MAT. B. 3. 5

SŠ MAT. C. 3. 3

Primjenjuje svojstva trigonometrijskih funkcija.

Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici, otkriva svojstva i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Rabi džepno računalo.

Prošireni sadržaj:

Crtice iz povijesti: podrijetlo imena trigonometrijskih funkcija.

Korelacija s Fizikom.

Uočava svojstva trigonometrijskih funkcija.

Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija ( i ), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s , osi kotangensa s . Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Rabiti džepno računalo. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani).

SŠ MAT. B. 3. 6

Primjenjuje trigonometrijske identitete.

Računa, koristeći osnovni trigonometrijski identitet, vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija.

Primjenjuje i povezuje osnovne trigonometrijske identitete, adicijske poučke, trigonometrijske funkcije dvostrukoga broja.

Dokazuje trigonometrijske tvrdnje primjenom trigonometrijskih identiteta.  

Prošireni sadržaj:

Funkcije polovičnoga broja.

Korelacija s Logikom.

Koristi se trigonometrijskim identitetima pri rješavanju jednostavnih problema.

Sadržaj: Trigonometrijski identiteti, adicijski poučci, trigonometrijske funkcije dvostrukoga broja.

Prošireni sadržaj: Funkcije polovičnoga broja.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: U ovome je ishodu bitno da usvojene veze između trigonometrijskih funkcija, kao identitete, upotrebljavaju pri računanju i dokazivanju trigonometrijskih tvrdnji.

Osnovni trigonometrijski identiteti: ( )  

Treba povezati Pitagorin poučak s osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Jednostavni problem: Izračunajte , ako je .

SŠ MAT. B. 3. 7

SŠ MAT. C. 3. 4

Analizira graf trigonometrijske funkcije.

Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.

Grafički prikazuje trigonometrijske funkcije :

Korelacija s Fizikom.

Određuje svojstva

trigonometrijskih funkcija

Sadržaj: Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti. Moguće je učenicima zadati mali seminarski rad crtanja grafova trigonometrijskih funkcija (od početka koristeći brojevnu kružnicu, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Uporabom programa dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada puno jednostavnije uočavaju promjene. No, za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira pogodnoga mjerila pri crtanju grafova.

SŠ MAT. B. 3. 8

SŠ MAT. C. 3. 5

Primjenjuje trigonometrijske funkcije.

Analizira probleme opisane trigonometrijskom funkcijom i primjenjuje trigonometrijske funkcije za modeliranje.

U problemu opisanome trigonometrijskom funkcijom računa vrijednost argumenta.

Sadržaj: Primjena trigonometrijskih funkcija.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

Primjer problema opisanoga trigonometrijskom funkcijom: Duljina dana opisana je formulom:
D(t) = , pri čemu je t dan u godini (t = 0 je 1. siječnja). Konstanta K određena je geografskom širinom mjesta.

a) Kolika je duljina dana 22.2. u Dubrovniku (K = 6)?

b) Koji dan u veljači traje 11 sati?

c) Koji je dan najkraći, a koji najdulji?

d) Od kojega je dana u veljači dan dulji od 10 sati?

SŠ MAT. B. 3. 9

Primjenjuje trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe  rješava grafički ili na brojevnoj kružnici.

Rješava trigonometrijske jednadžbe i

i nejednadžbe      

.

Sadržaj: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe.

Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda: Rabiti programe  dinamične geometrije te ostale primjerene i dostupne interaktivne računalne programe i alate za otkrivanje svojstava i pravilnosti.

Primjer primjene trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe: U nekome mjestu na moru određenoga dana plima je u ponoć  i podne, a oseka u 6 i 18 sati. Razina mora, u odnosu na uobičajenu, za vrijeme plime je 5.11 m, a za vrijeme oseke (-0.17). Odredite:

a) Koja će razina mora biti u 10 sati?

b) U koliko će sati poslije podne razina mora biti 0?

c) U kojemu će vremenu razina mora biti veća od 4 metra?

SŠ MAT. C. 3. 6

SŠ MAT. D. 3. 1

Primjenjuje računanje s vektorima.

Prepoznaje, opisuje i koristi elemente vektora.

Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu, određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora i primjenjuje ga za uvjet okomitosti vektora.

Dijeli dužinu u zadanome omjeru.

Primjenjuje svojstva vektora u problemskim zadatcima.

Rastavlja vektore koristeći linearnu kombinaciju vektora (računski ili grafički).

.

Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) prikazanima na razne načine.

Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora. Okomiti vektori. Linearna kombinacija vektora.

SŠ MAT. C. 3. 7

SŠ MAT. B. 3. 10

SŠ MAT. D. 3. 2

SŠ MAT. E. 3. 1

Primjenjuje jednadžbu pravca.